Möbiova transformace

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 10. dubna 2019; kontroly vyžadují 24 úprav .

Möbiova transformace je transformací jednobodového zhutnění euklidovského prostoru , což je složení konečného počtu inverzí vzhledem k hypersférám a odrazů vzhledem k nadrovinám . [1] . ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} ^{n))}=\mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \))$

V anglické literatuře je termín Möbiova transformace často definován pouze pro rozšířenou komplexní rovinu jako transformace specifikovaná pomocí lineárně-frakční funkce : ${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ $f:{\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}$

f(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d)),&x\neq \infty \\\displaystyle {\frac {a}{c)) ,&x=\infty \end{cases}}\quad a,b,c,d\in \mathbb {C} ,\quad \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\ vpravo|\neq 0

Tuto definici lze považovat za speciální případ obecné pro , protože pokud je rozšířená komplexní rovina reprezentována jako , pak jsou definice ekvivalentní. V ruskojazyčné literatuře se pro lineárně zlomkové funkce komplexních čísel používá termín lineárně zlomková transformace . $n=2$ ${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} ^{2))}=\mathbb {R} ^{2}\cup \{\infty \))$

Pro případ jednobodového zhutnění čáry se jedná o projektivně prodlouženou reálnou čáru . Na něm lze Möbiovy transformace definovat podobně jako v komplexním případě pomocí lineárně-zlomkových funkcí. $n=1$

Projektivně rozšířená číselná řada

V případě, že mezera je rozšířená číselná řada. V tomto případě Möbiova transformace umožňuje alternativní definici pomocí lineárně zlomkové funkce: $n=1$ $\R \cup \{\infty\}$

f(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d)),&x\neq \infty \\\displaystyle {\frac {a}{c)) ,&x=\infty \end{cases}}\quad a,b,c,d\in \mathbb {R} ,\quad \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\ vpravo|\neq 0

Rozšířená komplexní rovina

V tomto případě lze prostor vnímat jako rozšířenou komplexní rovinu. Uvažováno tímto způsobem, Möbiova transformace se také nazývá lineárně-frakční transformace a může být alternativně definována pomocí lineárně-frakční funkce: $n=2$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\cup \{\infty \))$

f(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d)),&x\neq \infty \\\displaystyle {\frac {a}{c)) ,&x=\infty \end{cases}}\quad a,b,c,d\in \mathbb {C} ,\quad \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\ vpravo|\neq 0

V prostoru dimenze 2 transformuje Möbiova transformace zobecněné kružnice na zobecněné kružnice. Lze ji považovat buď za bodovou transformaci nebo za transformaci zobecněných kružnic [2] :

jako bodová transformace je Möbiova transformace transformací prodloužené euklidovské roviny tak, že se z kruhu nebo čáry stane kruh nebo čára. Máme bodovou anallagmatickou geometrii ;
jako bezbodová transformace je Möbiova transformace speciálním případem kontaktní transformace , ve které hlavním prvkem není bod, ale kruh. Máme kruhovou anallagmatickou geometrii.

Následující jednoduché vlastnosti lze snadno ověřit:

Mapování identity je také speciálním případem lineárně-frakční funkce. Dost na nahrazení $f(z)=z$ $a=d=1,\;b=c=0.$
Superpozice lineárně zlomkových zobrazení bude také lineárně zlomkovou funkcí.
Taková bude i funkce inverzní k lineárně zlomkové.

Z toho vyplývá, že lineárně-zlomková zobrazení vytvoří grupu pod operací superpozice ( skupina automorfismu Riemannovy koule , nazývaná také Möbiova grupa ). Tato grupa je komplexní -trojrozměrná Lieova grupa .

Algebraické vlastnosti

Při vynásobení parametrů , , , nenulovým komplexním číslem se transformace nezmění. Formálně řečeno, Möbiova grupa je projektivizací grupy , to znamená, že existuje epimorfismus : . $A$ $b$ $C$ $d$ $GL_{2}(\mathbb {C} )$ $\left(\begin{matrix}a&&b\\c&d\end{matrix}\right)\to\frac{az+b}{cz+d}$

Möbiova skupina je izomorfní ke speciální ortochronní Lorentzově skupině $SO^\uparrow(1;\;3)$ .

Předpokládejme, že matice odpovídající transformaci je normalizovaná, to znamená, že splňuje podmínku . Potom, v závislosti na stopě této matice, rovné , můžeme klasifikovat všechna lineárně-frakční zobrazení do tří typů: $ad-bc=1$ $a+d$

eliptické: ; $|a+d|<2$
parabolický: ; $a+d=\pm 2$
hyperbolický: . $|a+d|>2$

Geometrické vlastnosti

Za prvé, jakékoli lineárně zlomkové mapování může být reprezentováno jako kombinace posunů , inverzí , rotací a úseků . To lze snadno dokázat – libovolnou mapu lze rozložit na superpozici čtyř funkcí: $f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$

f(z)=f_4(f_3(f_2(f_1(z)))),

kde

\begin{matrix}f_1(z)&=&z+\dfrac{d}{c},\\f_2(z)&=&\dfrac{1}{z},\\f_3(z)&=&-\ dfrac{ad-bc}{c^2}z,\\f_4(z)&=&z+\dfrac{a}{c}.\end{matrix}

Za druhé, vlastnost zachování úhlů a zachování kružnic pod lineárně zlomkovým zobrazením z toho okamžitě vyplývá, protože všechna zobrazení obsažená v superpozici jsou konformní. Zde máme na mysli kružnice na Riemannově kouli , které zahrnují přímky v rovině.

Dále, pro tři párově odlišné body existuje jedinečné lineárně-zlomkové mapování, které mapuje tyto tři body na dané tři párově odlišné body . Je konstruován na základě skutečnosti, že lineárně-zlomková zobrazení zachovávají anharmonický poměr čtyř bodů komplexní roviny. Pokud je bod obrazem bodu , pak rovnost $z_1,\;z_2,\;z_3$ $w_1,\;w_2,\;w_3$ $w(z)$ $z$

\frac{(z_1-z_3)(z_2-z)}{(z_1-z)(z_2-z_3)}=\frac{(w_1-w_3)(w_2-w(z))}{(w_1-w( z))(w_2-w_3)},

což (za podmínky, že pro ) jednoznačně určuje požadované mapování $z_i \ne z_j, w_i \ne w_j$ $já \ne j$ $w(z).$

Möbiova transformace a jednotková kružnice

Möbiova transformace

f(z)=\frac{az+b}{cz+d}

je automorfismus jednotkového kruhu právě tehdy, když a . $\Delta=\{z \in {\mathbb C}: \, |z|<1\}$ $a{\bar b}=c{\bar d}$ $|a|=|d|>|c|$

Pro Riemannovu sféru i jednotkovou kružnici jsou všechny konformní automorfismy vyčerpány lineárně-frakčními funkcemi. Automorfismy jednotkového kruhu tvoří reálnou trojrozměrnou podgrupu Möbiovy grupy; každý z nich je vyjádřen jako:

f(z)=e^{i\varphi}\frac{z+\beta}{{\bar\beta}z+1},\quad\beta\in\Delta,\quad|e^{i\varphi} |=1.

Příklady

Jedním z důležitých příkladů lineární zlomkové funkce je Cayleyova transformace :

W(z)=\frac{zi}{z+i}.

Propojuje dvě kanonické domény na komplexní rovině mapováním horní poloroviny na jednotkový kruh . ${\mathbb C}^+$ $\Delta$

Prostory vyšších dimenzí

Počínaje jakýmkoli konformním mapováním je Möbiova transformace. Möbiovy transformace mají jeden z následujících typů: $n=3$

$f(x)=b+A(xa)$
${\displaystyle f(x)=b+{\dfrac {A(xa)}{|xa|^{2))))$ ,

kde , je ortogonální matice . $a,b\in \mathbb {R}$ $A$

Poznámky

↑ Alfors L. Möbiovy transformace ve vícerozměrném prostoru, 1986 , s. 5.
↑ Mathematical Encyclopedia , vol. 3, 1982 , st. 122.

Literatura

Shabat BV Úvod do komplexní analýzy. — M .: Nauka , 1969. — 577 s.
Alfors L. Möbiovy transformace ve vícerozměrném prostoru: Per. z angličtiny. N. A. Gusevsky. Ed. S. L. Krushkala . M.: Mir, 1986. 112 s., ill. [Moderní matematika. Úvodní kurzy.]
Matematická encyklopedie : Ch. vyd. I. M. Vinogradov , díl 3 Koo-Od. M .: "Sovětská encyklopedie", 1982. 1184 stb., Ill.

Odkazy

Moebius Transformations Revealed Archived 16. února 2011 na Wayback Machine na YouTube .
- totéž (s ruskými titulky) Archivováno 22. června 2015 na Wayback Machine .