Topologie Zariski

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. listopadu 2019; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Zariski topologie nebo Zariski topologie je speciální topologie , která odráží algebraickou povahu algebraických variet . Pojmenován po Oskaru Zariskim a od 50. let je důležitou postavou algebraické geometrie .

Klasická definice

V klasické algebraické geometrii (tedy před tzv. „Grothendieckovou revolucí“, která proběhla koncem 50. a 60. let 20. století) byla topologie definována následovně. Protože samotný subjekt měl dvě větve zabývající se afinními a projektivními varietami, byla Zariského topologie definována poněkud odlišně pro každý typ variet. Dále se předpokládá, že pracujeme na pevném algebraicky uzavřeném poli K , kterým byla v klasické algebraické geometrii téměř vždy myšlena komplexní čísla .

Afinní odrůdy

Zarisského topologie na afinním prostoru nad polem K je topologická struktura , jejíž uzavřené podmnožiny jsou přesně algebraické množiny daného prostoru. Algebraické množiny jsou množiny tvaru $\mathbb {A} ^{n}$

V(S)=\{x\in \mathbb {A} ^{n}\mid \forall f\in S:\;f(x)=0\},

kde S je libovolná množina polynomů v n proměnných nad polem K . Následující identity lze snadno ověřit:

$V(\varnothing )=\mathbb {A} ^{n},V(1)=\varnothing ;$
$V(S)=V((S))$ , kde je ideál v polynomickém kruhu generovaném prvky $(S)$ $S;$
Pro jakékoli dva ideály I a J ,

V(I)\cup V(J)=V(IJ)

;

V(I)\cap V(J)=V(I+J)

Protože polynomiální prstenec nad polem je noetherovský , průsečík nekonečné rodiny množin formy se bude rovnat průniku její konečné podrodiny a bude mít tvar . Protože konečné svazy a libovolné průniky algebraických množin, stejně jako prázdná množina, jsou algebraické, pak jsou algebraické množiny skutečně uzavřenými množinami nějaké topologie (ekvivalentně jsou jejich doplňky, označované , množiny otevřené topologie). $V(I)$ $V(I)$ $\mathbb {A} ^{n}$ $D(S)$

Jestliže je afinní algebraická podmnožina afinního prostoru , pak Zariskiho topologie na něm je indukovaná topologie . $M$ $\mathbb {A} ^{n}$

Projektivní odrůdy

Prvky projektivního prostoru jsou třídy ekvivalence prvků s ohledem na proporcionalitu s ohledem na násobení skalárem z K . V důsledku toho prvky polynomického kruhu nejsou funkcemi na , protože jeden bod má mnoho ekvivalentních reprezentací, které odpovídají různým hodnotám polynomu. Nicméně, pro homogenní polynomials , podmínka rovnosti k nule v daném bodě je dobře definovaná, protože násobení skalárem “prometá” použití polynomial. Pokud je tedy S množina homogenních polynomů, definice dává smysl ${\mathbb P}^{n}$ ${\mathbb A}^{{n+1}}$ $k[x_{0},\dots ,x_{n}]$ ${\mathbb {P}}^{n}$

V(S)=\{x\in \mathbb {P} ^{n}\mid f(x)=0,\forall f\in S\}.

Obdobným způsobem se ověřuje, že tato rodina množin je rodinou uzavřených množin nějaké topologie, pouze je potřeba nahradit slovo „ideální“ slovem „ homogenní ideál “. Topologie na libovolné projektivní podvarietě je definována jako indukovaná topologie.

Vlastnosti

Užitečnou vlastností topologie Zariski je existence poměrně jednoduchého základu pro tuto topologii. Základem topologie jsou totiž otevřené množiny tvaru D ( f ), které jsou doplňkem množiny nul polynomu f (respektive u projektivních variet homogenního polynomu f ).

Jakákoli afinní nebo projektivní varieta je kompaktní ; každá otevřená podmnožina rozdělovače je také kompaktní. Každá algebraická varieta je navíc noetherovský topologický prostor .

Na druhou stranu algebraická varieta není Hausdorffův prostor (pokud K není konečné těleso ). Protože jakýkoli bod algebraické variety je uzavřený, splňuje separační axiom T 1 .

Moderní definice

Topologie na spektru prstence

Moderní definice je založena na konceptu spektra prstence . Nechť je dán nějaký komutativní kroužek s identitou. Spektrum prstenu je souborem všech jeho hlavních ideálů a tyto ideály samy o sobě jsou body spektra. Zarisského topologie je představena následovně: uzavřené množiny spektra jsou množiny všech jednoduchých ideálů obsahujících nějakou množinu nebo, což je totéž, ideál generovaný touto množinou : $A$ ${\mathrm {Spec}}\,A$ $E$ $já$

{\displaystyle V(I)=\{P\in \mathrm {Spec} \,(A)\mid I\subseteq P\))

Je snadné zkontrolovat všechny axiomy. Například skutečnost, že spojení dvou uzavřených množin úzce navazuje na řetězec zjevných inkluzí:

V(a\cap b)\subseteq V(ab)\subseteq V(a)\cup V(b)\subseteq V(a\cap b)

, tedy .

V(a)\cup V(b)=V(a\cap b)

Zarisského topologie na spektru souvisí s dříve zavedenou topologií na afinním prostoru následujícím způsobem. Definujme zobrazení , které spojuje bod s maximálním ideálem sestávajícím z polynomů rovných nule v tomto bodě (je maximální, protože jeho podílovým kruhem je pole K ). Je zřejmé, že různé ideály odpovídají různým bodům. Navíc Hilbertova nulová věta uvádí, že všechny maximální ideály polynomiálního kruhu mají tento tvar, tj. zobrazení je bijektivní . Toto zobrazení je navíc homeomorfismus na podmnožinu odpovídající maximálním ideálům (množina maximálních ideálů kruhu s indukovanou Zarisského topologií se nazývá maximální spektrum a obvykle se označuje ). Stačí dokázat, že toto zobrazení vyvolává bijekci mezi uzavřenými podmnožinami a uzavřenými podmnožinami , ale to je téměř zřejmé: maximální ideály obsahující ideál jsou přesně společné nuly všech polynomů v . $\mathbb {A} ^{n}\to \mathrm {Spec} \,K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ $p$ ${\mathfrak {m}}_{p}$ $x\mapsto {\mathfrak {m}}_{x}$ $\mathbb {A} ^{n}$ $\mathrm {Spec} \,K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ $A$ $\mathrm {spec} \,A$ $\mathbb {A} ^{n}$ $\mathrm {spec} \,K[x_{1},\ldots ,x_{n}]\bigotimes \mathrm {spec} \,K[x_{n},n\in [1,\left\ vert \infty \right\vert ]]$ $(S)$ $S$

Grothendieckovou inovací tedy bylo zvážit nejen maximální ideály prstenu, ale všechny hlavní ideály. V případě polynomiálního kruhu nad algebraicky uzavřeným polem to znamená, že do prostoru je přidán určitý počet „ společných bodů “ (jeden bod pro každou neredukovatelnou afinní podvarietu ). V obecném případě (tedy při zohlednění všech možných komutativních okruhů) to má funktoriální vlastnosti: každému homomorfismu okruhů odpovídá spojitá mapa . Pro jednoduché spektrum je konstrukce tohoto homomorfismu triviální - bere se inverzní obraz jednoduchého ideálu, u maximálního to nefunguje, protože inverzní obraz maximálního ideálu nemusí být nutně maximální. $\mathbb {A} ^{n}$ $\mathrm {Spec}$ $A až B$ $\mathrm {Spec} \,B\to \mathrm {Spec} \,A$

Stejně jako konstrukce spektra nahradila tradiční Zarisského topologii na afinních varietách, konstrukce Proj v moderní algebraické geometrii nahrazuje uvažování o topologii na projektivních varietách.

Příklady

Spektrum pole k je topologický prostor s jedním prvkem.
Spektrum obsahuje jeden bod pro každé prvočíslo a také jeden „společný bod“ (bod, jehož uzávěr se shoduje s celým prostorem) odpovídající nulovému ideálu. Uzavřené množiny v topologii Zariski na tomto spektru jsou konečnými podmnožinami množiny prvočísel, stejně jako celé spektrum. $\mathbb {Z}$
Spektrum polynomického kruhu nad algebraicky uzavřeným polem K je afinní přímka nad polem K . Opravdu, K [ x ] je doména hlavních ideálů , takže primární ideály v něm odpovídají ireducibilním polynomům , a protože K je algebraicky uzavřené pole, všechny ireducibilní polynomy mají tvar ; spektrum obsahuje i „společný bod“ odpovídající nulovému ideálu. V Zarisského topologii na K [ x ] jsou uzavřené množiny konečné množiny (neobsahující společný bod), stejně jako celý prostor. $\mathbb {A} ^{1}$ $xa$
Pokud K není algebraicky uzavřená, situace se komplikuje. Například spektrum obsahuje body ve tvaru , body takové, že a společný bod. Pokud každý polynom tohoto typu spojíme s jeho komplexními kořeny, lze spektrum zobrazit jako horní polorovinu (komplexní čísla s nezápornou imaginární částí). ${\mathbb R}[x]$ $(xa)$ $(x^{2}+bx+c)$ $b^{2}-4c<0$ ${\mathbb R}[x]$
Uzavřená podmnožina spektra je spektrum jiného kruhu. Toto je dokázáno konstrukcí kvocientového prstence — primární ideály odpovídají jedna ku jedné k primárním ideálům v obsahovat ideál . Například spektrum prstence se skládá z bodů (2) a (5). $A/I$ $A$ $já$ $\mathbb {Z} /10\mathbb {Z}$

Vlastnosti Zarisského topologie na spektru

Nejzávažnější rozdíl mezi topologií na spektru a topologií Zariski na manifoldu spočívá v tom, že ne všechny body jsou v nové topologii uzavřeny. Tzv. "obecné body", jejichž uzávěr je přísně větší než oni sami (navíc existuje vzájemná shoda mezi neredukovatelnými složkami prostoru a "obecnými" body, jejichž uzávěry tyto složky jsou). Body odpovídající maximálním ideálům prstence zůstávají uzavřené. Topologie na spektru tedy již nesplňuje axiom T 1 , ale stále splňuje axiom T 0 . Ve skutečnosti ze dvou hlavních ideálů alespoň jeden neobsahuje druhý, například . Potom obsahuje , ale samozřejmě neobsahuje (připomeňme, že jde o otevřenou množinu skládající se z ideálů, které neobsahují ideál ). $\mathfrak p$ ${\mathfrak {q}}$ ${\mathfrak {p}}\nsubseteq {\mathfrak {q}}$ $D({\mathfrak {p)))$ ${\mathfrak {q}}$ $\mathfrak p$ $D({\mathfrak {p)))$ $\mathfrak p$

Stejně jako v klasické algebraické geometrii je spektrum kompaktním prostorem. Tato skutečnost není v souladu s naší intuicí: neočekáváme, že celý afinní prostor (jako je euklidovský prostor ) bude kompaktní. Grothendieck také zavedl pojem etalové topologie , který je mnohem abstraktnější, ale vlastnosti této topologie více připomínají vlastnosti standardní topologie na euklidovském prostoru.

Viz také

spektrum prstence

Literatura

Atiyah M., McDonald I. Úvod do komutativní algebry. — M .: Mir, 1972.
Mumford , Červená kniha odrůd a schémat - M .: MTsNMO, 2007.
Shafarevič I. R. Základy algebraické geometrie. — M .: Nauka, 1972.
Hartshorne R. Algebraická geometrie. — M .: Mir, 1981.