Goniometrické funkce z matice

Goniometrické funkce matice jsou zobecnění goniometrických funkcí pro čtvercové matice .

Goniometrické funkce (zejména často sinusové a kosinové) čtvercových matic vznikají při řešení soustav diferenciálních rovnic druhého řádu . [1] Jsou definovány prostřednictvím stejné Taylorovy řady , prostřednictvím které jsou definovány goniometrické funkce reálného nebo komplexního argumentu: [2]

{\begin{aligned}\sin X&=X-{\frac {X^{3}}{3!}}+{\frac {X^{5}}{5!)}}-{\ frac {X^{7}}{7!}}+\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1) ! }}X^{2n+1}\\\cos X&=I-{\frac {X^{2}}{2!)}}+{\frac {X^{4}}{4!}} -{ \frac {X^{6}}{6!}}+\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n )! }}X^{2n}\end{aligned}}

kde X n znamená matici X na mocninu n a I je matice identity stejné dimenze.

Také goniometrické funkce argumentu matice mohou být definovány pomocí exponentu matice , s přihlédnutím k maticové analogii Eulerova vzorce e iX = cos X + i sin X :

{\begin{aligned}\sin X&={e^{iX}-e^{-iX} \over 2i}\\\cos X&={e^{iX}+e^{-iX} \ více než 2}.\end{aligned}}

Nechť X je například standardní Pauliho matice :

\sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}~,

Pak

\sin(\theta \sigma _{1})=\sin(\theta )~\sigma _{1},\qquad \cos(\theta \sigma _{1})=\cos(\theta )~já~,

Můžete také vypočítat kardinální sinus :

\operatorname {sinc} (\theta \sigma _{1})=\operatorname {sinc} (\theta )~I.

Vlastnosti

Maticový analog hlavní goniometrické identity je platný : [2]

\sin ^{2}X+\cos ^{2}X=I

Je -li X diagonální matice , sin X a cos X jsou také diagonální matice, přičemž (sin X ) nn = sin( X nn ) a (cos X ) nn = cos( X nn ) , tedy sinus a kosinus diagonální matici lze vypočítat výpočtem sinus a kosinus prvků argumentu na hlavní diagonále.

Maticové analogy součtových vzorců sinus a kosinus jsou platné tehdy a jen tehdy , když matice komutují, tj. XY = YX : [2]

{\begin{aligned}\sin(X\pm Y)=\sin X\cos Y\pm \cos X\sin Y\\\cos(X\pm Y)=\cos X\cos Y\ mp \sin X\sin Y\end{aligned}}

Další vlastnosti

Pro matice lze také definovat tečné, inverzní goniometrické funkce , hyperbolické funkce a inverzní hyperbolické funkce : [3]

\arcsin X=-i\ln \left(iX+{\sqrt {IX^{2))}\right)

(Viz Inverzní goniometrické funkce#Vztah k přirozenému logaritmu , Logaritmus matice Druhá odmocnina

{\begin{aligned}\sinh X&={e^{X}-e^{-X} \over 2}\\\cosh X&={e^{X}+e^{-X} \ přes 2}\end{aligned}}

a tak dále.

Poznámky

↑ Gareth I. Hargreaves, Nicholas J. Higham. Efficient Algorithms for the Matrix Cosine and Sine (anglicky) // Numerical Analysis Report : journal. - Manchester Center for Computational Mathematics, 2005. - No. 461 .
↑ 1 2 3 Nicholas J. Higham. Funkce matic: teorie a výpočty (anglicky) . - 2008. - S. 287f. — ISBN 9780898717778 .
↑ Scilab trigonometrie Archivováno 9. července 2017 na Wayback Machine .