Nagelův bod

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 3. prosince 2021; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Nagelův bod
N je Nagelův bod trojúhelníku ABC
barycentrické souřadnice	$-a+b+c:a-b+c:a+bc$
Trilineární souřadnice	${\frac {-a+b+c}{a)):{\frac {a-b+c}{b)):{\frac {a+bc}{c))$
ECT kód	X(8)
Spojené tečky
izotomicky konjugované	Gergonův bod
další	střed vepsaného kruhu
Mediální soubory na Wikimedia Commons

Nagelův bod - průsečík úseček spojujících vrcholy trojúhelníku s body dotyku protilehlých stran s odpovídajícími kružnicemi .

Obvykle se označuje . $N$

Vlastnosti

Nagelův bod leží na stejné přímce se středem a středem , zatímco střed rozděluje segment mezi Nagelovým bodem a středem v poměru 2:1. Tato čára se nazývá Nagelova čára (viz obrázek).
Pokud jsou body , , takové, že každý ze segmentů , a rozděluje obvod trojúhelníku na polovinu, pak se tyto segmenty protínají v jednom bodě - Nagelově bodě . $T_{A}\in BC$ $T_{B}\in CA$ $T_{C}\in AB$ $AT_{A}$ $BT_{B}$ $CT_{C}$
Bod Nagel je izotomicky konjugován s bodem Gergonne .
Nagelův bod je izogonálně konjugován se středem kladné homotety kružnice a kružnice opsané ( Verrierův bod ).
Vzdálenost mezi ortocentrem a Nagelovým bodem je rovna průměru Furmanovy kružnice a je rovna $H$ $N$

NH=2R{\sqrt {\frac {a^{3}-a^{2}b-ab^{2}+b^{3}-a^{2}c+3abc-b^{ 2}c-ac^{2}+c^{3}}{abc}}}

Polovina této vzdálenosti se rovná vzdálenosti mezi středem kružnice opsané a středem [1] .
Cevian bodu Nagel je někdy odkazoval se na v anglické literatuře jako splitter nebo obvodová osa . Odkazují také na výložník štípacího trojúhelníku .
Střed daného trojúhelníku je Nagelovým bodem trojúhelníku tvořeného jeho 3 střednicemi ( střed trojúhelníku ). [2] [3]
Slabé místo v trojúhelníku je takové, které dokáže najít dvojče svou ortogonální konjugací mimo trojúhelník. Například incenter , Nagel point a další jsou slabé stránky , protože umožňují získat podobné body, když jsou spárovány mimo trojúhelník. [4] .

Nagelův trojúhelník

* Nagelův trojúhelník (viz obrázek výše) pro trojúhelník je definován vrcholy , a , což jsou body kontaktu kružnic trojúhelníku a bodu naproti straně atd. $ABC$ $T_{A}$ $T_{B}$ $T_{C}$ $ABC$ $T_{A}$ $A$

Vlastnosti

Opsaná kružnice kolem trojúhelníku se nazývá Mandartova kružnice (zvláštní případ Mandartovy elipsy ). $T_{A}T_{B}T_{C}$
Tři čáry , a rozdělte obvod na polovinu a protínají se v jednom Nagelově bodě - X(8) . $AT_{A}$ $BT_{B}$ $CT_{C}$ $N$
Kolmice obnovené ve třech vrcholech Nagelova trojúhelníku ke stranám hlavního trojúhelníku (tj. v bodech dotyku kružnic se stranami hlavního trojúhelníku) se protínají v jednom bodě. Tento bod je symetrický ke středu kružnice opsané vzhledem ke středu kružnice opsané [5] .
Animace konstrukce Nagelova bodu je znázorněna na Obr.

Poznámka

Bod Nagel je slabý bod. Proto bychom neměli mluvit o jednom, ale o několika Nagelových bodech. To znamená, že spojením dalších bodů kontaktu kružnic s vrcholy trojúhelníku získáte další tři Nagelovy body.

Historie

Pojmenována po Christianu Heinrichu von Nagelovi , který ji poprvé popsal v článku z roku 1836 .

Viz také

Poznámky

↑ Weisstein, Eric W. Fuhrmann Circle na webu Wolfram MathWorld .
↑ Honsberger, R. . Epizody v euklidovské geometrii devatenáctého a dvacátého století. Washington, DC: Matematika. Doc. amer. 1995. S. 51, položka (b).// https://b-ok.cc/book/447019/c8c303
↑ Johnson, RA Moderní geometrie: Základní pojednání o geometrii trojúhelníku a kruhu. Boston, MA: Houghton Mifflin, s. 247, 1929.
↑ Myakishev A. Chůze v kruzích: od Eulera k Taylorovi // Matematika. Vše pro učitele! č. 6 (6). Červen. 2011. str. 11, pravý sloupec, 2. odstavec shora// https://www.geometry.ru/persons/myakishev/papers/circles.pdf
↑ Myakishev A. G. Prvky geometrie trojúhelníku. — M. : MTsNMO, 2002. — S. 11, s. 5. — (Knihovna "Matematická výchova").

Nagelův bod

Vlastnosti

Nagelův trojúhelník

Vlastnosti

Poznámka

Historie

Viz také

Poznámky

Odkazy