Funkce napájení

Mocninná funkce je funkce , kde ( exponent ) je nějaké reálné číslo [1] [2] . Funkce tvaru , kde je nějaký (nenulový) koeficient [3] , se také často označuje jako mocninná funkce . Existuje také komplexní zobecnění mocninné funkce . $y=x^{a}$ $A$ $y=kx^{a}$ $k$

Mocninná funkce je speciální případ polynomu . V praxi je exponent téměř vždy celé číslo nebo racionální číslo .

Skutečná funkce

Rozsah

Pro kladné celočíselné exponenty lze mocninnou funkci uvažovat na celé číselné ose , zatímco pro záporné není funkce definována na nule (nula je její singulární bod ) [4] . $A$ $A$

U racionálních domén definice závisí na paritě a na znaménku , protože : $a={\frac {p}{q}}\ (q>0)$ $q$ $p.$ $x^{a}={\sqrt[{q}]{x^{p))}.$

Jestliže a je liché , pak je definováno na celé číselné řadě. $q$ $p>0$ ${\displaystyle x^{p/q))$
Jestliže a je liché , pak je definováno na celé číselné řadě kromě nuly. $q$ $p<0$ ${\displaystyle x^{p/q))$
Jestliže a je sudé , potom je definováno jako nezáporné $q$ $p>0$ ${\displaystyle x^{p/q))$ $X.$
Jestliže a je sudé , potom je definováno jako kladné $q$ $p<0$ ${\displaystyle x^{p/q))$ $X.$

Pro reálný exponent je exponenciální funkce , obecně řečeno, definována pouze pro If , pak je funkce také definována nulou [4] . $A$ $x^{a}$ $x>0.$ $a>0,$

Exponent celého čísla

Grafy mocninné funkce s celočíselným exponentem : $y=x^{n}$ $n$

Paraboly řádu n : $n=0$ $n=1$ $n=2$ $n=3$ $n=4$ $n=5$
Hyperboly řádu n : $n=-1$ $n=-2$ $n=-3$

Pokud jsou liché , jsou grafy středově symetrické vzhledem k počátku , kde má inflexní bod . Když sudá , mocninná funkce je sudá : její graf je symetrický podle osy y [5] . $n$ $n$ $(-x)^{n}=x^{n},$

Grafy mocninné funkce s přirozeným exponentem se nazývají řádové paraboly . Pro sudé je funkce všude nezáporná (viz grafy). Když je získána funkce , nazývá se lineární funkce nebo přímo úměrný vztah [3] [5] . $n>1$ $n$ $n$ $n=1$ $y=kx$

Grafy funkcí tvaru , kde je přirozené číslo, se nazývají hyperboly řádu . Když je liché , souřadnicové osy jsou asymptoty hyperbol. Pro sudé jsou asymptoty osa x a kladný směr osy y (viz grafy) [6] . S exponentem získáme funkci , která se nazývá nepřímo úměrná závislost [3] [5] . ${\displaystyle y=x^{-n}={\frac {1}{x^{n))))$ $n$ $n$ $n$ $n$ $-jeden$ $y={\frac {k}{x}}$

Když funkce degeneruje do konstanty: $a=0$ $y=1.$

Racionální exponent

Grafy mocninných funkcí s racionálním exponentem
Semikubické paraboly $y=ax^{3/2}$

Povýšení na racionální sílu je určeno vzorcem: $p/q$

x^{p/q}={\sqrt[{q}]{x^{p))}.

Jestliže , pak je funkce aritmetickým kořenem stupně : $p=1$ $q$

y=x^{1/q}={\sqrt[{q}]{x)).

Příklad : z třetího Keplerova zákona přímo vyplývá, že doba oběhu planety kolem Slunce souvisí s hlavní poloosou její oběžné dráhy v poměru: ( semikubická parabola ). $T$ $A$ $T=kA^{{3/2}}$

Vlastnosti

Monotónnost

V intervalu funkce monotónně roste v a monotónně klesá v Hodnoty funkce v tomto intervalu jsou kladné [3] . $(0,\infty )$ $a>0$ $a<0.$

Analytické vlastnosti

Funkce je spojitá a nekonečně diferencovatelná ve všech bodech, kolem kterých je definována [4] .

Derivace funkce : . ${\displaystyle \left(x^{a}\right)^{\prime }=ax^{a-1))$

Nula, obecně řečeno, je singulární bod. Pokud tedy , pak -tá derivace v nule není definována. Například funkce je definována v nule a v jejím pravém okolí, ale její derivace v nule není definována. $a<n$ $n$ $y={\sqrt {x}}=x^{1/2}$ $y={\frac {1}{2{\sqrt {x))))$

Neurčitý integrál [4] :

Pokud , pak $a\neq -1$ $\int x^{a}dx={\frac {x^{{a+1}}}{a+1}}+C$
Když dostaneme: $a=-1$ $\int {\frac {1}{x}}dx=\ln |x|+C$

Tabulka hodnot malých mocnin

n	n 2	n 3	n4 _	n 5	n6 _	n 7	n 8	n9 _	n 10
2	čtyři	osm	16	32	64	128	256	512	1024
3	9	27	81	243	729	2187	6561	19 683	59 049
čtyři	16	64	256	1024	4096	16 384	65 536	262 144	1 048 576
5	25	125	625	3125	15 625	78 125	390 625	1 953 125	9 765 625
6	36	216	1296	7776	46 656	279 936	1 679 616	10 077 696	60 466 176
7	49	343	2401	16 807	117 649	823 543	5 764 801	40 353 607	282 475 249
osm	64	512	4096	32 768	262 144	2 097 152	16 777 216	134 217 728	1 073 741 824
9	81	729	6561	59 049	531 441	4 782 969	43 046 721	387 420 489	3 486 784 401
deset	100	1000	10 000	100 000	1 000 000	10 000 000	100 000 000	1 000 000 000	10 000 000 000

Komplexní funkce

Mocninná funkce komplexní proměnné je obecně definována vzorcem [7] : $z$

y=z^{c}=e^{{c\cdot \operatorname {Ln}(z)}}

Zde je exponent nějaké komplexní číslo. Hodnota funkce odpovídající hlavní hodnotě logaritmu se nazývá hlavní hodnota stupně. Hodnota je například kde je libovolné celé číslo a její hlavní hodnota je $C$ $i^{i}$ $e^{-(4k+1){\frac {\pi }{2))},$ $k$ $e^{i\ln(i)}=e^{-{\frac {\pi }{2))}.$

Komplexní mocninná funkce se od svého skutečného protějšku výrazně liší. Vzhledem k mnohohodnotovosti komplexního logaritmu má obecně řečeno také nekonečně mnoho hodnot. Dva prakticky důležité případy jsou však posuzovány odděleně.

S přirozeným exponentem je funkce jednohodnotová a n -listová [8] . $y=z^{n}$
Pokud je exponent kladné racionální číslo , tedy (neredukovatelný) zlomek , pak funkce bude mít různé hodnoty [7] . ${\frac {p}{q))$ $q$

Viz také

Poznámky

↑ Fikhtengolts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu, 1966 , svazek I, §48: Nejdůležitější třídy funkcí ..
↑ Vygodsky M. Ya. Příručka elementární matematiky. Moskva: Nauka, 1978. Strana 312.
↑ 1 2 3 4 Encyklopedie matematiky, 1985 .
↑ 1 2 3 4 BDT .
↑ 1 2 3 Matematický encyklopedický slovník, 1988 .
↑ Bronstein I. N. , Semendyaev K. A. Matematická příručka pro inženýry a studenty vysokých škol . - ed. 13. - M .: Nauka, 1985. - S. 171-172. — 544 s.
↑ 1 2 Fikhtengolts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu, 1966 , svazek II, str. 526-527 ..
↑ Sveshnikov A. G., Tichonov A. N. Teorie funkcí komplexní proměnné. - M. : Nauka, 1967. - S. 88. - 304 s.

Literatura

Bityutskov V.I. Power function // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích). - M .: Sovětská encyklopedie , 1985. - T. 5. - S. 208-209. — 1248 s.
Mocninná funkce // Matematický encyklopedický slovník . - M .: Sovětská encyklopedie, 1988. - S. 564 -565. — 847 s.
Fikhtengol'ts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu, ve třech svazcích. - ed. 6. — M .: Nauka, 1966.

Odkazy

Power function // Velká ruská encyklopedie : [ve 35 svazcích] / kap. vyd. Yu. S. Osipov . - M .: Velká ruská encyklopedie, 2004-2017.

Slovníky a encyklopedie	Velký Rus