Riemannova koule

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 19. února 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Riemannova koule je vizuální reprezentací množiny ve formě koule, stejně jako množina reálných čísel je zobrazena ve formě přímky a jak je množina komplexních čísel zobrazena ve formě roviny . Z tohoto důvodu se termín „Riemannova koule“ často používá jako synonymum pro výraz „ množina komplexních čísel doplněných bodem v nekonečnu “, spolu s pojmem „ rozšířená komplexní rovina “. [jeden] ${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$

Ve více formálním přístupu, Riemann koule je dohodnutá jako koule v prostoru daný rovnicí , se stereografickou projekcí do letadla , identifikoval se s komplexním letadlem. Právě o této formálně definované konstrukci bude pojednáno níže. [jeden] $\mathbb {R} ^{3}$ $x^{2}+y^{2}+z^{2}=z$ $Oxy$

Popis

Uvažujme trojrozměrný euklidovský prostor . Souřadnice bodů v trojrozměrném prostoru budou označeny . Uvažujme kouli tečnou k rovině v bodě o průměru . Taková koule je dána rovnicí $\mathbb {R} ^{3}$ ${\displaystyle (\xi ,\eta ,\zeta )\in \mathbb {R} ^{3))$ $\mathbb {R} ^{3}$ $S$ $O\xi \eta$ $(0;0;0)$ $jeden$

S\colon \xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=\zeta

Každý bod roviny může být spojen s bodem koule následovně. Kreslime bodem a přímkou; tato přímka bude protínat kouli ještě v jednom bodě, který budeme považovat za odpovídající bodu . Taková korespondence se nazývá stereografická projekce se středem v . Ke každému bodu roviny jednoznačně přiřadí bod koule. Ne každý bod na kouli však odpovídá bodu v rovině: žádný bod v rovině neodpovídá bodu. Máme tedy korespondenci jedna ku jedné mezi rovinou a . $(\xi ;\eta ;0)\in O\xi \eta$ $M\in S$ $N=(0;0;1)$ $(\xi ;\eta ;0)$ $(\xi ;\eta ;0)$ $N$ $N$ $O\xi \eta$ ${\displaystyle S\setminus \{N\))$

Rovinu lze identifikovat s komplexní rovinou , . Potom výše definovaná korespondence definuje spojité mapování jedna ku jedné . Abychom dokončili toto zobrazení na bijekci na celou kouli, doplníme množinu ještě o jeden bod, který budeme považovat za inverzní obraz bodu . Tento bod nazveme bod v nekonečnu a označíme ho . Máme bijekci . Množina se nazývá rozšířená množina komplexních čísel , koule se nazývá Riemannova koule . [jeden] $O\xi \eta$ $\mathbb {C}$ $x+iy=(\xi ,\eta ,0)$ ${\displaystyle \tau \colon \mathbb {C} \rightarrow S\setminus \{N\))$ $\mathbb {C}$ $N$ $\infty$ $\pi \colon \mathbb {C} \cup \{\infty \}\rightarrow S$ ${\mathbb C}\cup \{\infty \}$ $S$

Popsaná konstrukce se často používá v mnoha učebnicích k vizuální definici rozšířené množiny komplexních čísel. Topologii na této množině lze skutečně definovat nastavením otevřených množin jako předobrazů otevřených množin s ohledem na , a operace do nekonečna se rozšiřují spojitostí. Definice pomocí Riemannovy koule plně vystihuje podstatu rozšíření množiny komplexních čísel, navíc představuje její vizuální interpretaci. $\pi$

Formální definice

Koule daná v prostoru rovnicí $S$ $R^{3}$

S\colon \xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=\zeta

spolu s mapováním uvedeným jako ${\displaystyle \pi \colon S\rightarrow \mathbb {C} \cup \{\infty \))$

\pi (\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {\xi +i\eta }{1-\zeta }}

nazývaná Riemannova koule .

Mapování v definici lze obrátit, význam se tím nezmění.

Souřadnice

Číselné souřadnice na rozšířené množině komplexních čísel jsou zavedeny třemi způsoby:

afinní komplexní souřadnice schopná převzít hodnotu ; $z$ $\infty$
projektivní homogenní komplexní souřadnice ; $[z_{0}:z_{1}]$
trojrozměrné reálné souřadnice související rovnicí: $\xi ,\eta ,\zeta$

\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=\zeta

Přechod z jedné souřadnice na druhou je dán vzorcem:

z={\frac {z_{1}}{z_{0}}}

z_{0}:z_{1}=\left[{\begin{matrix}\zeta :(\xi +i\eta )&\Leftarrow \zeta >0\\0:1&\Leftarrow \zeta =0\end {matrix}}\vpravo.

\left\{{\begin{matrix}\xi +i\eta ={\dfrac {z}{1+|z|^{2}}}\\\zeta ={\dfrac {|z| ^{2}}{1+|z|^{2}}}\end{matrix}}\right.

z={\frac {\xi +i\eta }{1-\zeta ))

[jeden]

Sférická metrika

Riemannova koule nám umožňuje zavést další metriku na množině, odlišnou od euklidovské. Tato metrika se nazývá sférická metrika . Je definována jako euklidovská metrika mezi odpovídajícími body na Riemannově sféře. Tedy na dvě čísla $\mathbb {C}$ $z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$

\rho (z_{1},z_{2})={\sqrt {(\xi _{1}-\xi _{2})^{2}+(\eta _{1}-\ eta _{2})^{2}+(\zeta ^{2}-\zeta ^{2})}}

Na takovou vzdálenost není těžké získat přímý výraz.

\rho (z_{1},z_{2})={\frac {|z_{2}-z_{1}|}{{\sqrt {1+|z_{1}|^{2} }}{\sqrt {1+|z_{2}|^{2}}}}}

Euklidovské a sférické metriky jsou ekvivalentní na . Zvláštností sférické metriky je, že ji lze na rozdíl od euklidovské metriky rozšířit na rozšířenou množinu komplexních čísel. Takové pokračování je definováno úplně stejně. Pro dva prvky $\mathbb {C}$ ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} \cup \{\infty \))$

\rho (z_{1},z_{2})={\sqrt {(\xi _{1}-\xi _{2})^{2}+(\eta _{1}-\ eta _{2})^{2}+(\zeta ^{2}-\zeta ^{2})}}

Přímý výraz pro takovou vzdálenost, kdy jeden z bodů je nekonečno, se píše jinak.

\rho (z,\infty )={\frac {1}{\sqrt {1+|z|^{2))))

[jeden]

Automorfismy

Automorfismy domény se nazývají holomorfní bijektivní zobrazení této domény do sebe. V případě automorfismů celé rozšířené množiny komplexních čísel se obvykle používá termín „automorfismy Riemannovy koule“ – příklad toho, jak se výraz „Riemannova koule“ používá jako synonymum pro výraz „rozšířená množina komplexních čísel“. čísla“. Automorfismy Riemannovy koule jsou zlomkové lineární transformace (nebo Möbiovy transformace ). Nechat $U\subset \mathbb {C} \cup \infty$

\left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right|\neq 0

Zlomková lineární transformace je definována jako $f\colon \mathbb {C} \cup \infty \rightarrow \mathbb {C} \cup \infty$

f(z)={\frac {az+c}{bz+d))

rozšířen na spojitost ve všech bodech, kde tento výraz není přímo definován.

Lineární zlomková zobrazení na Riemannově sféře transformují kruhy na kruhy. [2]

Aplikace

Riemannova sféra je kromě matematiky známá i v teoretické fyzice .

Ve speciální teorii relativity je Riemannova koule modelem nebeské koule . Möbiovy transformace souvisejí s Lorentzovými transformacemi a popisují zkreslení nebeské sféry pro pozorovatele pohybujícího se blízkou rychlostí světla.

S spinory souvisí i Möbiovy a Lorentzovy transformace . V kvantové mechanice Riemannova koule parametrizuje stavy systémů popsaných 2-rozměrným prostorem (viz q-bit ), zejména rotaci masivních částic s rotací 1/2, jako je elektron . V této souvislosti se Riemannova koule nazývá Blochova koule a souřadnice zeměpisné šířky a délky se na ní používají téměř jako na běžné kouli, pouze zeměpisná šířka se počítá od pólu a úhel se dělí 2 včetně (viz obr. ) $\theta$ $0<\theta <\pi /2$

V tomto případě platí následující vztahy:

z_{0}:z_{1}=\cos \theta :e^{i\varphi }\sin \theta

\left\{{\begin{matrix}\xi +i\eta =e^{i\varphi }\sin {2\theta }\\\zeta -1=\cos {2\theta }\end{matrix} }\že jo.

V polarizační optice se Riemannova koule nazývá Poincarého koule a souřadnicové osy se nazývají Stokesovy parametry .

Vnitřek koule

Vnitřek koule ( koule ) umožňuje sémantickou interpretaci v obou výše uvedených aplikacích. Jelikož je nebeská sféra souborem světelných směrů časoprostoru, tak její vnitřek odpovídá směrům podobným času, tedy ve skutečnosti relativistickým podsvětelným rychlostem . Tento prostor je hyperbolický (má konstantní negativní zakřivení jako Lobačevského rovina , pouze s rozměrem 3, nikoli 2); přirozeně podléhá Möbiovým transformacím.

Vnitřek Blochovy koule odpovídá tzv. smíšeným stavům q-bitu a je geometricky uspořádán jako běžná koule.

Oba jsou však popsány pozitivně-definitivními 2×2 hermitovskými maticemi , uvažovanými až do násobení kladným číslem.

Literatura

Shabat BV Úvod do komplexní analýzy. — M .: Nauka , 1969 . — 577 s.

Odkazy

Riemannova koule // Velká sovětská encyklopedie : [ve 30 svazcích] / kap. vyd. A. M. Prochorov . - 3. vyd. - M .: Sovětská encyklopedie, 1969-1978.
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Riemann sphere , Encyklopedie matematiky , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4

↑ 1 2 3 4 5 Šabat, 1969 , str. 16.
↑ Šabat, 1969 , s. 47.