Exponent matice je maticová funkce čtvercové matice , podobná obvyklé exponenciální funkci . Exponent matice zakládá spojení mezi Lieovou algebrou matic a odpovídající Lieovou grupou .
Pro skutečnou nebo komplexní matici velikosti je exponent , označovaný jako nebo , matice definovaná mocninnou řadou :
,kde je k -tá mocnina matice . Tato řada vždy konverguje, takže exponent je vždy dobře definovaný.
Jestliže je matice velikosti , pak exponent matice je matice velikosti , jejíž jediný prvek je roven obvyklému exponentu jednoho prvku .
Pro komplexní matice a velikost , libovolná komplexní čísla a , matici identity a nulovou matici má exponent následující vlastnosti:
Jedním z důvodů, proč je exponent matice důležitý, je to, že jej lze použít k řešení soustav obyčejných diferenciálních rovnic [1] . Systémové řešení:
,kde je konstantní matice, je dáno:
Exponent matice lze také použít k řešení nehomogenních rovnic tvaru
.Pro řešení neautonomních diferenciálních rovnic ve tvaru neexistuje uzavřený analytický výraz
,kde není konstanta, ale Magnusova expanze umožňuje získat reprezentaci řešení jako nekonečný součet.
Pro libovolná dvě reálná čísla (skaláry) a exponenciální funkce splňují rovnici , stejná vlastnost platí pro symetrické matice — pokud matice a komutují (tj. ), pak . Pro matice bez dojíždění však tato rovnost neplatí vždy, v obecném případě se pro výpočet používá vzorec Baker-Campbell-Hausdorff .
V obecném případě rovnost neznamená, že a dojíždět.
Pro hermitovské matice existují dvě pozoruhodné věty související se stopou exponentů matice.
Golden-Thompsonova nerovnostJestliže a jsou hermitovské matice, pak [2] :
,kde je stopa matrice . Aby toto tvrzení platilo, není nutná komutativnost. Existují protipříklady, které ukazují, že Golden-Thompsonova nerovnost nemůže být rozšířena na tři matice a není vždy skutečným číslem pro hermitovské matice , a .
Liebův teorémLiebův teorém, pojmenovaný po Elliott Lieb , říká, že pro pevnou hermitovskou matici je funkce:
je konkávní na kuželu pozitivně definitních matic [3] .
Exponent matice je vždy nesingulární matice . Inverzní matice je , což je analogie skutečnosti, že exponent komplexního čísla není nikdy nula. Exponent matice tedy definuje mapování:
od prostoru všech matic dimenze po plnou lineární skupinu řádu , tedy skupinu všech nedegenerovaných matic dimenze . Toto zobrazení je surjekce , to znamená, že každá nesingulární matice může být zapsána jako exponent nějaké jiné matice (aby k tomu došlo, je nutné uvažovat obor komplexních čísel , nikoli reálná čísla ).
Pro libovolné dvě matice a máme nerovnost
,kde označuje libovolnou maticovou normu . Z toho vyplývá, že exponenciální zobrazení je spojité a Lipschitz na kompaktních podmnožinách .
Zobrazit:
definuje hladkou křivku v obecné lineární skupině, která prochází prvkem identity v .
Pro systém:
jeho matrice je:
Lze ukázat, že exponent matice je
takže obecné řešení tohoto systému je:
Příklad nehomogenního systémuChcete-li vyřešit nehomogenní systém:
jsou zavedeny zápisy:
a
Protože součet obecného řešení homogenní rovnice a partikulárního řešení dává obecné řešení nehomogenní rovnice, zbývá pouze najít konkrétní řešení. Protože:
kde je počáteční podmínka.
V případě nehomogenního systému lze použít metodu variace libovolné konstanty. Hledáme konkrétní řešení ve formě :
Pro řešení je třeba provést následující:
Takto:
kde je určeno z počátečních podmínek problému.