Fenchelova věta o dualitě

Fenchelův teorém duality je výsledkem teorie konvexních funkcí pojmenované po německém matematikovi Werner Fenchel .

Nechť ƒ je konvexní vlastní funkce a g je konkávní vlastní funkce na . Pak, pokud jsou splněny podmínky pravidelnosti, $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

\inf _{x}(f(x)-g(x))=\sup _{p}(g_{\star }(p)-f^{\star }(p)).

kde je konvexní konjugát funkce ƒ (který se nazývá Fenchel-Legendreova transformace) a je konkávní konjugát funkce g . to znamená, $f^{\star }$ ${\displaystyle g_{\star ))$

f^{\star }\left(x^{*}\right):=\sup \left\{\left.\left\langle x^{*},x\right\rangle -f\left (x\vpravo)\vpravo|x\in \mathbb {R} ^{n}\vpravo\}

g_{\star }\left(x^{*}\right):=\inf \left\{\left.\left\langle x^{*},x\right\rangle -g\left( x\right)\right|x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}

Matematická věta

Nechť X a Y jsou Banachovy prostory a jsou konvexní funkce a jsou ohraničené lineární zobrazení . Pak problémy s Fenchel ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \))$ ${\displaystyle g:Y\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \))$ $A:X\to Y$

{\displaystyle p^{*}=\inf _{x\in X}\{f(x)+g(Ax)\))

d^{*}=\sup _{y^{*}\in Y^{*}}\{-f^{*}(A^{*}y^{*})-g^{ *}(-y^{*})\}

uspokojit slabou dualitu , tedy . Všimněte si, že jde o konvexní konjugace funkcí f a g , v tomto pořadí, a je to adjoint operátor . Poruchová funkce pro tento duální problém je dána vzorcem . $p^{*}\geqslant d^{*}$ ${\displaystyle f^{\star },g^{\star ))$ $A^{*}$ $F(x,y)=f(x)+g(Ax-y)$

Předpokládejme, že f , g a A splňují buď

f a g jsou nižší polospojité a , kde je algebraický vnitřek , a , kde h je nějaká funkce, je množina , popř. $0\in \operatorname {core} (\operatorname {dom} gA\operatorname {dom} f)$ $\operatorname {core}$ $\operatorname {dom} h$ ${\displaystyle \{z:h(z)<+\infty \))$
$A\operatorname {dom} f\cap \operatorname {cont} g\neq \emptyset$ , kde jsou body, kde je funkce spojitá . $\operatorname {cont}$

Pak je tu silná dualita , tedy . Jestliže , pak je dosaženo supremum [1] . $p^{*}=d^{*}$ $d^{*}\in \mathbb {R}$

Jednorozměrná ilustrace

Obrázek ilustruje problém minimalizace na levé straně rovnosti. Hledání hodnoty x tak, aby vertikální vzdálenost mezi konvexní a konkávní křivkou v x byla co nejmenší. Poloha svislé čáry na obrázku je (přibližně) optimální.

Následující obrázek ilustruje problém maximalizace na pravé straně výše uvedené rovnosti. Tečny nakreslené pro každou křivku mají stejný sklon p . Cílem je zpřesnit hodnotu p tak, aby obě tečny byly od sebe co nejdále (přesněji aby jejich průsečíky s osou y byly co nejdále od sebe). Mechanicky si můžeme tečny představit jako kovové tyče spojené svislými pružinami, které je tlačí od sebe, a paraboly omezují polohu tyčí.

Fenchelova věta říká, že tyto dva problémy mají stejné řešení. Body s minimální svislou vzdáleností jsou také tečnými body pro nejrozšířenější rovnoběžné tečny.

Viz také

Poznámky

↑ Borwein, Zhu, 2005 , str. 135–137.

Literatura

R. Tyrrell Rockafellar. Konvexní analýza. - Princeton University Press, 1996. - S. 327. - ISBN 0-691-01586-4 .
Jonathan Borwein, Qiji Zhu. Techniky variační analýzy. - Springer, 2005. - ISBN 978-1-4419-2026-3 .