Teorie prstenců je odvětví obecné algebry , které studuje vlastnosti prstenců - algebraické struktury se sčítáním a násobením, podobné chování jako sčítání a násobení čísel. Existují dvě odvětví teorie prstenů: studium komutativních a nekomutativních prstenů.
Komutativní kruhy jsou obecně lépe prozkoumány, protože jsou hlavním předmětem studia v komutativní algebře , která je důležitou součástí moderní matematiky a poskytuje nástroje pro vývoj algebraické geometrie a algebraické teorie čísel . Tyto tři teorie spolu tak úzce souvisí, že není vždy možné naznačit, do které oblasti konkrétní výsledek patří, například Hilbertův nulový teorém hraje zásadní roli v algebraické geometrii, ale je formulován a dokázán z hlediska komutativní algebry. Dalším příkladem je Fermatova poslední věta , která je uvedena v podmínkách elementární aritmetiky (která je součástí komutativní algebry), ale její důkaz používá hluboké výsledky jak z algebraické geometrie, tak z algebraické teorie čísel.
Chování nekomutativních prstenců je složitější, jejich teorie se poměrně dlouho vyvíjela nezávisle na komutativní algebře, ale na konci 20. století se objevila tendence budovat tuto teorii více geometrickým způsobem, uvažovat o těchto prstencích jako okruhy funkcí na (neexistujících) "nekomutativních prostorech". Tento trend vznikl v 80. letech 20. století s příchodem nekomutativní geometrie a objevem kvantových grup , prostřednictvím aplikace metod těchto teorií bylo dosaženo lepšího pochopení nekomutativních kruhů, zejména nekomutativních noetherovských kruhů . [1] .
Společné pro všechny prsteny:
Strukturní teorémy pro některé třídy prstenů: