Konvergence v míře

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 28. září 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Konvergence v míře (v pravděpodobnosti) ve funkcionální analýze , teorii pravděpodobnosti a příbuzných disciplínách je druh konvergence měřitelných funkcí ( náhodných veličin ) daných na prostoru s mírou ( pravděpodobnostní prostor ).

Definice

Nechť je prostor s mírou. Nechť jsou měřitelné funkce na tomto prostoru. Říká se, že posloupnost funkcí konverguje v míře k funkci if $(X,\mathcal{F},\mu)$ $f_n,f:X \to \mathbb{R}^m,\; n=1,2,\ldots$ $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$ $F$

\forall \varepsilon > 0, \; \lim\limits_{n \to \infty}\mu(\{x \in X \mid \|f_n(x) - f(x)\|>\varepsilon\}) = 0

Označení: . $f_n \stackrel{\mu}{\longrightarrow} f$

Z hlediska teorie pravděpodobnosti, pokud je prostor pravděpodobnosti dán s náhodnými proměnnými na něm definovanými , pak říkají, že konverguje v pravděpodobnosti k $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $X_n,X,\; n=1,2,\ldots$ $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ $X$

\forall \varepsilon > 0,\; \lim\limits_{n \to \infty} \mathbb{P}(|X_n - X| > \varepsilon) = 0

Označení: . $X_n \stackrel{\mathbb{P}}{\longrightarrow} X$

Poznámka

Definici konvergence v míře (v pravděpodobnosti) lze zobecnit na zobrazení ( náhodné prvky ) nabývající hodnot v libovolném metrickém prostoru .

Vlastnosti konvergence v míře

Věta (Riess F.): Jestliže posloupnost funkcí konverguje v míře k , pak má podposloupnost , která konverguje k - téměř všude . $f_n$ $F$ $f_{n_{k}}$ $F$ $\mu$

Věta (kritérium pro konvergenci v míře): Je-li míra konečná, pak posloupnost funkcí konverguje v míře právě tehdy a jen tehdy, když pro kteroukoli podposloupnost posloupnosti existuje podposloupnost, která konverguje téměř všude. $f_n$ $F$ $f_n$ $F$

Pokud posloupnost funkcí konverguje v míře k , a , kde , pak , a konverguje k in . $f_n$ $F$ $\forall n \in \mathbb{N},\; |f_n| \leqslant g$ $g \in L^p,\; p \geqslant 1$ $f_n, f \in L^p$ $f_n$ $F$ $L^{p}$

Jestliže v prostoru s konečnou mírou posloupnost funkcí konverguje -téměř všude k , pak konverguje také v míře. Opak obecně neplatí. $f_n$ $\mu$ $F$

Jestliže posloupnost funkcí konverguje v k , pak konverguje také v míře. Opak obecně neplatí. $f_n$ $L^{p}$ $F$

Jestliže posloupnost náhodných proměnných konverguje v pravděpodobnosti k , pak konverguje k a v distribuci . $X_n$ $X$ $X$
Jestliže posloupnost náhodných proměnných konverguje v pravděpodobnosti k , pak pro jakoukoli spojitou funkci platí, že . Toto tvrzení platí zejména pro jakoukoli spojitou funkci několika proměnných $X_n$ $X$ $f(x)$ $f(X_{n})\to f(X),n\to \infty$ $X_{n}+Y_{n}\to X+Y,n\to \infty$