Stará kvantová teorie

Stará kvantová teorie (někdy stará kvantová mechanika [1] ) je přístup k popisu atomových jevů, který byl vyvinut v letech 1900-1924 a předcházel vytvoření kvantové mechaniky . Charakteristickým rysem této teorie je současné použití klasické mechaniky a některých předpokladů, které se s ní dostaly do rozporu. Základem staré kvantové teorie je Bohrův model atomu , ke kterému později Arnold Sommerfeld [2] přidal kvantování z-složky momentu hybnosti , nerozumně nazývané prostorové kvantování . Kvantování složky z umožnilo zavést eliptické elektronové dráhy a navrhnout koncept energetické degenerace . Úspěch staré kvantové teorie byl správný popis atomu vodíku a normální Zeemanův efekt .

Hlavním nástrojem staré kvantové teorie je Bohr-Sommerfeldova kvantizace , procedura, která generuje nějakou diskrétní sadu stavů integrovaného pohybu klasického systému a definuje je jako povolené stavy tohoto systému, podobně jako povolené dráhy v Bohrově Modelka. Systém může být pouze v těchto stavech a ne v žádných jiných. Tato teorie nemůže popsat chaotický pohyb, protože vyžaduje úplné uzavření trajektorií pohybu klasického systému.

Historie

Výchozím bodem staré kvantové teorie (a kvantové mechaniky obecně) je objevení se na samém počátku 20. století prací Maxe Plancka o emisi a absorpci světla [3] [4] . Přímý vývoj kvantové teorie začal zavedením kvantové teorie tepelné kapacity pevné látky Einsteinem . V Einsteinově modelu se předpokládá, že každý atom v mřížce je nezávislým kvantovaným harmonickým oscilátorem, což umožňuje vysvětlit spolu s klasickým Dulong-Petitovým zákonem při vysokých teplotách pokles tepelné kapacity při nízkých teplotách. Pomocí této techniky byly kvantové principy rozšířeny na pohyb atomů. Debye později tento model vylepšil .

V roce 1913 Niels Bohr použil úvahy, které brzy formuloval jako princip korespondence , a vyvinul model atomu vodíku, který by mohl vysvětlit jeho diskrétní spektrum formulací dvou dobře známých postulátů. Později Arnold Sommerfeld rozvinul Bohrovy myšlenky rozšířením svého modelu na libovolné integrovatelné systémy využívající princip adiabatické invariance kvantových čísel. Sommerfeldův model byl mnohem blíže moderní kvantové mechanice než Bohrův model. .

Během 1910 a brzy 1920 bylo mnoho problémů úspěšně vyřešeno pomocí staré kvantové teorie. Vyjasnila se povaha vibračních a rotačních spekter molekul, byl objeven spin elektronu , díky kterému byla vysvětlena existence půlčíselných kvantových čísel. Planck zavedl vibrace nulového bodu , Sommerfeld úspěšně aplikoval Bohrův model na relativistický atom vodíku a Hendrik Kramers vysvětlil Starkův jev . Bose a Einstein navrhli kvantovou statistiku pro fotony .

Kramers navrhl metodu pro výpočet pravděpodobností přechodu mezi kvantovými stavy pomocí Fourierových složek pohybu, kterou později spolu s Wernerem Heisenbergem rozvinul do semiklasického maticového mapování pravděpodobností přechodu. Na základě těchto myšlenek pak Heisenberg sestavil maticovou mechaniku – formulaci kvantové mechaniky založenou na přechodových maticích .

V roce 1924 Louis de Broglie vyvinul vlnovou teorii hmoty, kterou Einstein vyvinul o něco později a odvodil semiklasickou rovnici pro vlnění hmoty. V roce 1925 navrhl Erwin Schrödinger kvantově mechanickou vlnovou rovnici , která umožnila dát dohromady všechny výsledky staré kvantové teorie bez jakýchkoliv nesrovnalostí. Schrödingerova vlnová mechanika se vyvíjela nezávisle na Heisenbergově maticové mechanice, ale experimenty ukázaly, že obě metody předpovídaly stejné výsledky. Paul Dirac v roce 1926 ukázal, že oba obrázky jsou ekvivalentní a vycházejí z obecnější metody - teorie reprezentace [5] .

Nástup maticové a vlnové mechaniky znamenal konec staré kvantové teorie .

Základní principy

Hlavní myšlenkou staré kvantové teorie bylo, že pohyb atomového systému je kvantovaný (diskrétní). Systém se řídí zákony klasické mechaniky s jedinou výjimkou: nejsou povoleny všechny pohyby systému, ale pouze ty, které jsou v souladu s pravidlem.

\oint\limits_{\mathcal{H}(p,q)=E} p_i dq_i = n_i h,

kde jsou kanonické momenty, jsou jejich konjugované souřadnice, jsou kvantová čísla, která mohou být pouze celá čísla. Integrál je vzat podél uzavřené (pro každý pár souřadnice-hybnost) trajektorie pohybu, která odpovídá konstantní energii (která je popsána Hamiltonovou funkcí ). Integrál je navíc plocha ve fázovém prostoru , což odpovídá klasické akci . Akce je však kvantována v jednotkách Planckovy konstanty , proto je Planckova konstanta často označována jako akční kvantum . $p_{i}$ $Qi}$ $n_{i}$ $E$ ${\mathcal {H}}$

Aby kvantizační podmínka dávala smysl, musí být klasický pohyb oddělený, to znamená, že musí existovat takové souřadnice , že pohyb po každé z těchto souřadnic bude periodický (v případě nesouměřitelnosti period po různých souřadnicích bude celkový pohyb nebude periodický). Stará kvantová teorie se řídí principem korespondence , založeným na následujících pozorováních: kvantity, které mají být kvantovány, musí být adiabatické invarianty [6] . $Qi}$

Experimentální základna

Záření černého tělesa

Jedním z hlavních problémů fyziky na konci 19. století byl problém záření černého tělesa. Černé těleso je fyzikální idealizace: těleso, které zcela pohlcuje dopadající záření jakékoli vlnové délky. Skutečné černé látky, například saze, absorbují 99 % dopadajícího záření ve viditelné oblasti vlnových délek, ale infračervené záření pohlcují mnohem hůře. Mezi tělesy sluneční soustavy Slunci nejlépe odpovídá absolutně černé těleso .

Podle klasické termodynamiky by spektrální intenzita I(ν) záření měla být stejná pro všechna absolutně černá tělesa zahřátá na stejnou teplotu. Tato předpověď je potvrzena experimentem. Spektrální intenzita dosahuje maxima při určité frekvenci ν max a klesá na nulu na obou stranách maxima. Frekvence maxima ν max , stejně jako jeho výška, roste s teplotou.

Pokusy teoreticky předpovědět tvar experimentální křivky spektrální intenzity černého tělesa na základě zákonů klasické fyziky vedly k Rayleigh-Jeansově vzorci [7] [8] :

$I(\nu) = \frac{2 \pi}{c^2} kT \nu^2.$

S výjimkou oblasti nízkých frekvencí zákon Rayleigh-Jeansovy formule nesouhlasí s experimentem. Předpovídá, že celková intenzita vyzařované energie nekonečně roste s frekvencí ( ultrafialová katastrofa ), ale ve skutečnosti je celková intenzita konečná.

V roce 1900 Max Planck postuloval [4] , že k výměně energie mezi atomy a jimi vyzařovanému elektromagnetickému záření dochází v diskrétních částech energie a nejmenší část energie při dané frekvenci ν se rovná

$E=h\nu$ ,

kde h je Planckova konstanta . V tomto případě lze při interakci atomů a záření přenést pouze celočíselné násobky energie hν . Pomocí tohoto postulátu odvodil Planck vzorec pro spektrální intenzitu tepelného rovnovážného elektromagnetického záření černého tělesa:

$I(\nu) = \frac{2 \pi \nu^2}{c^2} \frac{h\nu}{e^{\frac{h\nu}{kT)) - 1},$

což je ve výborné shodě s experimentem. Planck tak vyřešil problém záření černého tělesa pomocí myšlenky kvantování energie, která je v rozporu s klasickou fyzikou.

Fotoelektrický efekt

Fotoelektrický jev je jev emise elektronů látkou při působení světla (a obecně řečeno jakéhokoli elektromagnetického záření). První systematické studie fotoelektrického jevu provedl ruský fyzik Stoletov v roce 1888, který stanovil několik důležitých vzorů. Klíčovým bodem se ukázal být fakt, že energie fotoelektronů je absolutně nezávislá na intenzitě dopadajícího světla: zvýšení intenzity pouze zvyšuje počet vyvržených elektronů, nikoli však jejich rychlost. Ukázalo se však, že rychlost elektronů závisí na frekvenci záření a s rostoucí frekvencí energie fotoelektronů lineárně roste. Takové jevy byly z hlediska klasické elektrodynamiky nepochopitelné .

Teoretické vysvětlení fotoelektrického jevu podal Albert Einstein v roce 1905. Pomocí Planckovy hypotézy navrhl, že světlo není vyzařováno pouze po částech ( kvanta ), ale obecně jde o proud kvant ( fotony ) s energií hν . Při fotoelektrickém jevu se část dopadajícího světla odráží od povrchu, zatímco druhá část proniká do povrchové vrstvy kovu a tam je absorbována. Když elektron pohltí foton, přijme z něj energii a část z ní utratí na pracovní funkci A out a opustí kov. Máme tedy Einsteinovu rovnici pro fotoelektrický jev:

$h \nu = A_{out} + P + eV,$

kde P je ionizační energie (která může být pro kovy nastavena na nulu, protože kov má velké množství volných elektronů), eV je kinetická energie fotoelektronu. Tato rovnice byla brzy intenzivně testována v experimentech Roberta Millikana , za což mimo jiné obdržel v roce 1923 Nobelovu cenu za fyziku .

Fenomén fotoelektrického jevu je tedy experimentálním potvrzením Planckovy hypotézy a korpuskulárních vlastností světla.

Frank-Hertzův experiment

Experiment nepružného rozptylu elektronů atomy, který provedli v letech 1913-1914 James Frank a Gustav Ludwig Hertz [9] , potvrdil platnost Bohrových postulátů.

V tomto experimentu jsou atomy nebo molekuly více či méně zředěného plynu bombardovány pomalými elektrony. V tomto případě je studováno rozložení rychlostí elektronů před a po srážkách. Pokud jsou srážky elastické, pak se rozložení rychlosti nemění; a naopak, při nepružných srážkách některé elektrony ztrácejí svou energii a předávají ji atomům, se kterými se srazily, takže se mění rozložení rychlostí.

V důsledku Frank-Hertz experimentu bylo zjištěno, že:

při rychlostech elektronů, které jsou menší než určitá kritická rychlost, je srážka zcela elastická, to znamená, že elektron nepřenáší svou energii na atom, ale odráží se od něj a mění pouze směr své rychlosti;
při dosažení kritické rychlosti se náraz stane nepružným, to znamená, že elektron ztratí část své energie a předá ji atomu, který v tomto případě přejde do jiného stacionárního stavu, vyznačujícího se vyšší energií.

Příklady aplikací

Tepelné vlastnosti harmonického oscilátoru

Harmonický oscilátor je nejjednodušší systém staré kvantové teorie. Napišme hamiltonián :

\mathcal{H} = \frac{p^2}{2m} + \frac{m \omega^2 q^2}{2}.

Energetické hladiny systému jsou určeny dráhami pohybu a dráhy jsou vybírány podle následujícího kvantového pravidla: plocha ve fázovém prostoru , kterou každá dráha pokrývá, musí být celá. Z toho vyplývá, že energie je kvantována podle Planckova pravidla:

E_n = n\hbar\omega,

známý výsledek, podle kterého je formulováno kvantizační pravidlo staré kvantové teorie. Je třeba poznamenat, že tento výsledek se od současného liší tím , že z kvantové mechaniky je známo, že nulová hladina pro harmonický oscilátor má energii . $\hbar \omega/2$ $\hbar \omega/2$

Termodynamické veličiny pro kvantovaný harmonický oscilátor lze určit zprůměrováním energie v každém z diskrétních stavů:

U = \frac{1}{Z} \sum\limits_n n\hbar\omega e^{-\frac{n\hbar\omega}{kT)) = {\hbar \omega e^{-\frac{\ hbar\omega}{kT}} \over 1 - e^{-\frac{\hbar\omega}{kT}}},

kde je Boltzmannova konstanta , je absolutní teplota (která se měří ve více přirozených energetických jednotkách), je rozdělovací funkce . Je snadné vidět, že při velmi nízkých teplotách (tedy když je hodnota velká) průměrná energie harmonického oscilátoru velmi rychle - exponenciálně - dosáhne nuly. Důvodem je, že charakteristická energie libovolného pohybu při teplotě , a pokud je menší než , nestačí předat oscilátoru alespoň jedno kvantum energie. Proto harmonický oscilátor zůstává v základním stavu. $k$ $T$ $Z = \sum\limits_n e^{-\frac{n\hbar\omega}{kT}}$ $\beta = \frac{1}{kT}$ $U$ $kT$ $T$ $\hbar \omega$

To znamená, že při velmi nízkých teplotách je změna energie vzhledem k (a samozřejmě i teplotě) malá. Změna energie vzhledem k teplotě je tepelná kapacita; proto je tepelná kapacita při nízkých teplotách malá a má sklon k nule $\beta$

e^{-\frac{\hbar\omega}{kT}}.

Při vysokých teplotách (tj. při nízkých teplotách ) je průměrná energie . Tato skutečnost je v souladu se zákonem ekvipartice klasické termodynamiky: každý harmonický oscilátor při teplotě má průměrnou energii . To znamená, že tepelná kapacita oscilátoru je konstantní (v klasické mechanice) a rovná se Boltzmannově konstantě . Pro množinu atomů spojených pružinami (přijatelný model pevného tělesa) je celková tepelná kapacita , kde je počet oscilátorů. Obecně platí, že každému atomu jsou přiřazeny tři oscilátory, přičemž se berou v úvahu tři možné směry vibrací ve třech rozměrech. Proto se tepelná kapacita klasické pevné látky při dostatečně vysoké teplotě rovná jednomu atomu, neboli na mol, Dulong-Petitův zákon . $\beta$ $U$ $kT$ $T$ $kT$ $k$ $Nk$ $N$ $3k$ $3R$

Monatomové pevné látky při pokojové teplotě mají přibližně stejnou tepelnou kapacitu na atom, ale při nízkých teplotách tomu tak není. S klesající teplotou klesá i tepelná kapacita a při absolutní nulové teplotě dosahuje nuly. Tato skutečnost je potvrzena pro všechny materiálové systémy a tvoří třetí termodynamický zákon . Klasická mechanika nemůže vysvětlit třetí zákon termodynamiky, protože předpokládá, že tepelná kapacita nezávisí na teplotě. $3k$

Tento rozpor mezi klasickou mechanikou a tepelnou kapacitou chladných těles si všiml v 19. století Maxwell ; odstranění tohoto rozporu bylo obtížným úkolem pro ty, kdo hájili atomovou teorii hmoty. Albert Einstein vyřešil tento problém v roce 1906 tím, že navrhl myšlenku kvantování atomového pohybu a formuloval Einsteinův model , první aplikaci kvantové teorie na mechanické systémy. O něco později Peter Debye vyvinul přesnější kvantitativní teorii tepelné kapacity pevných látek založenou na kvantovaných harmonických oscilátorech s různými frekvencemi ( Debye model ).

Jednorozměrný potenciál

Pro jakoukoli energii E můžete snadno najít hybnost p pomocí zákona zachování energie :

p = \sqrt{2m (E - V(q))}.

Tento výraz integruje přes všechny hodnoty q mezi klasickými body obratu, kde je hybnost nulová.

Pravoúhlá potenciální studna

Nejjednodušším případem je částice v pravoúhlé potenciálové jámě délky L , pro kterou je kvantizační podmínka následující:

2 \int_0^L p dq = nh,

odkud je hybnost?

p = \frac{nh}{2L}.

Integrací pravé strany rovnice hybnosti lze nalézt energetické hladiny:

E_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}.

Lineární potenciál

Uvažujme další potenciál - lineární, který odpovídá konstantní síle F. Kvantově-mechanická formulace tohoto problému je poměrně komplikovaná a na rozdíl od případů zvažovaných výše není semiklasický výsledek přesný, ale s rostoucími kvantovými čísly k němu směřuje. My máme:

2 \int_0^{\frac{E}{F}} \sqrt{2m (E - Fx)} dx = nh,

což dává kvantizační podmínku:

{4\přes 3} \sqrt{2m}{ E^{3/2}\přes F } = nh,

kde můžete určit úrovně energie:

E_n = \left(\frac{3F}{4\sqrt{2m}} nh \right)^{2/3}.

Kvadratický potenciál

Poloklasický výsledek tohoto problému se shoduje s kvantově mechanickým výsledkem v případě výpočtu energie základního stavu. Kvantovací podmínka bude vypadat takto:

2 \int_{-\sqrt{\frac{2E}{k}}}^{\sqrt{\frac{2E}{k}}} \sqrt{2m\left(E - \frac12 kx^2\right) }\ dx = nh,

kde určujeme energetické hladiny:

E = n \frac{h}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m)) = n \hbar \omega,

kde je úhlová frekvence. $\omega$

Rotátor

Rotátor se skládá z tělesa o hmotnosti M , které je upevněno na nehmotné tuhé tyči délky R a je popsáno následujícím dvourozměrným Lagrangiánem :

\mathcal{L}_{2D} = \frac{MR^2 \dot\varphi^2}{2},

ze kterého lze vyjádřit moment hybnosti , který závisí na polárním úhlu : $L$ $\varphi$

L = MR^2\tečka\varphi.

Stará kvantová teorie vyžaduje, aby byl úhlový moment hybnosti kvantován:

L = n\hbar.

V Bohrově modelu taková kvantizační podmínka, která je kladena na kruhové dráhy, stačí k určení energetického spektra.

Trojrozměrný tuhý rotátor je popsán dvěma úhly θ a φ sférického souřadnicového systému vzhledem k libovolně zvolené ose Oz. Opět do Lagrangianu vstupuje pouze kinetická energie:

\mathcal{L}_{3D} = \frac{MR^2 \dot\theta^2}{2} + \frac{MR^2 (\dot\varphi \sin\theta)^2}{2},

Kanonické impulsy budou mít tvar:

p_{\theta} = \tečka\theta,

p_{\varphi} = \tečka\varphi \sin^2\theta.

Rovnice pro φ je triviální, je konstanta: $p_{\varphi}$

p_{\varphi} = l_{\varphi},

který se rovná z-složce momentu hybnosti. Dále z kvantizační podmínky vyplývá, že po integraci přes úhel φ od 0 do 2π :

l_{\varphi} = m\hbar,

kde m je takzvané magnetické kvantové číslo. Název pochází ze skutečnosti, že z-složka momentu hybnosti se rovná magnetickému momentu rotátoru podél osy Oz (samozřejmě, pokud je částice na konci rotátoru nabitá).

Celkový moment hybnosti trojrozměrného rotátoru je kvantován podobně jako u dvourozměrného. Dvě kvantizační podmínky určují libovolné hodnoty celkového momentu hybnosti a jeho složky z pomocí kvantových čísel l , m . Tyto podmínky jsou přítomny i v kvantové mechanice, ale v době dominance staré kvantové teorie nebylo jasné, jak lze orientaci momentu hybnosti vůči libovolně zvolené ose Oz kvantovat. Zdálo se, že z toho měla vyplývat existence nějakého výrazného směru ve vesmíru.

Tento jev se nazýval prostorová kvantizace , ale zdálo se, že je neslučitelný s izotropií prostoru. V kvantové mechanice je moment hybnosti kvantován stejným způsobem, ale jeho jednotlivé stavy podél jedné osy jsou superpozicí stavů podél ostatních os, takže během procesu kvantování nevzniká žádný konkrétní směr v prostoru. Proto se nyní nepoužívá termín „ prostorová kvantizace “, ale místo toho se používá termín „ kvantování momentu hybnosti “.

Atom vodíku

Úhlovou částí atomu vodíku je rotátor, který je charakterizován kvantovými čísly l , m . Neznámá zůstává pouze radiální souřadnice, která je dána jednorozměrným periodickým pohybem.

Pro pevnou hodnotu celkového momentu hybnosti L má Hamiltonova funkce klasického Keplerova problému tvar (proměnné jsou zde voleny tak, aby hmotnost a energie byly bezrozměrné):

\mathcal{H} = \frac{p^2}{2} + \frac{l^2}{2r^2} - \frac{1}{r}.

Zafixováním energie jako (záporné) konstanty a vyřešením výsledné rovnice pro hybnost p máme kvantizační podmínku:

2 \int\sqrt{2E - \frac{l^2}{r^2} + \frac{2}{r}}\ dr = kh,

které určuje nové kvantové číslo k , které spolu s číslem l určuje energetické hladiny:

E_{k,l} = - \frac{1}{2 (k+l)^2}.

Je snadné vidět, že energie závisí na součtu kvantových čísel k a l , což lze označit jako další kvantové číslo n , které se nazývá hlavní kvantové číslo . Pokud je k nezáporné, pak povolené hodnoty čísla l pro dané n nemohou být větší než daná hodnota n .

Tento semiklasický model atomu vodíku se nazývá Sommerfeldův model a elektronové dráhy v něm jsou elipsy. Sommerfeldův model předpověděl skutečnost, že magnetický moment atomu, který se měří podél nějaké osy, bude mít pouze diskrétní hodnoty. Tento výsledek se zdál být v rozporu s izotropií prostoru, ale byl potvrzen Stern-Gerlachovým experimentem . Bohr-Sommerfeldova teorie byla jedním z nejdůležitějších stupňů ve vývoji kvantové mechaniky, protože popisovala možnost rozdělení energetických hladin atomu v magnetickém poli , to znamená, že vysvětlovala Zeemanův efekt .

Relativistická dráha (Keplerovský problém)

Relativistické řešení energetických hladin atomu nalezl Arnold Sommerfeld [2] . Pojďme napsat relativistickou rovnici pro energii s elektrostatickým potenciálem :

E = m_0 c^2 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1 \right) - k \frac{Z e^2}{ r}

a proveďte náhradu : $u = \frac{1}{r}$

\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = 1 + \frac{E}{m_0 c^2} + k \frac{Z e^2}{ m_0 c^2} u.

Napišme výrazy pro impulsy:

p_r = m\tečka r,

p_{\varphi} = mr^2 \tečka \varphi,

pak jejich poměr bude , a odtud lze získat pohybovou rovnici ( Binetova rovnice ): $\frac{p_r}{p_{\varphi}} = - \frac{du}{d\varphi}$

\frac{d^2 u}{d \varphi ^2} = - \left( 1 - k^2 \frac{Z^2 e^4}{c^2 p_{\varphi }^2} \right) u + \frac{m_0 kZe^2}{p_{\varphi}^2} \left( 1 + \frac{E}{m_0 c^2} \right) = - \omega_0^2 u + K,

jehož řešení vypadá takto:

u = \frac{1}{r} = K + A \cos \omega_0 \varphi.

Úhlový posun periapsie v jedné periodě je

\Delta \varphi = 2 \pi \left( \frac{1}{\omega_0} - 1 \right).

Kvantizační podmínky v našem případě budou vypadat takto:

\oint p_{\varphi} d \varphi = 2 \pi p_{\varphi} = n_{\varphi} h,

\oint p_r dr = p_{\varphi} \oint \left(\frac{1}{r} \frac{dr}{d \varphi} \right) ^2 d \varphi = n_r h,

kde můžete vypočítat energetické hladiny:

\frac{E_{n_r, n_{\varphi))}{m_0 c^2} = \left( 1 + \frac{\alpha ^2 Z^2}{(n_r + \sqrt{n_{\varphi} ^ 2 - \alpha ^2 Z^2} )^2} \vpravo) ^{-1/2} - 1,

kde je konstanta jemné struktury . Tento výsledek se shoduje s řešením Diracovy rovnice [10] . Pokud navíc provedeme náhradu kvantových čísel a , pak se výsledný vzorec bude shodovat s přesným řešením Klein-Gordonovy rovnice [11] . $\alpha = \frac{2\pike^2}{hc}$ $n_r \to n_r + 1/2$ $n_{\varphi} \to l + 1/2$

De Broglie vlny

V roce 1905 si Einstein všiml, že entropie elektromagnetického pole v krabici, která je podle Plancka reprezentována kvantovanými harmonickými oscilátory, se pro případ krátkých vln rovná entropii plynu bodových částic ve stejné krabici a počet částic se rovná počtu kvant. Einstein proto dospěl k závěru, že kvantum lze interpretovat jako lokalizovanou částici [12] , částici světla - foton .

Einsteinův argument byl založen na termodynamice, na počítání počtu stavů, takže byl spíše nepřesvědčivý. Navzdory tomu předložil hypotézu, že světlo má vlnové i částicové vlastnosti, přesněji řečeno, že jde o stojaté elektromagnetické vlnění s frekvencí a kvantovanou energií: $\omega$

E = n\hbar\omega,

které lze znázornit jako n fotonů s energiemi . Ale Einstein nedokázal vysvětlit, jak souvisí fotony s vlnou. $\hbar \omega$

Fotony mají energii a hybnost rovnou , kde je vlnový vektor elektromagnetické vlny. To vyžaduje teorie relativity , podle níž hybnost a energie tvoří 4-vektor , stejně jako frekvence s vlnovým vektorem. $\hbar \mathbf {k}$ $\mathbf {k}$

V roce 1924 Louis de Broglie předpokládal, že hmota, zejména elektron, je podobná fotonu, popsanému vlnou, která splňuje následující vztah:

p = \hbar k,

nebo zapsáním vlnového čísla jako vlnové délky , $k$ $\lambda$

p = \frac{h}{\lambda}.

Pak si všiml, že kvantizační podmínka

\int p dx = \hbar \int k dx = 2 \pi \hbar n

určuje fázovou změnu vlny při jejím pohybu po klasické oběžné dráze. Proto pro konstruktivní interferenci musí být počet vlnových délek, které se vejdou na klasickou dráhu, celé číslo. Tato podmínka vysvětluje skutečnost, že oběžné dráhy musí být kvantovány: vlny hmoty tvoří stojaté vlny pouze při určitých diskrétních frekvencích a energiích.

Například pro částici umístěnou v krabici se stojatá vlna musí vejít mezi stěny krabice celočíselný počet vlnových délek. Pak má kvantizační podmínka tvar:

n \lambda = 2 l,

takže hybnost je kvantována takto:

p = \frac{nh}{2L},

tak určuje energetické hladiny.

Einstein tuto hypotézu dále rozvinul a dal jí matematicky přesnější formu, přičemž poznamenal, že fázová funkce pro vlny v mechanickém systému by měla být ztotožněna s řešením Hamilton-Jacobiho rovnice . Později, na základě těchto myšlenek , Schrödinger navrhl svou kvantově mechanickou rovnici , čímž položil základy vlnové mechaniky.

Kramersova přechodová matice

Stará kvantová teorie byla formulována pouze pro určitou třídu mechanických systémů. Nepracovala například s absorpcí a emisí záření. Hendrik Kramers se ale pokusil najít pravidla, podle kterých lze absorpci a emisi vypočítat [13] [14] [15] .

Kramers připustil, že oběžná dráha kvantového systému může být rozšířena ve Fourierově řadě z hlediska harmonických s frekvencemi, které jsou násobky frekvence oběžné dráhy: $\omega$

X_n(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{ik\omega t} X_{nk}.

Index n zde odkazuje na množinu kvantových čísel, která charakterizuje dráhu a musí odpovídat množině n , l , m Sommerfeldova modelu. Frekvence je úhlová frekvence oběžné dráhy, k je index Fourierovy složky. Bohr předpokládal, že k -tá harmonická klasického pohybu odpovídá přechodu z hladiny n do hladiny n − k . $\omega = 2\pi / T_n$

Kramers věřil, že přechod mezi stavy je podobný klasické emisi záření, ke kterému dochází při frekvencích, které jsou násobky orbitálních frekvencí. Intenzita záření bude úměrná , jak by tomu mělo být v klasické mechanice. Ale takový popis je nepřesný, pokud frekvence Fourierových složek přesně neodpovídají přechodovým energiím mezi úrovněmi. $|X_k|^2$

Později tyto myšlenky rozvinuli Heisenberg , Born a Jordan [16] [17] [18] , což vedlo ke vzniku maticové mechaniky .

Omezení staré kvantové teorie

Stará kvantová teorie a zejména Bohrův model byly důležitým krokem ve vývoji teorie struktury atomu. Na začátku 20. století, kdy aplikace kvantových hypotéz byla spíše uměním než vědou, udělaly úspěchy staré kvantové teorie hluboký dojem. Ukázala neaplikovatelnost klasické fyziky na vnitroatomové jevy a velký význam kvantových zákonů na mikroskopické úrovni. Ale stará kvantová teorie je pouze přechodným stádiem k vytvoření konzistentní teorie atomových jevů, protože v jejím rámci lze řešit pouze omezený okruh problémů. Hlavní důvody krize staré kvantové teorie, která vedla k potřebě vybudovat novou kvantovou mechaniku, byly [19] :

vnitřní logická nekonzistence: teorie není ani konzistentně kvantová, ani konzistentně klasická;
neschopnost vysvětlit anomální Zeemanův efekt ;
nemožnost výpočtu intenzity spektrálních čar;
nemožnost sestavit teorii víceelektronového atomu (zejména atomu helia ).

Později se ukázalo, že stará kvantová teorie je ve skutečnosti semiklasickou aproximací Schrödingerovy rovnice [20] .

Viz také

Poznámky

↑ Tipler, Llewellyn, 2007 .
↑ 1 2 Sommerfeld, 1956 .
↑ Planck, 1900 , str. 237.
↑ 1 2 Planck, 1901 , str. 553.
↑ Dirac, 1927 , str. 621-641.
↑ Landau, Lifshitz, 2008 , s. 210.
↑ Strutt, 1900 , str. 539-540.
↑ Džíny, 1905 , str. 545-552.
↑ Franck, Hertz, 1914 , str. 457-467.
↑ Granovský, 2004 , s. 577-578.
↑ Vakarchuk, 2012 .
↑ Einstein, 1905 , str. 132.
↑ Kramers, 1919 .
↑ Kramers, 1920 , s. 199-223.
↑ Kramers, 1924 , str. 673-674.
↑ Heisenberg, 1925 , str. 879-893.
↑ Narozen, Jordánsko, 1925 , str. 858-888.
↑ Heisenberg, Born, Jordan, 1926 , str. 557-615.
↑ Shpolsky, 1974 .
↑ Landau, Lifshitz, 2008 .

Literatura

Tipler P. A., Llewellyn R. A. Moderní fyzika. - M . : Mir, 2007. - T. 1. - 496 s.
Sommerfeld A. Struktura atomu a spektra. — M. : GITTL, 1956. — 592+696 s.
Planck M. Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum // Verhandl. německy fyz. Ges. - 1900. - T. 2.(Ruský překlad: Plank M. K teorii rozložení energie záření normálního spektra // Selected Works. - M . : Nauka, 1975. - 788 s.).
Planck M. Über das Gesetz der Energieverteilung in Normalspektrum // Ann. fyzika . - 1901. - T. 4.(Ruský překlad: Plank M. O zákonu rozložení energie v normálním spektru // Selected Works. - M . : Nauka, 1975. - 788 s.).
Dirac PAM Fyzikální interpretace kvantové dynamiky // Proc. R. Soc. Londýn. A. - 1927. - Sv. 113.(Ruský překlad: Dirac P. A. M. Fyzikální interpretace kvantové dynamiky // Sborník vědeckých prací. - M . : Fizmatlit, 2003. - T. 2. - 848 s.).
Strutt JW (Rayleigh). Poznámky k zákonu úplného záření // Phil. Mag. - 1900. - Sv. 49.
Jeans JH O zákonech záření // Proc. R. Soc. Londýn. A. - 1905. - Sv. 76.
Franck J. , Hertz GL Über Zusammenstöße zwischen Elektronen und Molekülen des Quecksilberdampfes und die Ionisierungsspannung desselben // Verh. Dtsch. Phys. Ges. - 1914. - Sv. 16.
Granovsky Ya. I. Sommerfeldův vzorec a Diracova teorie . - UFN, 2004. - V. 174, č. 5.
Vakarchuk I. O. Kvantová mechanika. - 4. vydání, doplňkové. — L. : LNU im. Ivan Franko , 2012. - 872 s.
Einstein A. Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt // Ann. fyzika . - 1905. - (Bd. 17, č. 6). (Ruský překlad: Einstein A. O jednom heuristickém pohledu na vznik a přeměnu světla // Sborník vědeckých prací. - M . : Nauka, 1966. - T. 3. - 632 s.).
Kramersova HA intenzity spektrálních čar. K aplikaci kvantové teorie na problém relativních intenzit složek jemné struktury a Starkova efektu čar vodíkového spektra // Roy. Dánská akademie. - 1919. - 287 s.
Kramers HA Über den Einfluß eines elektrischen Feldes auf die Feinstruktur der Wasserstofflinien // Zs. Phys. - 1920. - (Bd. 3).
Kramers HA Zákon disperze a Bohrova teorie spekter // Příroda. - 1924. - Sv. 113.
Heisenberg W. Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen // Zs. Phys. - 1925. - (Bd. 33). (Ruský překlad: Heisenberg V. O kvantově teoretické interpretaci kinematických a mechanických vztahů // Vybraná díla (V. Heisenberg). - M . : URSS, 2001. - 616 s.).
Narozen M. , Jordan P. Zur Quantenmechanik // Zs. Phys. - 1925. - (Bd. 34). (Ruský překlad: Born M. , Jordan P. Ke kvantové mechanice // Vybraná díla (V. Heisenberg). - M . : URSS, 2001. - 616 s.).
Heisenberg W. , narozen M. , Jordan P. Zur Quantenmechanik. II // Zs. Phys. - 1926. - (Bd. 35). (Ruský překlad: Heisenberg V. , Born M. , Jordan P. Ke kvantové mechanice. II // Vybraná díla (V. Heisenberg). - M . : URSS, 2001. - 616 s.).
Shpolsky E. Atomová fyzika. - M. : Nauka, 1974. - T. 1. - 576 s.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Kvantová mechanika. Nerelativistická teorie // Teoretická fyzika. - M. : Fizmatlit, 2008. - T. 3. - 800 s.
ter Haar D . Stará kvantová teorie. - Pergamon Press, 1967. - 206 s.
Tomonaga S. Kvantová mechanika. - Severní Holandsko, 1962. - Sv. 1: Stará kvantová teorie. — 313 s.
Ponomarev L. I. Ve znamení kvanta. - M. : FIZMATLIT, 2005. - 416 s. — ISBN 5-9221-0653-8 .
Spassky B. I. Dějiny fyziky. - M .: Vyšší škola , 1977.

Svazek 1: část 1 , část 2 .
Svazek 2: část 1 , část 2 .

Kudryavtsev PS Kurz dějin fyziky . — 2. vyd., opraveno. a doplňkové - M . : Vzdělávání , 1982. - 448 s.
Danin D.S. Nevyhnutelnost podivného světa. — 1961.