Feit-Thompsonova věta

Feit-Thompsonova věta nebo věta o lichém řádu říká, že jakákoli konečná grupa lichého řádu je řešitelná . Větu dokázali Walter Veit a John Griggs Thompson [1] [2] .

Historie

Rozdíl mezi lichým a sudým řádem, který tento výsledek ukazuje, naznačuje, jako důsledek, že jednoduché skupiny lichého řádu neexistují.

—  ( William Burnside , s. 503 pozn. M)

William Burnside [3] se domníval, že každá neabelovská konečná jednoduchá grupa sudé uspořádání. Richard Brouwer [4] pomocí centralizátorů involucí jednoduchých grup jako základu pro klasifikaci konečných jednoduchých grup jako v Brouwer-Fowlerově větě předpokládal, že existuje pouze konečný počet konečných jednoduchých grup s daným středem involuce . Skupina lichého řádu nemá žádné involuce, takže ke splnění Brouwerova plánu je nejprve nutné ukázat, že necyklické konečné jednoduché grupy nikdy nemají liché uspořádání. To je ekvivalentní důkazu, že skupiny lichého řádu jsou řešitelné, což dokázali Thompson a Feit.

Útok na Burnsideovu domněnku zahájil Suzuki [5] , který studoval CA skupiny [6] . To jsou skupiny, ve kterých je centralizátorem jakéhokoli netriviálního prvku abelovský . Ve své práci ukázal, že všechny CA-grupy lichého řádu jsou řešitelné. (Později klasifikoval všechny jednoduché grupy CA a všechny jednoduché grupy, ve kterých má centralizátor jakékoli involuce normální 2-Sylow podgrupu, přičemž v průběhu klasifikace nalezl vynechanou rodinu jednoduchých grup Lieova typu , která se nyní nazývá Suzuki group .)

Feit, Hall a Thompson [7] rozšířili práci Suzuki na rodinu CN - groups . Jedná se o skupiny, ve kterých je centralizátor jakéhokoli netriviálního prvku nilpotentní [8] . Ukázali, že každá CN-skupina lichého řádu je řešitelná. Jejich důkaz je podobný jako u Suzuki. Důkaz zabral asi 17 stran, což bylo na tehdejší teorii grup velmi dlouho.

Feit-Thompsonův teorém může být viděn jako další krok v tomto procesu - ukázali, že neexistuje žádná necyklická jednoduchá grupa lichého řádu, ve které by byla řešitelná jakákoli správná podgrupa . To dokazuje, že každá konečná grupa lichého řádu je řešitelná, protože minimální protipříklad musí být jednoduchá grupa, ve které je řešitelná každá správná podgrupa. Schéma důkazu se sice blíží důkazům vět pro grupy CA a CN, ale detaily jsou mnohem složitější, takže výsledný článek měl 255 stran textu.

Význam důkazu

Feit-Thompsonův teorém ukázal, že klasifikace konečných jednoduchých grup pomocí centralizátorů involuce je možná, protože každá neabelovská jednoduchá grupa má involuci. Mnohé z technik používaných při důkazu teorému, a zejména myšlenka místní analýzy , byly později vyvinuty do metod používaných při klasifikaci. Snad nejrevolučnějším aspektem důkazu byla jeho délka – před Feithovým a Thompsonovým článkem měly vzácné články v teorii grup více než několik stránek a bylo možné je obecně prostudovat za den. Když si výzkumníci teorie skupin uvědomili, že dlouhé výklady mohou fungovat, začaly se objevovat stovky stránek dlouhých článků. Některé dokonce předčí práci Feita a Thompsona, například práce Michaela Aschbachera a Stephena D. Smitha o kvazi tenkých skupinách s má 1 221 stran.

Revize důkazu

Mnoho matematiků zjednodušilo části původního důkazu Feitha a Thompsona. Všechna tato vylepšení jsou však v jistém smyslu lokální, hlavní struktura prezentace zůstává stejná, ale některé detaily důkazu byly zjednodušeny.

Zjednodušený důkaz vyšel ve dvou knihách, v knize od Bendera a Glaubermana [9] , která pokrývá vše kromě teorie postav, a v knize od Peterfalviho [10] , která se věnuje teorii postav. Tento revidovaný důkaz zůstává velmi složitý a delší než původní důkaz, ale je napsán lehčím stylem.

Finální formální důkaz, ověřený pomocí systému automatického dokazování teorémů Coq , oznámil v září 2012 Georges Gontier, který spolupracoval se skupinou zaměstnanců Microsoft Research a INRIA [11] .

Schéma důkazu

Namísto přímého popisu Feit-Thompsonovy věty je snazší popsat Suzukiho větu CA a poté vysvětlit některé doplňky potřebné pro větu CN a větu o lichém řádu. Důkaz lze rozdělit do tří kroků. Nechť G je neabelovská (minimální) jednoduchá grupa lichého řádu splňující podmínky CA-teorému. Podrobnější představení článku o lichém řádu viz článek Thompsona [12] , Gorensteina [13] nebo Glaubermana [14] .

Krok 1. Lokální analýza struktury skupiny G

V případě CA je analýza jednoduchá, protože relace " a komutuje s b " je relací ekvivalence na neidentitních prvcích. Prvky jsou tedy rozděleny do tříd ekvivalence a každá třída ekvivalence je množinou netriviálních prvků maximální abelovské podskupiny. Normalizátory těchto maximálních abelovských podskupin se ukázaly být přesně maximálními vlastními podskupinami skupiny G. Těmito normalizátory jsou Frobeniusovy skupiny , pro které je teorie znaků zcela transparentní a vhodná pro manipulaci pomocí indukčního znaku . Také množina prvočíselných dělitelů| G | se rozkládá podle prvočísel, která rozdělují řády různých koset maximálních abelovských podskupin. Přístup rozdělující prvočíslo | G | podle tříd společného výskytu některých Hallových podskupin (Halovská podskupina je podskupina, jejíž pořadí a index jsou koprimé), které odpovídají maximálním podskupinám skupiny G (až do společného výskytu), se opakuje v důkaz jako Feit-Hall-Thompson CN-teorém, tak jsou Feit-Thompsonovy teorémy lichého řádu. Každá maximální podgrupa M má nějakou nilpotentní Hallovu podgrupu M σ s normalizátorem obsaženým v M ​​, jehož řád je dělitelný některými prvočísly tvořícími množinu . Dvě maximální podskupiny jsou sousedící právě tehdy, když jsou množiny stejné, a pokud nesousedí, množiny jsou disjunktní. Jakékoli prvočíslo rozdělující pořadí skupiny G se objeví v nějaké množině . Prvotřídní dělitelé řádu skupiny G jsou tedy rozděleni do množin odpovídajících množinám maximálních podskupin. Důkaz případu CN je již mnohem složitější než případ CA – hlavním dodatečným problémem je důkaz, že se dvě různé podskupiny Sylow protínají v prvku identity. Tato část věty o lichém řádu zabírá přes 100 stránek deníku. Klíčovým krokem je důkaz Thompsonovy věty o jedinečnosti , která uvádí, že Abelovské podgrupy normální úrovně alespoň 3 jsou obsaženy v jedinečné maximální podgrupě, což znamená, že prvočísla p , pro která mají Sylow p -podgrupy normální úroveň nejvýše 2, by měla posuzovat samostatně. Bender později zjednodušil důkaz teorému o jedinečnosti pomocí Benderovy metody . Zatímco v případě CN výslednými maximálními podgrupami M zůstávají Frobeniovy grupy, maximální podgrupy, které se objevují v důkazu věty o lichém řádu, takovou strukturu mít nemusí a analýza jejich struktury a vztahů dává 5 možných typů maximálních podgrup. , které jsou označovány jako typy I, II, III, IV, V. Podskupiny typu I jsou podskupiny "Frobeniova typu", což je mírné zobecnění Frobeniovy skupiny, a ve skutečnosti se jako Frobeniovy skupiny ukáže později v důkazu. Mají strukturu , kde je největší normální nilpotentní Hallova podgrupa a U má podgrupu se stejným exponentem, stejně jako Frobeniova grupa s jádrem . Typy II, III, IV, V jsou všechny 3-krokové skupiny se strukturou , kde je vygenerovaná podskupina skupiny M . Rozdělení na typy II, III, IV a V závisí na struktuře a začlenění podskupiny U takto:

Všechny třídy maximálních podskupin kromě dvou jsou typu I, ale mohou existovat další dvě třídy maximálních podskupin, jedna typu II a druhá typu II, III, IV nebo V.

Krok 2. Teorie znaků grupy G

Je-li X ireducibilním znakem normalizátoru H maximální abelovské podskupiny A CA-skupiny G , která neobsahuje A ve svém jádru, můžeme z X získat znak Y z G , který nemusí být nutně ireducibilní. Ze známé struktury skupiny G je snadné najít hodnoty znaku Y pro všechny prvky skupiny G kromě jednoho. Z toho vyplývá, že když X 1 a X 2 jsou dva neredukovatelné znaky normalizátoru H a Y 1 a Y 2 jsou odpovídající indukované znaky, pak je Y 1 − Y 2 zcela definován a výpočet jeho normy ukazuje, že jde o rozdíl dvou neredukovatelných znaků skupiny G (někdy se jim říká výjimečné znaky skupiny G pro normalizátor H ). Výpočet ukazuje, že každý netriviální neredukovatelný znak skupiny G se vyskytuje právě jednou jako výjimečný znak spojený s normalizátorem nějaké maximální abelovské podskupiny skupiny G . Podobný argument (s nahrazením abelovských Hallových podgrup nilpotentními Hallovými podgrupami) funguje v důkazu CN věty. V důkazu teorému o lichém řádu je však argument pro konstrukci znaků skupiny G ze znaků podskupin jemnější a používá izometrii mezi kruhy znaků spíše než indukované znaky, protože maximální podskupiny mají složitější struktury. a jsou vloženy méně transparentním způsobem. Teorie výjimečných znaků je nahrazena teorií koherentních souborů znaků pro rozšíření Deidovy izometrie. Zhruba řečeno, tato teorie říká, že Dade izometrie může být rozšířena, pokud skupina neobsahuje nějakou určitou strukturu. Peterfalvy [15] popisuje zjednodušenou verzi teorie postav (na základě článků Grandfathera, Sibleyho a Peterfalvyho).

Krok 3. Konečný rozpor

V kroku 2 máme úplný a přesný popis tabulky znaků CA-skupiny G . S využitím skutečnosti, že G má liché pořadí, jsou k dispozici potřebné informace pro získání odhadu | G | a dosažení předpokladu, že G je prvočíslo. Tato část důkazu funguje obdobně pro případ CN-skupin.

V důkazu Feith-Thompsonovy věty je však tento krok (jako obvykle) mnohem obtížnější. Teorie znaků pouze vylučuje některé možné konfigurace, které zbyly po kroku 1. Za prvé, Feith a Thompson ukázali, že maximální podskupiny typu I jsou všechny Frobeniovy skupiny. Pokud jsou všechny maximální podskupiny typu I, pak argumenty jako případ CN ukazují, že G nemůže mít minimální jednoduchou skupinu lichého řádu, takže existují přesně dva případy maximálních podskupin typu II, III, IV nebo V. Většina zbytek se důkaz zaměřuje na tyto dva typy maximálních podgrup S a T a souvislost mezi nimi. Některé další argumenty teorie znaků ukazují, že nemohou být typu IV nebo V. Tyto dvě podskupiny mají určitou strukturu - podgrupa S má řád a skládá se ze všech automorfismů základního konečného pole řádu p q tvaru , kde a má normu 1 a je automorfismem konečného tělesa, kde p a q jsou různá prvočísla. Maximální podskupina T má podobnou strukturu, přičemž p a q jsou zaměněny . Podskupiny S a T spolu úzce souvisí. Pokud připustíme, že p > q , můžeme ukázat, že cyklická podskupina S řádu je konjugovaná s podskupinou cyklické podskupiny T řádu . (Především první číslo dělí druhé, takže pokud je Feit-Thompsonova domněnka pravdivá , z toho plyne, že se to nemůže stát a důkaz by mohl být v tomto bodě ukončen. Dohad však zůstává neprokázaný.)

Po aplikaci teorie znaků na grupu G dojdeme k závěru, že G má následující strukturu: existují prvočísla p > q taková, že koprimá k p −1 a G má podgrupu danou polopřímým součinem PU , kde P je aditivní grupa konečné pole řádu a U jsou jeho prvky s normou 1. Nicméně grupa G má abelovskou podgrupu Q řádu coprime k p obsahující prvek y takový, že P 0 normalizuje Q a normalizuje U , kde je aditivní grupa a konečné pole řádu p . (Pro p =2 vzniká podobná konfigurace ve skupině , přičemž PU je borelská podskupina horních trojúhelníkových matic a Q je podskupina řádu 3 generovaná y =(01
11).) K vyloučení tohoto posledního případu používá Thompson některé děsivé složité manipulace s generátory a vztahy , které později zjednodušil Peterfalvi [16] , jehož argumenty jsou uvedeny v článku Bendera a Glaubermana [9] . Důkaz kontroluje množinu prvků a v konečném tělese řádu p q tak, že a a 2– a mají normu 1. Nejprve zkontrolujeme, že tato množina má alespoň jeden prvek jiný než 1. Pak jsou zde poměrně složité argumenty pomocí generátory a zapojení ve skupině G ukazují, že množina je uzavřena tím, že vezmeme inverzní. Je-li a v množině a není rovno 1, pak polynom N((1– a ) x +1)–1 má stupeň q a má alespoň p zřetelných kořenů daných prvky x z F p , za použití faktu to mapuje množinu do sebe, takže p ≤ q , což je v rozporu s předpokladem p > q .

Použití lichého

To, že je řád G liché, je v důkazu použito na několika místech následovně [12] .

Poznámky

  1. ↑ Feit, Thompson, 1962 .
  2. ↑ Feit, Thompson, 1963 .
  3. ↑ Burnside, 1911 , str. 503 Poznámka M.
  4. ↑ Brauer, 1957 .
  5. ↑ Suzuki, 1957 .
  6. ↑ CA = C entralizátor (centralizátor) a A belian (Abelian).
  7. ↑ Feit, Hall, Thompson, 1960 .
  8. ↑ CN = C entralizér (centralizátor) a N ilpotentní (nilpotent).
  9. ↑ 1 2 Bender, Glauberman, 1994 .
  10. ↑ Peterfalvi, 2000 , s. část I.
  11. ↑ Msr-inria, 2012 .
  12. ↑ 12 Thompson , 1963 .
  13. ↑ Gorenstein, 1980 .
  14. ↑ Glauberman, 1999 .
  15. ↑ Peterfalvi, 2000 .
  16. ↑ Peterfalvi, 1984 .

Literatura