Triviální objekty v algebře

V algebře (odvětví matematiky) je mnoho algebraických struktur triviálních , tedy těch nejjednodušších objektů . Stejně jako množiny se skládají z jednoho prvku , označeného symbolem " 0 ", a samotného objektu - jako " {0} " nebo jednoduše "0" v závislosti na kontextu (například v přesných sekvencích ). Pro sjednocení uvažování jsou důležité objekty odpovídající triviálním případům: například je vhodnější říci, že „řešení rovnice T  x = 0 tvoří vždy lineární prostor“, než dělat výhradu „... nebo množinu { 0 }“.

Nejdůležitější z těchto objektů jsou:

• Triviální skupina , nejjednodušší ze skupin . Je také nejjednodušší z Abelovských skupin a všechny níže uvedené objekty dědí její strukturu, chápanou jako sčítání .
• Triviální prsten , nejjednodušší z prstenů .
• Nulový (triviální nebo prázdný - generovaný ) modul , nejjednodušší z modulů v daném kruhu R ).
• Nula (nebo nula-rozměrný ) lineární prostor přes pole R , nejjednodušší lineární prostory.
• Nulová algebra , nejjednodušší z algeber nad prstencem nebo nad polem R.

V posledních třech případech je násobení skalárem definováno jako κ0 = 0  , kde κ ∈ R .

Jakákoli nulová algebra je také triviální jako prsten. Nulová algebra nad polem je nulový lineární prostor a nad prstencem je to nulový modul.

Interpretace s teorií kategorií

V podmínkách teorie kategorií , triviální objekt je terminál , a někdy (se spoléhat na definici morfismu ) nulový (to je, oba terminál a počáteční ) objekt.

Triviální objekt je jedinečný až do izomorfismu .

Terminalita triviálního objektu znamená, že morfismus A → {0} existuje a je jedinečný pro jakýkoli objekt A v kategorii. Tento morfismus mapuje každý prvek objektu A na 0 .

2↕ _		=		[ ]	‹0
	↔ 1		^ 0	↔ 1
Prvek nulového prostoru, zapsaný jako prázdný sloupcový vektor (vpravo), se vynásobí prázdnou maticí 2×0 a získá se 2-rozměrný nulový vektor (vlevo). Jsou dodržována pravidla maticového násobení .

V kategoriích Rng (kruhy bez povinné jednotky), R - Mod a Vect R jsou triviální kruh, nulový modul a mezera nulovými objekty. Objekt null je podle definice počáteční, to znamená, že morfismus {0} → A existuje a je jedinečný pro jakýkoli objekt A v kategorii. Tento morfismus mapuje 0 , jediný prvek objektu {0} , na nulu 0 ∈ A . Toto je monomorfismus a jeho obraz (submodul/podprostor v A generovaný nulovými prvky ) je izomorfní k {0}.

Struktury s jednotkou

Ve strukturách s jednotkou ( neutrální prvek násobení) to není tak jednoduché. Když definice morfismu v kategorii vyžaduje jejich zachování, triviální objekt je buď pouze terminální (ale ne počáteční), nebo vůbec neexistuje (například když definice struktury vyžaduje nerovnost 1 ≠ 0 ).

V kategorii kruhů jednotek kruhů je kruh celých čísel Z počátečním objektem, nikoli {0}.

Viz také

• Prázdná pologrupa
• Triviální algebra

Odkazy

• David Sharpe. Kroužky a faktorizace  (neopr.) . - Cambridge University Press , 1987. - S.  10  : triviální kroužek . - ISBN 0-521-33718-6 .
• Barile, Margherito. Trivial Module  (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
• Barile, Margherito. Zero Module  (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .