Feuerbachův bod

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 17. června 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Feuerbachův bod (Feuerbachova věta ) je bod tečnosti kružnice vepsané ke kružnici devíti bodů trojúhelníku . Feuerbachův bod je tečný bod trojúhelníku, což znamená, že jeho definice nezávisí na umístění a velikosti trojúhelníku. Bod je zahrnut s kódem X(11) v Clark Kimberling 's Encyclopedia of Triangle Centers a pojmenován po Karlu Wilhelmu Feuerbachovi [1] [2] .

Feuerbachova věta říká, že kružnice o devíti bodech se dotýká tří kružnic trojúhelníku, stejně jako jeho kružnice vepsané [3] . Vydal Feuerbach v roce 1822 [4] . Velmi krátký důkaz této věty je založen na Caseyově větě o vnějších tečnách ke čtyřem kružnicím, které se vzájemně neprotínají a dotýkají se páté kružnice, která je v ní [5] . Feuerbachův teorém byl také použit jako testovací případ pro automatický důkaz [6] . Tři tečné body kružnic tvoří tzv. Feuerbachův trojúhelník daného trojúhelníku.

Budova

Vepsaná kružnice trojúhelníku ABC je kružnice tečnou ke všem třem stranám trojúhelníku. Jeho střed je průsečíkem tří os trojúhelníku.

Kružnice devíti bodů je definována pro trojúhelník a nazývá se tak, protože prochází devíti pozoruhodnými body trojúhelníku, mezi nimiž jsou středy stran trojúhelníku stavebně nejjednodušší. Těmito třemi středy stran prochází kruh devíti bodů. Jedná se tedy o opsanou kružnici středního trojúhelníku .

Tyto dva kruhy se setkávají ve stejném bodě, kde se navzájem dotýkají . Tento tečný bod je Feuerbachovým bodem trojúhelníku .

Kromě vepsané kružnice trojúhelníku jsou s ním spojeny další tři excircles . Jedná se o kruhy, které se dotýkají tří prodloužení stran trojúhelníku. Každá kružnice je tečnou k jedné straně trojúhelníku na vnější straně a dvěma prodloužením ostatních stran. Stejně jako vepsaná kružnice jsou i kružnice tečné k devítibodové kružnici. Jejich body dotyku s kružnicí devíti bodů tvoří Feuerbachův trojúhelník.

Vlastnosti

Feuerbachův bod leží na přímce procházející středy kružnic, které tento bod definují . Těmito středy jsou střed vepsané kružnice a střed kružnice devíti bodů trojúhelníku [1] [2] .

Nechť , a jsou tři vzdálenosti od Feuerbachova bodu k vrcholům středního trojúhelníku (středy stran BC=a, CA=b a AB=c původního trojúhelníku). Pak: [7] [8]

nebo, ekvivalentně, největší ze tří vzdáleností je rovna součtu ostatních dvou.

Zejména máme

kde O je střed opsané kružnice trojúhelníku a I je jeho střed opsané kružnice [9] .

Poslední vlastnost platí také pro tečné body všech kružnic s devítibodovou kružnicí: největší vzdálenost od tohoto tečného bodu ke středu strany původního trojúhelníku je rovna součtu vzdáleností k dalším dvěma středům. stran [8] .

Pokud se kružnice vepsaná do trojúhelníku ABC dotýká stran BC, CA, AB v bodech X , Y a Z a středy těchto stran jsou body P , Q a R , pak trojúhelníky FPX , FQY a FRZ s Feuerbachovým bodem F jsou podobné. na trojúhelníky AOI, BOI, COI resp. [10] .

Z Feuerbachovy věty vyplývá, že Feuerbachův bod leží na kružnicích opsaných kolem:

  1. středy stran trojúhelníku;
  2. základny výšek;
  3. tečných bodů vepsané kružnice, ale také vyplývá z Emelyanovovy věty, na které tento bod leží;
  4. kruh popsaný poblíž základny os;
  5. kružnice opsané o bodech dotyku kružnic se stranami trojúhelníku [11] .

Feuerbachův bod a Simsonovy čáry

Feuerbachův bod pro daný vepsaný nebo excircle (tři-tečný kruh z angličtiny. A tritangent circle ) je průsečík 2 Simsonových linií , postavený pro konce průměru opsaného kruhu procházejícího odpovídajícím středem vepsaného nebo excircle. Feuerbachův bod lze tedy sestrojit bez použití odpovídající kružnice nebo kružnice a Eulerovy kružnice tečné k němu [12] .

Feuerbach ukazuje jako ortopole

V anglické literatuře se 4 středy 4 kružnic: 1 vepsaný a 3 kružnice se středy, které se dotýkají 3 různých stran trojúhelníku nebo jejich prodloužení, nazývají 4 tritangentní středy trojúhelníku (angl. the tritangent centers ) [13] .

Tato poznámka je důležitá pro následující tvrzení: " Feuerbachovy body trojúhelníku jsou ortopoly daného trojúhelníku, jestliže průměry kružnice opsané procházející příslušnými středy tří tečny jsou brány jako přímky ℓ pro tyto ortopoly " [14] .

Souřadnice

Trilineární souřadnice Feuerbachova bodu jsou: [2]

Jeho barycentrické souřadnice jsou: [8]

kde s je semiperimetr ( a+b+c)/2 trojúhelníku.

Tři čáry od vrcholů původního trojúhelníku přes odpovídající vrcholy Feuerbachova trojúhelníku se protínají v dalším pozoruhodném bodě trojúhelníku, uvedeném pod číslem X(12) v Encyklopedii pozoruhodných bodů trojúhelníku.

Jeho trilineární souřadnice jsou [2] :

Poznámky

  1. ↑ 1 2 Kimberling, 1994 , s. 163–187.
  2. ↑ 1 2 3 4 Encyklopedie pozoruhodných bodů trojúhelníku Archivováno 19. dubna 2012. , přístup 2014-10-24.
  3. ↑ Scheer, 2011 , str. 205–210.
  4. ↑ Feuerbach, Buzengeiger, 1822 .
  5. ↑ Casey, 1866 , str. 396–423.
  6. ↑ Chou, 1988 , str. 237–267.
  7. ↑ Eric Weisstein Feuerbach Point
  8. ↑ 1 2 3 Polibek, 2016 , str. 283–290.
  9. ↑ Kiss, 2016 , str. 283-290 Návrhy. 3.
  10. ↑ Kiss, 2016 , str. 283-290 Návrhy. čtyři.
  11. ↑ Emelyanovs, 2002 , s. 78.
  12. ↑ Vysokoškolská geometrie: Úvod do moderní geometrie trojúhelníku a kruhu. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §648. Poznámka. S.273
  13. ↑ Vysokoškolská geometrie: Úvod do moderní geometrie trojúhelníku a kruhu. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §b. Tritangentní centra. S.73-78
  14. ↑ Vysokoškolská geometrie: Úvod do moderní geometrie trojúhelníku a kruhu. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §698. důsledek. S.290

Literatura

Čtení pro další čtení