Věty o izomorfismu

Věty o izomorfismu v algebře jsou sérií teorémů týkajících se konceptů faktoru , homomorfismu a vnořeného objektu . Výrok teorémů je izomorfismus nějaké dvojice grup , kruhů , modulů , lineárních prostorů , Lieových algeber nebo jiných algebraických struktur (v závislosti na aplikaci). Obvykle existují tři věty o izomorfismu, nazývané první (také základní věta o homomorfismu ), druhá a třetí. Ačkoli takové teorémy vyplývají docela snadno z definice faktoru a nikdo není nijak zvlášť připisován jejich objevu, má se za to, že nejobecnější formulace dala Emmy Noetherová .

Skupiny

První věta

Nechť je homomorfismus skupiny , pak:

  1. Jádro φ je normální podskupina  G ;
  2. Obraz φ je podgrupou  H ;
  3. Obraz φ je izomorfní ke skupině faktorů G  / ker φ.

Konkrétně, je-li homomorfismus φ surjektivní (tj. je epimorfismus ), pak je skupina H isomorfní ke skupině faktorů G  /ker φ.

Druhá věta

Nechť G je grupa, S podgrupa  G , N normální podgrupa  G , pak:

  1. Produkt je podskupinou  G ;
  2. Průsečík je normální podgrupa  S ;
  3. Faktorové skupiny a jsou izomorfní.

Třetí věta

Nechť G je grupa, N a K jsou normální podgrupy  G takové, že K  ⊆  N , pak:

  1. N  /  K je normální podskupina  G  /  K ;
  2. Skupina kvocientu skupin kvocientu ( G  /  K )/( N  /  K ) je izomorfní ke skupině kvocientu G  /  N .

Prsteny

V této oblasti je koncept normální podskupiny nahrazen konceptem ideálu prstenu .

První věta

Nechť je kruhový homomorfismus , pak:

  1. Jádro φ je ideál v  R ;
  2. Obraz φ je podkruh v  S ;
  3. Obraz φ je izomorfní s faktorovým prstencem R  / ker φ.

Konkrétně, je-li homomorfismus φ surjektivní (tj. jde o epimorfismus), pak je kruh S izomorfní s faktorem R  / ker φ.

Druhá věta

Nechť R je kruh, S podkruh v  R , I ideál v  R , pak:

  1. Součet S  +  I je podkruh v  R ;
  2. Průsečík S  ∩  I je ideál v  S ;
  3. Faktorové kruhy ( S  +  I ) /  I a S  / ( S  ∩  I ) jsou izomorfní.

Třetí věta

Nechť R je kruh, A a B jsou ideály v  R takové, že B  ⊆  A , pak:

  1. A  /  B je ideál v  R  /  B ;
  2. Podílový kruh podílových kruhů ( R  /  B )/( A  /  B ) je izomorfní s podílovým kruhem R  /  A .

Moduly, Abelovské grupy a lineární prostory

Věty o izomorfismu pro Abelovské grupy a lineární prostory jsou speciálním případem vět pro moduly , které budou formulovány. Pro lineární prostory lze více informací nalézt v článku " jádro lineárního mapování ".

První věta

Nechť je homomorfismus modulů, pak:

  1. Jádro φ je submodul v  M ​​;
  2. Obraz φ je submodul v  N ;
  3. Obraz φ je izomorfní s kvocientovým modulem M  / ker φ.

Druhá věta

Nechť M je modul, S a T jsou podmoduly v  M , pak:

  1. Součet S  +  T je submodul v  M ​​;
  2. Průsečík S  ∩  T je submodul v  M ​​;
  3. Podílový modul (S + T) / T je izomorfní s podílovým modulem S  / ( S  ∩  T ).

Třetí věta

Nechť M je modul, S a T jsou podmoduly v  M ​​tak, že T  ⊆  S , pak:

  1. S  /  T je submodul v  M  ​​/  T ;
  2. Faktorová sada faktorových modulů ( M  /  T ) / ( S  /  T ) je izomorfní k faktorovému modulu M  /  S .

Viz také