Chern-Weilova teorie

Charakteristické třídy jsou dalekosáhlým zobecněním takových kvantitativních konceptů elementární geometrie, jako je stupeň rovinné algebraické křivky nebo součet indexů singulárních bodů vektorového pole na ploše. Podrobněji jsou popsány v příslušném článku. Chern - Weilova teorie umožňuje , aby byly některé charakteristické třídy reprezentovány jako výrazy zakřivení .

Vkládání pomocí lineárního systému

Množiny bodů na algebraické křivce s určitými násobnostmi se nazývají dělitelé . Pokud je například dána křivka ležící na komplexní projektivní rovině (nebo obecněji na komplexním projektivním prostoru ), pak množina bodů, podél kterých je protnuta nějakou přímkou, s násobky rovnými násobkům průsečíku ( nebo, pokud křivka leží v prostoru , nějaká nadrovina) je dělitel. V algebraické geometrii se obvykle neuvažují jednotliví dělitelé, ale jejich třídy. Například rovinná křivka může být spojena s třídou dělitelů sestávající z dělitelů vyříznutých na křivce všemi možnými čarami (všemi možnými nadrovinami). Nazývá se systém lineárního dělitele odpovídající danému vnoření (obvykle se nazývá jednoduše "lineární systém"). $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$

Otázka. Nechť je dána abstraktní křivka nikde nezasazená a lineární systém odpovídající nějaké inkluzi. Je možné z něj toto vložení obnovit (až do projektivní transformace okolního prostoru)?

Ukazuje se, že je to možné. K tomu však musíme lépe porozumět tomu, co je nadrovina v projektivním prostoru. V afinním prostoru může být nadrovina dána jako jádro (množina nul) lineární funkce (a taková funkce bude jedinečná až do násobení nenulovým číslem). Na projektivním prostoru však žádné lineární funkce neexistují: každá holomorfní funkce na kompaktní komplexní varietě je konstantní. Jestliže je vektorový prostor, pak jeho projektivizačními body jsou úsečky a je- li lineární funkce na , pak „hodnota“ v bodě je lineární funkcionál na odpovídajícím lineárním prostoru , tedy vektor v duálním lineárním prostoru . Navíc řádky, na kterých je tento funkcionál shodně nulový, jsou přesně řádky ležící v jádře ; odpovídající body v projektivizaci tvoří projektivní nadrovinu. $PROTI$ $\mathrm {P} (V)$ $\ell \subset V$ $\varphi$ $PROTI$ $\varphi$ $\ell \in \mathrm {P} (V)$ $\ell \subset V$ $\ell ^{*}$ $\varphi$

Toto je formalizováno následovně: projektivizace připouští svazek tautologické čáry nad sebou samým , jehož vláknem nad bodem je čára samotná , považovaná za lineární prostor. Tento svazek je označen symbolem . Svazek čar k němu konjugovaný (tj. takový, jehož vrstvy v každém bodě jsou duální s vrstvami původního svazku ve stejných bodech) se označí ; jeho sekce odpovídají lineárním funkcionálům na vektorovém prostoru . V souladu s tím jsou množiny nul řezů nadrovinami. Je-li tedy projektivní křivka, pak odpovídající lineární systém na ní sestává z dělitelů nul úseků svazku . $\mathrm {P} (V)$ $\ell \in \mathrm {P} (V)$ $\ell \subset V$ ${\mathfrak {O}}(-1)$ ${\mathfrak {O}}(1)$ $PROTI$ $C\subset \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ $L={\mathfrak {O}}(1)|_{C}$

Pokud existuje abstraktní křivka, pak lze svazek úseček na ní rekonstruovat z množin nul jejích různých úseků (za předpokladu, že existuje dostatek různých úseků). Dáme-li tedy lineární systém dělitelů na abstraktní křivce, lze rekonstruovat svazek úseček, pro který jsou tito dělitelé nulovými úrovněmi jeho úseků. Proto lze otázku přeformulovat následovně.

Otázka. Nechť existuje vložení algebraické křivky a buďme omezení svazku na ni . Vědět pouze , je možné získat zpět investici ? $f\colon C\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ $f^{*}{\mathfrak {O}}(1)=L\to C$ ${\mathfrak {O}}(1)$ $L$ $F$

Všimněte si, že svazek má následující vlastnost: pro jakýkoli bod existuje sekce taková, že . To je například pravda, protože pro jakýkoli bod na prostorové křivce lze zvolit úsek nadrovinou, která tímto bodem neprochází, a omezit odpovídající úsek na křivku. Svazky s touto vlastností se nazývají generované globální sekce . Konstrukce hnízdění je nyní velmi jednoduchá. Zvažte prostor sekce . Každý bod definuje mapování pomocí výpočetního mapování . Bod na křivce tedy definuje vektor v prostoru , dobře definovaný až do proporcionality - tedy bod v projektivním prostoru . Toto definuje vložení , které se shoduje s původním až do projektivní korespondence. $L$ $x\in C$ $s\in \Gamma (L)$ $s(x)\neq 0$ ${\mathfrak {O}}(1)$ $\Gamma (L)$ $x\in C$ ${\displaystyle \Gamma (L)\to L_{x))$ $s\mapsto s(x)$ $\Gamma (L)^{*}$ $\mathrm {P} (\Gamma (L)^{*})$ $C\to \mathrm {P} (\Gamma (L)^{*})$

Co jsme to vlastně ukázali? Jakýkoli svazek čar na křivce generované globálními řezy lze získat jako inverzní obraz svazku s ohledem na nějaké algebraické zobrazení . V tomto případě se stupeň svazku (počet nul na jeho společném řezu) rovná stupni obrazu křivky pod takovým zapuštěním. Lze jej chápat jako počet průsečíků s nadrovinou - tedy index průsečíku tříd homologie a , nebo jako integrál: forma Fubini-Study je Poincaré duální k třídě řezu nadroviny (až do násobení ) . , takže stupeň dělitele lze vypočítat jako . Všimněte si, že formulář Fubini-Study je zakřivený formulář na svazku . Stupeň svazku přímek na algebraické křivce generované globálními řezy lze tedy vyjádřit jako integrál křivosti nějakého spojení na ní. Chern-Weilova teorie tvrdí mnohem více: konkrétně stupeň jakéhokoli svazku čar nad algebraickou křivkou (a obecně jakékoli skutečné dvourozměrné kompaktní orientovatelné variety) se rovná integrálu křivosti jakéhokoli spojení v něm (děleno ) . . ${\mathfrak {O}}(1)\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ $C\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ $[f(C)]$ $[\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n-1}]$ $\omega$ $[\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n-1}]$ $2\pi$ ${\frac {1}{2\pi }}\int _{f(C)}\omega ={\frac {1}{2\pi }}\int _{C}f^{*} \omega$ ${\mathfrak {O}}(1)$ $L$ $2\pi$

Klasifikace mapování pro svazky linek

Implementace svazků vedení pomocí mapování přes lineární systém trpí významnými nevýhodami: svazek například nemusí mít vůbec žádné sekce. V případě křivky to lze uměle korigovat, protože pak existují úseky duálního svazku a někdy lze původní svazek získat jako pullback podél antiholomorfní mapy. Ale na složitém povrchu může být svazek vlasce v jednom směru „pozitivní“ a ve druhém „negativní“ a od takového triku se již nelze obejít. Současně, zobrazení přes lineární systém dávají určitou intuici, která umožňuje dosáhnout mnohem více, pokud nedostanete algebraická nebo holomorfní zobrazení, ale libovolná spojitá. ${\mathfrak {O}}(1)$

Vraťme se ke svazku a budeme předpokládat, že prostor je vybaven hermitovskou metrikou. Pak je svazek vybaven hermitovskou metrikou. Vyčleníme v něm svazek vektorů jednotkové délky: unitární grupa na něj působí , navíc v každé vrstvě volně a tranzitivně. Celkový prostor tohoto svazku lze identifikovat s jednotkovou koulí v . Fibrace s vláknitým kruhem je známá Hopfova fibrace . ${\mathfrak {O}}(1)\to \mathrm {P} (V)$ $PROTI$ ${\mathfrak {O}}(1)$ $\mathrm {U} (1)$ $S^{2n+1}$ $PROTI$ $S^{2n+1}\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$

Hermitovský (neúplný) prostor , realizovaný jako limita inkluzí se sjednocovací topologií, obsahuje jednotkovou sféru , pro kterou platí výše uvedené ve stejné míře. Kvocient působením je nekonečněrozměrný projektivní prostor s topologií spojení jeho konečnorozměrných podprostorů tvořících nějaký úplný příznak. Na rozdíl od svých konečných protějšků se však liší v následujících vlastnostech: ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\infty ))$ $\mathbb {C} \subset \mathbb {C} ^{2}\subset \mathbb {C} ^{3}\subset \dots$ ${\displaystyle S^{\infty ))$ $S^{\infty }$ $\mathrm {U} (1)$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{\infty ))$

Celkový prostor nekonečně-dimenzionálního Hopfova svazku (tj. ) je smrštitelný . $S^{\infty }$
Pokud je hlavní svazek s vláknem , tj. kruhový svazek vybavený jednotnou skupinovou akcí , která je volná a tranzitivní na každém vláknu, pak existuje takové zobrazení , které je izomorfní k inverznímu obrazu nekonečněrozměrného Hopfova svazku podél . $P\to X$ $\mathrm {U} (1)$ $\mathrm {U} (1)$ ${\displaystyle f_{P}\colon X\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{\infty ))$ $P$ ${\displaystyle f_{P))$
Pro daný hlavní svazek jsou všechny takové mapy navzájem homotopické. Kterákoli z nich se nazývá klasifikační mapování . $P\to X$ ${\displaystyle f_{P))$

Ačkoli je celkový prostor nekonečněrozměrného Hopfova svazku kontrahovatelný, topologie jeho báze je netriviální: pro každé sudé číslo je jeho celočíselná kohomologie jednorozměrná. Jako odstupňovaná algebra jsou izomorfní k polynomiálnímu kruhu , kde . Stažení generatrixu podél mapování, kvůli třetí vlastnosti z výše uvedeného seznamu, je dobře definovaným invariantem hlavního svazku. Toto je třída Chern. ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{\infty ))$ $2k$ $H^{2k}$ $\mathbb {Z} [t]$ $\deg t=2$ $t\in H^{2}$

Všimněte si, že v omezení na každou z konečně-dimenzionálních tříd může být reprezentována v de Rhamově kohomologii jako třída formy Fubini-Study dělená . Na druhé straně, forma Fubini-Study je zakřivení invariantní vazby v , to znamená, že její rozpětí je zakřivení nějakého -ekvivariančního spojení v hlavním svazku . Pokud zkontrolujeme, že zakřivení -ekvivariančních spojení v hlavním -svazku jsou uzavřené 2-formy patřící do stejné de Rhamovy cohomologické třídy, okamžitě získáme tvrzení Chern-Weylovy teorie pro liniové svazky: ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}\subset \mathbb {C} \mathrm {P} ^{\infty ))$ $t$ $2\pi$ ${\mathfrak {O}}(1)\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{\infty }$ ${\displaystyle f_{P))$ $\mathrm {U} (1)$ $P$ $\mathrm {U} (1)$ $\mathrm {U} (1)$

Teorém. Nechť je svazek hermitovských čar a je zakřivenou formou nějakého jednotného spojení v . Pak . $L\to X$ $\omega$ $L$ ${\frac {1}{2\pi }}[\omega ]=c_{1}(L)\in H^{2}(X,\mathbb {Z} )$

Z ní například hned plyne Gauss-Bonnetova věta .

Klasifikační prostory

S jinými než lineárními svazky lze také spojit hlavní svazky pro jiné skupiny : například s hermitovským svazkem hodnosti je spojen hlavní svazek se strukturní skupinou , jejíž vlákna jsou prostory parametrizující ortonormální rámce v daném vláknu. vektorový svazek. Naopak vektorový svazek je rekonstruován z hlavního -svazku a skupinové reprezentace . Pokud byl hlavní -bundle vybaven spojením -ekvivariantní, pak bude výsledný vektorový balík také vybaven spojením zachovávajícím strukturu . $G$ $G$ $n$ $\mathrm {U} (n)$ $G$ $G$ $G$ $G$ $G$

Ukazuje se, že pro libovolnou Lieovu grupu (nebo obecněji pro topologickou grupu) existuje analogie Hopfovy fibrace. Toto je nějaký hlavní - svazek; označuje se a jeho základna se nazývá klasifikační prostor . Je jedinečný až do homotopické ekvivalence a má následující vlastnosti: $G$ $G$ $EG\to BG$

Všechny homotopické skupiny jeho celkového prostoru jsou triviální. $EG$
Pro každý hlavní -svazek existuje klasifikační mapa , která se získá jako inverzní obraz svazku podél . $G$ $P\to X$ $f_{P}\colon X\to BG$ $P$ $EG\to BG$ ${\displaystyle f_{P))$
Všechna klasifikační zobrazení jsou vzájemně homotopická.

Například, jestliže , pak kruh může být vybrán jako kruh a jeho univerzální pokrytí, skutečná čára. Ve většině případů však klasifikační prostor nemá homotopický typ kompaktní variety: tedy již jako nekonečněrozměrná koule opět vzniká, na kterou působí antipodální mapování a je nad ní faktorem, tedy . Z této konstrukce, podobné výše popsané, získáme první třídu Stiefel-Whitney skutečného svazku vedení. $G=\mathbb {Z}$ $BG$ $EG$ $G=\mathbb {Z} /2$ $EG$ $\mathbb {Z} /2$ $BG$ ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{\infty ))$

Weylova algebra

Pokud lze vypočítat kohomologickou algebru pro skupinu (která je již dobře definovanou algebrou na základě skutečnosti, že všechny klasifikační prostory jsou navzájem homotopické), pak zpětné vazby tříd odtud podél klasifikačních zobrazení budou invarianty hlavních svazků. Tento problém je však velmi obtížný, alespoň pokud je kohomologická algebra brána s celočíselnými koeficienty. $G$ $H(BG)$

U variet je problém výpočtu kohomologie s reálnými koeficienty zjednodušen tím, že je lze považovat za de Rhamovu kohomologii . Klasifikační prostory však nejsou rozmanité. Představu, jak lze realizovat de Rhamův přístup ke cohomologii, dává tzv. Chevalley-Eilenbergův komplex . Jestliže je Lieova grupa, pak její komplex diferenciálních forem obsahuje subkomplex levo-invariantních diferenciálních forem. Levá-invariantní diferenciální forma je definována svou hodnotou na prostoru tečny v jednotce , to je šikmo symetrická multilineární forma na Lieově algebře . Jako algebra se šikmo symetrickým násobením je tedy prostor levých invariantních diferenciálních forem izomorfní k vnější algebře . Diferenciál na této algebře, jak lze snadno odvodit ze standardního vzorce pro de Rhamův diferenciál, je v členu zobrazení, které je duální se závorkou (přesněji se znaménkem mínus), a pak pokračuje podle odstupňované Leibnizovo pravidlo využívající faktu, že externí algebra je generována její první kalibrační složkou. Existuje tedy konečný-dimenzionální subkomplex , který, navzdory geometrické motivaci, může být definován algebraicky, v podmínkách Lie algebry. Jeho cohomologie se nazývá cohomologie Lieovy algebry ; přirozeně leží v de Rhamově kohomologii Lieovy grupy a navíc, když jsou kompaktní, jsou rovny celé de Rhamově kohomologii Lieovy grupy . $BG$ $G$ $e\in G$ $\mathfrak{g}$ $\Lambda ({\mathfrak {g}}^{*})$ ${\mathfrak {g}}^{*}\to \Lambda ^{2}{\mathfrak {g}}^{*}$ $[\cdot ,\cdot ]\colon \Lambda ^{2}{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ $\Lambda {\mathfrak {g}}^{*}\subset \Omega (G)$ $\mathfrak{g}$ $G$ $G$ $G$

To nás motivuje, abychom se pokusili formálně , z hlediska samotné Lie algebry , definovat, co je de Rhamova algebra klasifikačního prostoru – přesněji de Rhamova algebra prostoru . Dovolte mi připomenout, že jsou vyžadovány dvě věci: je to stahovací prostor, na který volně působí. Odpovídající algebraické požadavky jsou následující: existuje diferencovaně stupňovaná algebra s nulovou cohomologií (kromě nulového stupňování, kde jsou jednorozměrné), na které Lieova algebra jedná odvozením a přirozená mapa je surjektivní. $\mathfrak{g}$ $EG$ $EG$ $G$ $\Omega (EG)$ $\mathfrak{g}$ $\Omega (EG)\to \Lambda {\mathfrak {g}}^{*}$

Algebru s požadovanými vlastnostmi lze sestrojit celkem snadno, nazývá se Weilova algebra a značí se . Jedná se totiž o stupňovitou externí algebru — tedy dvě kopie , z nichž jedna má sudé a druhá liché stupňování. Ekvivalentně se jedná o tenzorový součin , kde generátory vnější algebry mají stupeň 1 a symetrická algebra má stupeň 2. Může být také reprezentován jako celkový komplex následujícího bikomplexu: $W({\mathfrak {g)))$ $\Lambda ({\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}[1])$ $\mathfrak{g}$ $\Lambda ({\mathfrak {g}}^{*})\otimes \mathrm {Sym} ({\mathfrak {g}}^{*})$

$k$	$\na$	$\Lambda ^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$	$\na$	$\Lambda ^{2}({\mathfrak {g}}^{*})$	$\na$	$\Lambda ^{3}({\mathfrak {g}}^{*})$	$\to \dots$
		$\šipka dolů$		$\šipka dolů$		$\šipka dolů$
		$\mathrm {Sym} ^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$	$\na$	$\mathrm {Sym} ^{1}({\mathfrak {g}}^{})\otimes \Lambda ^{1}({\mathfrak {g}}^{})$	$\na$	$\mathrm {Sym} ^{1}({\mathfrak {g}}^{})\otimes \Lambda ^{2}({\mathfrak {g}}^{})$	$\to \dots$
				$\šipka dolů$		$\šipka dolů$
				$\mathrm {Sym} ^{2}({\mathfrak {g}}^{*})$	$\na$	$\mathrm {Sym} ^{2}({\mathfrak {g}}^{})\otimes \Lambda ^{1}({\mathfrak {g}}^{})$	$\to \dots$
						$\šipka dolů$
						$\mathrm {Sym} ^{3}({\mathfrak {g}}^{*})$	$\to \dots$

Rozdíly v řádcích jsou Chevalley-Eulenbergovy komplexy s přidanou akcí na -moduly (zejména první diferenciál v libovolném řádku mapuje prvek na operátor , ), a každý sloupec je Koszulův komplex , který nemůže souviset. pouze na Lieovu algebru, ale také s libovolným vektorovým prostorem. Z jeho acykličnosti můžeme odvodit, že Weilův komplex také nemá žádnou kohomologii, kromě nulových jedniček. $\mathfrak{g}$ $\mathrm {Sym} ^{k}({\mathfrak {g}}^{*})$ $m\in M=\mathrm {Sym} ^{k}({\mathfrak {g))^{*})$ ${\mathfrak {g}}\to M$ $v\mapsto [m,v]$ $\Lambda ^{k}(V)\to V\otimes \Lambda ^{k-1}(V)\to \mathrm {Sym} ^{2}(V)\otimes \Lambda ^{k- 2}(V)\to \dots \to \mathrm {Sym} ^{k-1}(V)\otimes V\to \mathrm {Sym} ^{k}(V)$

Je-li Weilův bikomplex aproximací diferenciálních forem v prostoru a jeho nultá řada, Chevalley-Eilenbergova algebra, je algebra levo-invariantních diferenciálních forem na , pak je analogem diferenciálních forem vycházejících ze základny – tj. , "de Rhamova algebra" — jsou prvky úhlopříčky bikomplexu, algebry symetrických funkcí na . V tomto případě budou uzavřené formy přesně ty, které jsou uzavřené vzhledem k diferenciálu ve Weylově algebře. Z toho, jak funguje na diagonálních prvcích (což bylo naznačeno v předchozím odstavci), vyplývá, že se jedná jednoduše o polynomiální funkce na , které jsou invariantní při adjungované akci grupy na jejich Lieovu algebru. $W({\mathfrak {g}}^{*})$ $EG$ $G$ $BG$ $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$ $G$

Chern-Weilův homomorfismus

Nechť je Lieova grupa a je hlavní -svazek. Zvolme v něm spojení, tedy podsvazek takový, že projekce mapuje vlákna tohoto podsvazku na tečné prostory k izomorfně a tento podsvazek je akcí zachován . Může být zakódován pomocí -invariantní projekce na vertikální podsvazek (tj. svazek tečných prostorů k -orbitám). Prostor tečny k orbitě volné akce Lieovy grupy je kanonicky izomorfní k Lieově algebře , takže tento tvar může být uveden jako 1-forma . Další invariantou spojení je jeho zakřivení, v tomto případě získané jako průmět komutátoru dvou horizontálních vektorových polí (tedy úseků ) na tečné prostory k vrstvám. Toto je 2-forma s koeficienty v . $G$ $P\to X$ $G$ $Hor\subset TP$ $X$ $G$ $G$ $G$ $G$ $\mathfrak{g}$ $\theta \colon TP\to {\mathfrak {g))$ $Hor$ $\Phi$ $\mathfrak{g}$

To nám umožňuje spojit se spojením homomorfismus diferenciálně odstupňovaných algeber , který bude náhradou za klasifikační zobrazení. V tomto případě se ukazuje jako vhodnější definovat jej mezi celkovými prostory, nikoli mezi základnami. Stačí jej definovat na generátorech, tedy a . Oba tyto prostory jsou jednoduše funkcionály na Lieově algebře; ale první musí mapovat na 1-formy na celkovém prostoru a druhý na 2-formy. Pošleme funkcionální do 1-formuláře a funkcionální do 2-formuláře . Toto zobrazení se nazývá Chern- Weilův homomorfismus a lze ověřit, že se skutečně jedná o -ekvivariantní homomorfismus diferenciálně odstupňovaných algeber . Konkrétně mapuje prvky z úhlopříčky Weylova bikomplexu na -invariantní formy na , tedy zpětné vazby diferenciálních forem na . Protože prvky uzavřené s ohledem na Weilův diferenciál přecházejí do uzavřených forem, invariantní polynomy na Lieově algebře dávají uzavřené formy na základě hlavního svazku. Říká se jim charakteristické formy . Mohou být výslovně zapsány jako $W({\mathfrak {g}})\to \Omega (P)$ $\Lambda ^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$ $\mathrm {Sym} ^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$ $P$ $\varphi \in \Lambda ^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$ $v\mapsto \varphi (\theta (v))$ $\psi \in \mathrm {Sym} ^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$ $v\wedge w\mapsto \psi (\Phi (v,w))$ $G$ $W({\mathfrak {g}})\to \Omega (P)$ $G$ $P$ $X$

$\psi (\Theta )(v_{1},\tečky ,v_{2k})={\frac {1}{(2k)!}}\součet _{\sigma \in S_{2k}} (-1)^{\sigma }\psi (\Theta (v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)}),\tečky ,\Theta (v_{\sigma (2k-1)} ,v_{\sigma (2k)})))$

Zde je invariantní polynom a je to zakřivení. Při volbě dalšího spojení v hlavním svazku se zakřivení a charakteristické formy změní, ale jejich cohomologické třídy zůstávají stejné. $\psi \in \mathrm {Sym} ^{k}({\mathfrak {g}}^{*})$ $\Theta$

Příklady

Pro skupinu lze definovat invariantní funkce na její Lieově algebře podmínkou . Výsledné třídy jsou třídy Chern . Podobný vzorec pro definuje třídy, nazývané třídy Pontryagin (pouze potřebujeme odstranit ) ze jmenovatele. $\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$ $\psi _{i}$ ${\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )$ $\det \left(\mathrm {Id} -t{\frac {x}{2\pi {\sqrt {-1}}}}\right)=\sum _{i=1}^{n }\psi _{i}(x)t^{i}$ $\mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$ ${\sqrt {-1}}$

V případech obecných lineárních grup je algebra invariantních polynomů generována polynomy . Obecně řečeno, toto není tento případ: například na speciální ortogonální Lieově algebře existuje Pfaffův polynom stupně . Odpovídající třída (dělená ) se nazývá Eulerova třída . $A\mapsto \mathrm {Tr} (A^{k})$ ${\mathfrak {so}}(2n)$ $n$ ${\displaystyle (2\pi )^{n))$

Ve fyzice

Chern-Weilova teorie je jedním z mnoha ekvivalentních způsobů, jak definovat charakteristické třídy. Z matematického hlediska má mnoho nevýhod: stejně jako de Rhamova kohomologie funguje pouze v případě, kdy je bází varieta, nezachycuje třídy patřící do torzní podskupiny v cohomologii a integrita tříd získaný integrací některých diferenciálních výrazů není zdaleka samozřejmý (zatímco v některých jiných způsobech se celé číslo získává automaticky).

Ale tato integrita, alespoň pro případ svazků vedení, má ve fyzice nečekané uplatnění. Tenzor elektromagnetického pole je 2-forma na časoprostoru, což je ve skutečnosti forma zakřivení nějakého spojení ve svazku hermitovských čar. Obvykle se považuje za fyzicky rozumné předpokládat, že tento svazek je triviální. Dirac poznamenal, že za předpokladu, že by tento svazek mohl být netriviální, jeho třída Chern by se rovnala magnetickému náboji . Z celistvosti Chernových tříd tedy vyplývá, že pokud stále existuje jediné magnetické pole, pak jeho náboj je celočíselným násobkem nějakého elementárního magnetického náboje.

Je pozoruhodné, že Diracův teorém o kvantování magnetického náboje se objevil v roce 1931, tedy více než 10 let před příchodem Chern-Weilovy teorie.

Historie

Spojení mezi zakřivením a topologií si poprvé všiml pravděpodobně Lhuillier . Gauss-Bonnetův teorém , který sloužil jako důležitý krok k Chern-Weilově teorii, byl poprvé formulován ve své moderní podobě (pro kompaktní orientovatelné povrchy) v roce 1888 von Dyckem .

Vícerozměrná analogie Gauss-Bonnetovy věty byla navržena v roce 1925 Hopfem : zvažoval hyperplochy ve vesmíru a představil na nich analog Gaussova zakřivení jako inverzní obraz tvaru objemu na jednotkové kouli s ohledem na Gaussovo mapování . Podařilo se mu vyjádřit tento tvar jako polynom v místních křivostech, podobně jako ve vzorci pro charakteristický tvar (viz výše). Pro sudé-dimenzionální podvariety euklidovského prostoru s kodimenzí větší než 1 byly v roce 1940 nezávisle Allendorferem a Fenchelem založeny analogy Gauss-Bonnetovy věty. Jejich důkaz redukoval problém na hranici malého trubkového okolí subvariety, což je hyperplocha pokrytá Hopfovou větou. Hranice, v moderních termínech, je svazek jednotkové koule v normálním hyperpovrchovém svazku a výše uvedená lokální zakřivení umožňují získat vzorec pro Eulerovu třídu této podvariety. $\R^{2n+1}$

Chern na návrh Weila začal hledat podobný výsledek pro libovolné Riemannovy variety, které nejsou nikde vnořeny, a dospěl k závěru, že analogií Gaussova zobrazení pro abstraktní Riemannovu varietu je svazek jednotkových sfér v tečný svazek. Jeho konečný výsledek z roku 1944, známý jako zobecněný Gauss-Bonnetův vzorec , uvádí, že Eulerova charakteristika sudé-dimenzionální Riemannovy variety se rovná Pfaffovu integrálu jejího zakřivení. Tato věta byla již dříve prokázána Weilem a Allendorferem, ale jejich důkaz se Weilovi zdál neuspokojivý (spoléhal se na lokální zabudování manifoldu do euklidovského prostoru a následné slepení, což nedává dostatečné pochopení geometrie za tímto vzorcem). Následně se Chernovi podařilo najít výraz nejen pro třídu Euler, ale i pro třídy Chern. Pokusil se je definovat pro libovolnou sudou dimenzi Riemannovu varietu, ale ukázalo se, že to bylo možné pouze pro hermitovské variety. Toto pochopení bylo důležitým krokem ve vývoji komplexní geometrie.

Současně se Pontryagin pokusil vybudovat charakteristické třídy prostřednictvím diferenciálních forem ; uvažoval pouze podvariety v , ale místo gaussovského mapování hranice trubkovitého okolí uvažoval o mapování na Grassmannovu a v roce 1944 se mu podařilo napsat správné vzorce pro charakteristické formy. Nezvažoval však případ abstraktních Riemannovských variet a očividně mu poslední Chernovy práce nebyly známy. $\mathbb {R} ^{n}$

Homologická algebra za Chernovým důkazem byla objasněna Henri Cartanem v poznámce z roku 1951 na základě Weylova nepublikovaného textu. Zejména představil koncept Weylovy algebry.

Souvislost mezi diferenciální geometrií různých gaussovských zobrazení a vnoření pomocí lineárních systémů v algebraické geometrii, jimiž se zabývali geometrové italské školy již od Veronese , se ukázalo až po práci Kodairy .

Odkazy

Cartan, Henri (1951), "Notions d'algèbre différentielle; aplikace aux groupes de Lie a aux variétés où opère un groupe de Lie", Colloque de topologie (espaces fibrés), Brusel, 1950, Georges Thone, Liege, s. 15–27, MR 0042426
Wu Hung Hsi. Historický vývoj Gauss-Bonnetovy věty ve Science in China Series A Mathematics duben 2008