Věta o prvočíslech

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 6. února 2022; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Věta o distribuci prvočísel je teorém analytické teorie čísel , který popisuje asymptotiku distribuce prvočísel , která říká, že distribuční funkce prvočísel (počet prvočísel na intervalu ) roste s rostoucím jako , to znamená: $\kolík)$ $[1;n]$ $n$ ${\frac {n}{\ln n))$

{\frac {\pi (n)}{n/\ln n))\to 1

, když

n\to \infty .

Zhruba řečeno to znamená, že náhodně zvolené číslo od 1 do pravděpodobnosti, že bude prvočíslo, se přibližně rovná . $n$ ${\frac {1}{\ln n))$

Také tato věta může být ekvivalentně přeformulována tak, aby popsala chování prvního čísla : říká, že $k$ $p_{k}$

p_{k}\sim k\ln k,\quad k\to \infty

(dále zápis znamená, že když argument funkcí směřuje k nekonečnu). $f\sim g$ $f/g\na 1$

Přesněji řečeno, distribuce prvočísel je popsána integrální logaritmickou funkcí . Pokud je Riemannova hypotéza pravdivá , pak [1]

\pi (n)=\název operátora {Li} (n)+O({\sqrt {n))\ln n)

x\rightarrow \infty .

Historie

První statistické zákonitosti v uspořádání prvočísel si všiml Gauss . V dopise Enckemu (1849) uvedl, že již v roce 1792 nebo 1793 čistě empiricky zjistil, že hustota prvočísel „je v průměru blízká hodnotě nepřímo úměrné logaritmu“ [2] . Do této doby, na základě tabulek prvočísel sestavených Felkelem a Vegou , Legendre navrhl (v roce 1796), že distribuční funkci prvočísel (počet prvočísel nepřesahující x ) lze aproximovat: $\pi(x)$

\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)-B))

kde Gauss ve zmíněném dopise kritizuje Legendreův vzorec a pomocí heuristického uvažování navrhuje další aproximační funkci - integrální logaritmus : $B\cca 1{,}08366.$

{\mathrm {Li}}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln x}}\,dx

Tuto domněnku však Gauss nikde nezveřejnil. Jak Legendre, tak Gaussova aproximace vedou ke stejné předpokládané asymptotické ekvivalenci funkcí a naznačené výše, i když se Gaussova aproximace ukáže jako mnohem lepší, pokud při odhadu chyby vezmeme v úvahu rozdíl funkcí místo jejich poměru. $\pi(x)$ $x/\ln(x)$

Ve dvou svých pracích, 1848 a 1850 , Chebyshev dokazuje [3] , že horní M a dolní m limity vztahu

{\frac {\pi (x)}{x/\ln x}}\qquad

(jeden)

jsou obsaženy v , a také, že pokud existuje limita vztahu (1), pak je rovna 1. Později (1881) J. J. Sylvester zúžil přípustný interval pro limitu z 10 % na 4 %. $0{,}92129\leqslant m\leqslant M\leqslant 1{,}10555$

V roce 1859 se objevila Riemannova práce , zvažující (představenou Eulerem jako funkci skutečného argumentu) ζ -funkci v komplexní oblasti a vztahující její chování k distribuci prvočísel. Při rozvíjení myšlenek této práce v roce 1896 Hadamard a de la Vallée Poussin současně a nezávisle dokázali větu o rozdělení prvočísel.

Nakonec se v roce 1949 objevil Erdős - Selbergův důkaz, který nepoužívá komplexní analýzu .

Obecný průběh důkazu

Reformulace z hlediska Čebyševovy funkce psi

Obecným počátečním stádiem uvažování je přeformulování zákona rozdělení prvočísel z hlediska Čebyševovy psi-funkce , definované jako

\psi (x)=\sum _{{p^{k}\leq x}}\log p,\qquad \qquad (*)

jinými slovy, Čebyševova psi-funkce je součtem Mangoldtovy funkce :

\psi (x)=\sum _{{n\leq x}}\Lambda (n),\qquad \Lambda (n)={\begin{cases}\log p,&n=p^{k},\ ,k\geq 1,\quad p\,{\text{je prvočíslo}}\\0,&{\text{jinak}}.\end{cases}}

Ukazuje se totiž, že asymptotické rozdělení prvočísel je ekvivalentní tomu, že

\psi (x)\sim x,\quad x\to \infty .

Je to proto, že logaritmus je "téměř konstantní" po většinu intervalu a příspěvek čtverců, kostek atd. k součtu (*) je zanedbatelný; proto jsou téměř všechny přidané logaritmy přibližně rovny a funkce se chová asymptoticky stejným způsobem jako . $[1,n]$ $\ln str$ $\ln x$ $\psi(x)$ $\pi (x)\cdot \ln x$

Klasické uvažování: přechod na Riemannovu zeta funkci

Jak vyplývá z Eulerovy identity ,

\zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{{-s))))

Dirichletova řada ("generující funkce") odpovídající Mangoldtově funkci je mínus logaritmická derivace zeta funkce:

\sum _{n}\Lambda (n)n^{{-s}}=-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s))).

Navíc integrál podél svislé čáry napravo od funkce 0 je roven a 0 pro . Proto násobení pravé a levé strany a (úhledné - nevlastní integrály konvergují pouze podmíněně!) integrace podél svislé čáry na levé straně ponechá přesně součet s . Na druhou stranu, použití věty o zbytcích nám umožňuje zapsat levou stranu jako součet zbytků; každá nula zeta funkce odpovídá pólu prvního řádu její logaritmické derivace se zbytkem rovným 1 a pólu prvního řádu v bodě , pólu prvního řádu se zbytkem rovným . $a^{s}/s$ $2\pi i$ $a>1$ $0<a<1$ ${\frac {1}{2\pi i}}x^{s}/s$ $ds$ $\Lambda(n)$ $n\leqslant x$ $s=1$ $(-jeden)$

Důsledná implementace tohoto programu umožňuje získat [4] explicitní Riemannův vzorec[5] :

\psi (x)=x-\sum _{\rho :\,\zeta (\rho )=0, \atop 0<\jméno operátora {Re} (\rho )<1}{\frac {x ^{\rho }}{\rho }}-\log(2\pi )-{\frac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).\qquad \qquad (** )

Sčítání se zde provádí přes nuly funkce zeta, které leží v kritickém pásmu , člen odpovídá pólu v nule a člen odpovídá takzvaným "triviálním" nulám funkce zeta . $\rho$ $0<\operatorname {Re} (s)<1$ $-\log(2\pi )=-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)))$ ${\frac {x^{s}}{s}}$ $-\log(1-x^{-2})/2$ $s=-2,-4,-6,\tečky$

Absence netriviálních nul zeta funkce mimo kritické pásmo znamená požadované tvrzení (součet ve vzorci (**) poroste pomaleji než ). Riemannova hypotéza navíc znamená „optimální“ odhad pro možné odchylky od , a tedy pro odchylky od . $\psi (x)\sim x$ $X$ $\psi(x)$ $X$ $\pi(x)$ $x/\ln x$

Elementární důkaz: Erdős-Selbergovo dokončení

Základní aritmetický teorém , zapsaný po logaritmu jako

\ln n=\součet _{{p,k:\,p^{k}|n}}\ln p

je tedy formulován z hlediska aritmetických funkcí a Dirichletovy konvoluce as

\ln =\Lambda *{\mathbf {1}},

kde a jsou aritmetické funkce, logaritmus argumentu a identická jednotka. $\ln$ $\mathbf{1}$

Möbiův inverzní vzorec nám umožňuje přenést na pravou stranu: $\mathbf{1}$

\Lambda ={\ln }*\mu ,\qquad \qquad (**)

kde je Möbiova funkce. $\mu$

Součet levé strany (**) je požadovaná funkce . Na pravé straně nám aplikace Dirichletova vzorce hyperboly umožňuje snížit součet konvoluce na součet , kde je součet logaritmu. Aplikace Euler-Maclaurinova vzorce nám umožňuje psát jako $\psi$ $\sum \limits _{k}L\left({\frac {n}{k}}\right)\mu (k),$ $L$ $L(n)$

L(n)=n\ln n-n+{\frac {1}{2}}\ln n+\gamma +o(1),

kde je Eulerova konstanta . Oddělíme-li od tohoto výrazu členy, které mají tvar pro vhodně zvolenou funkci F (jmenovitě ), a zbytek označíme R , máme díky Möbiově inverzi $\gamma$ $\sum \limits _{k}F\left({\frac {n}{k))\right)$ $F(x)=x-\gamma-1$

\Lambda =F+\sum \limits _{k}R\left({\frac {n}{k}}\right)\mu (k).

Protože zbývá ověřit, že druhý termín má tvar . Aplikace Askerova lemmatu nám umožňuje redukovat tento problém na verifikaci tvrzení, kde je Mertensova funkce , součet Möbiovy funkce. $F(x)\sim x,$ $vůl)$ $M(x)=o(x),$ $M(x)=\sum \limits _{n\leqslant x}\mu (n)$

Malost součtů Möbiovy funkce na podsekvenci vyplývá z inverzního vzorce aplikovaného na funkci . $1/n$

Dále Möbiova funkce v algebře aritmetických funkcí (s operací multiplikativní konvoluce) splňuje "diferenciální rovnici" prvního řádu

\mu '=-\mu *\Lambda ,

kde je derivace v této algebře (přechod na Dirichletovu řadu z ní udělá obvyklou derivaci funkce). Proto také splňuje rovnici druhého řádu $f'(n)=f(n)\cdot \ln n$

\mu ''=\mu *(\Lambda *\Lambda -\Lambda ').

"Zprůměrování" této rovnice a skutečnost, že asymptotika součtu funkce je odhadnuta lépe než asymptotika součtů , nám umožňuje odhadnout poměr prostřednictvím průměrných hodnot takového poměru. Takový odhad spolu s "malostí v posloupnosti" a umožňuje získat požadovaný odhad . $\Lambda _{2}=\Lambda *\Lambda +\Lambda$ $\lambda$ ${\frac {M(x)}{x}}$ $M(x)=o(x)$

Viz také

Poznámky

↑ Moderní. prob. Mat., 2008, číslo 11. - str. 30-31
↑ Derbyshire, 2010 , s. 178-179..
↑ Akhiezer N. I. P. L. Čebyšev a jeho vědecké dědictví.
↑ Náčrt Riemann--von Mangoldtovy explicitní formule . Získáno 15. listopadu 2009. Archivováno z originálu 7. července 2010. (neurčitý)
↑ Weisstein, Eric W. Explicitní vzorec na webu Wolfram MathWorld .

Literatura

Klasika

Jacques Hadamard . Sur la distribution des zéros de la fontction et ses conséquences arithmétiques $\zeta (s)$ . Býk. soc. Matematika. Francie , č. 24 (1896), 199-220.
Charles de la Vallee Poussin . Recherces analytiques sur la theorie des nombres premiers. Ann. soc. sci. Brusel , 1897.
Chebyshev P. L. O určení počtu prvočísel nepřesahujících danou hodnotu, 1848.
Chebyshev P. L. O prvočíslech, 1850.
Bernard Riemann. Űber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse // Monatsberichte der Berliner Akademie. — 1859.

Moderní literatura

Derbyshire, John. Jednoduchá posedlost. Bernhard Riemann a největší nevyřešený problém v matematice. - Astrel, 2010. - 464 s. — ISBN 978-5-271-25422-2 .
Diamond, G. Elementary Methods in the Study of the Distribution of Primes , Uspekhi Mat . Nauk , 45:2(272) (1990), 79-114.
Postnikov A. G., Romanov N. P. Zjednodušení elementárního důkazu A. Selberga o asymptotickém zákonu rozdělení prvočísel , Uspekhi Mat . Nauk , 10:4(66) (1955), str. 75-87
Erdős, P. Demonstration élémentaire du théorème sur la distribution des nombres premiers. Scriptum 1, Centre Mathematique, Amsterdam, 1949.
Selberg, A. Elementární důkaz věty o prvočíslech, Ann. Matematika. 50, 305-313, 1949.

Odkazy

Weisstein, Eric W. Theorem Prime Number Theorem (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .

Slovníky a encyklopedie	Britannica (online)