Hodgeova teorie

Hodgeova teorie se zabývá studiem diferenciálních forem na hladkých varietách . Přesněji řečeno, tato teorie studuje, jak zobecněný Laplacián spojený s Riemannovou metrikou na varietě M ovlivňuje jeho kohomologické grupy s reálnými koeficienty.

Tuto teorii vyvinul William Hodge ve 30. letech 20. století jako zobecnění de Rhamovy cohomologie . Hodgeova teorie má hlavní aplikace na třech úrovních:

V dřívějších dokumentech se předpokládalo, že rozdělovač M je uzavřený (tj. kompaktní a bez ohraničení). Na všech třech úrovních měla teorie velký vliv na následnou práci, kterou používal Kunihiko Kodaira a později mnoho dalších.

Aplikace a příklady

De Rham cohomology

Hodge sám formuloval tuto teorii pro de Rham komplexy . Jestliže M je kompaktní orientovatelná varieta vybavená hladkou metrikou g a Ω k ( M ) je svazek hladkých diferenciálních forem stupně k na M , pak je de Rhamův komplex posloupností diferenciálních operátorů

0\rightarrow {\mathbb R}{\xrightarrow {d_{{-1))))\Omega ^{0}(M){\xrightarrow {d_{0))}\Omega ^{1}(M){ \xarrowarrow {d_{1}}}\cdots {\xarrowarrow {d_{{n-1}}}}\Omega ^{n}(M){\xarrowarrow {d_{n}}}0

kde d k označuje vnější derivaci na Ω k ( M ). Pak de Rhamova kohomologie je jednoduše posloupnost vektorových prostorů definovaných jako

H^{k}(M)={\frac {\ker d_{k}}{{\mathrm {im}}\,d_{{k-1}}}}.

Je možné definovat operátor formálně konjugovaný s vnější derivací (vnějším diferenciálem) d , nazývaný kodiferenciál a označovaný jednoduše tím, že pro všechna α ∈ Ω k ( M ) a β ∈ Ω k +1 ( M ) platí vztah $\delta:$

\int _{M}\langle d\alpha ,\beta \rangle _{{k+1}}\,dV=\int _{M}\langle \alpha ,\delta \beta \rangle _{k}\ ,dV

kde je metrika indukována na . Nyní může být Laplacián definován jako . To nám umožňuje definovat prostory harmonických forem: $\langle \ ,\ \rangle _{k}$ $\Omega ^{k}(M)$ $\Delta =d\delta +\delta d$

{\mathcal H}_{\Delta }^{k}(M)=\{\alpha \in \Omega ^{k}(M)\mid \Delta \alpha =0\}.

To může být ukázáno , takže existuje kanonické mapování . První část Hodgeova teorému říká, že jde o izomorfismus vektorových prostorů. $d{\mathcal H}_{\Delta }^{k}(M)=0$ $\varphi :{\mathcal H}_{\Delta }^{k}(M)\rightarrow H^{k}(M)$ $\varphi$

Jedním z hlavních důsledků toho je, že de Rhamovy kohomologické grupy na kompaktním manifoldu jsou konečné-dimenzionální. To vyplývá ze skutečnosti, že operátory jsou eliptické a jádro eliptického operátoru na kompaktní varietě je vždy konečnorozměrné. $\Delta$

Hodgeova teorie pro eliptické komplexy

Hodge struktury

Abstraktní definice (skutečných) Hodgeových struktur je následující: pro reálný vektorový prostor je Hodgeova struktura rozkladem její komplexifikace na -gradovaný přímý součet . $W$ $W$ $W^{{{\mathbb C}}}=W\otimes {\mathbb C}$

{\displaystyle W^{\mathbb {C} }=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\bigoplus _{p=0}^{k}W^{p,kp))

navíc komplexní konjugace nepřeskupuje stupňované členy a : $W^{\mathbb {C} }$ $W^{{p,q}}$ $W^{{q,p}}$

\overline {W^{{p,q}}}=W^{{q,p}}

Hlavním tvrzením je, že singulární kohomologické grupy s reálnými koeficienty nesingulární komplexní projektivní variety mají následující Hodgeovu strukturu: $H^{k}(V,\mathbb{R})$ $PROTI$

H^{k}=\oplus _{{p=0}}^{k}H^{{p,kp}}

kde jsou Dolbeaultovy cohomologické skupiny manifoldu . To znamená vztah mezi čísly Betti a : $H^{{p,q}}$ $PROTI$ $b_{k}=\dim H^{k}$ $h_{{p,q}}=\dim H^{{p,q}}$

b_{k}=\součet _{{p=0}}^{k}h_{{p,kp}}

Hodgeova expanze původně vzešla z teorie harmonických forem (vlastní vektory Laplacianu v prostoru diferenciálních forem ) zobecňující lokálně konstantní harmonické funkce. Je dokázáno, že každá třída singulární kohomologie může být reprezentována jedinečnou harmonickou formou a že taková forma má nutně dobře definovaný bigrading (s ohledem na působení operátoru komplexní struktury). To znamená Hodgeovu expanzi. Následně byl Hodgeův rozklad získán čistě algebraicky, za použití teorie spektrálních sekvencí a skupin cohomologie svazku , v pracích Dolbeaulta. $(p,q)$ $H^{{q}}(V,\Omega ^{{p}})$

V případě nekompaktních manifoldů nebo manifoldů se singularitami je nutné nahradit Hodgeovu strukturu smíšenou Hodgeovou strukturou , která se liší tím, že singulární rozklad kohomologie na přímý součet je nahrazen dvojicí filtrací . Tento případ se používá například v teorii monodromie .

Literatura

F. Griffiths, J. Harris. Principy algebraické geometrie. - IO NFMI, 2000. - T. 1. - 496 s. - ISBN 5-80323-126-6 .
C. Voisin. Hodgeova teorie a komplexní algebraická geometrie. - M. : MTSNMO , 2010. - T. 1. - 344 s. - 1000 výtisků. - ISBN 978-5-94057-514-6 .