Laplaceova rovnice

Laplaceova rovnice je parciální diferenciální rovnice . V trojrozměrném prostoru je Laplaceova rovnice zapsána takto:

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2))}+{\frac { \částečné ^{2}u}{\částečné z^{2))}=0

a je speciálním případem Helmholtzovy rovnice .

Rovnice je také uvažována ve dvourozměrném a jednorozměrném prostoru. Ve dvourozměrném prostoru je Laplaceova rovnice zapsána:

{\frac {\částečné ^{2}u}{\částečné x^{2))}+{\frac {\částečné ^{2}u}{\částečné y^{2))}=0

Také v n -rozměrném prostoru. V tomto případě se součet n sekundových derivací rovná nule.

Použití diferenciálního operátoru

\Delta ={\frac {\částečné ^{2}}{\částečné x^{2}}}+{\frac {\částečné ^{2}}{\částečné y^{2}}}+{\frac {\částečné ^{2}}{\částečné z^{2}}}+...

- ( Laplaceův operátor ) - tato rovnice se zapisuje (pro libovolnou dimenzi) stejně jako $\Delta u=0$

V tomto případě je rozměr prostoru uveden explicitně (nebo implicitně).

Laplaceova rovnice má eliptický tvar . Funkce, které jsou řešením Laplaceovy rovnice, se nazývají harmonické funkce . Nehomogenní Laplaceova rovnice se nazývá Poissonova rovnice .

Poznámka: vše výše uvedené platí pro kartézské souřadnice v plochém prostoru (bez ohledu na jeho rozměr). Při použití jiných souřadnic se změní reprezentace Laplaceova operátoru a podle toho se změní i záznam Laplaceovy rovnice (viz příklad níže). Tyto rovnice se také nazývají Laplaceova rovnice, ale aby se odstranila nejednoznačnost v terminologii, souřadnicový systém (a chcete-li úplnou jasnost i rozměr) se obvykle přidává výslovně, například: „dvourozměrná Laplaceova rovnice v polárních souřadnicích. "

Jiné formy Laplaceovy rovnice

Ve sférických souřadnicích má rovnice tvar $\ (r,\theta,\varphi)$

{1 \přes r^{2}}{\částečný \přes \částečný r}\left(r^{2}{\částečný f \přes \částečný r}\vpravo)+{1 \přes r^{2} \sin \theta }{\částečný \přes \částečný \theta } \left(\sin \theta {\částečný f \přes \částečný \theta }\vpravo)+{1 \přes r^{2}\sin ^{ 2}\theta }{\částečný ^{2}f \over \částečný \varphi ^{2}}=0

speciální body . $r=0,\theta=0,\theta=\pi$

V polárních souřadnicích má rovnice tvar $(r,\varphi )$

{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)+{\frac {1 }{r^{2))}{\frac {\částečné ^{2}u}{\částečné \varphi ^{2))}=0

speciální bod . $r=0$

Ve cylindrických souřadnicích má rovnice tvar $(r,\varphi,z)$

{1 \přes r}{\částečný \přes \částečný r}\left(r{\částečný f \přes \částečný r}\vpravo)+{\částečný ^{2}f \přes \částečný z^{2} }+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0

speciální bod . $r=0$

Viz také operátor nabla v různých souřadnicových systémech .

Aplikace Laplaceovy rovnice

Laplaceova rovnice vzniká v mnoha fyzikálních problémech mechaniky, vedení tepla, elektrostatiky, hydrauliky. Laplaceův operátor má velký význam v kvantové fyzice, zejména v Schrödingerově rovnici .

Řešení Laplaceovy rovnice

Navzdory skutečnosti, že Laplaceova rovnice je jednou z nejjednodušších v matematické fyzice, její řešení je plné potíží. Numerické řešení je obzvláště obtížné kvůli nepravidelnosti funkcí a přítomnosti singularit.

Obecné řešení

Jednorozměrný prostor

V jednorozměrném reálném prostoru má Laplaceova rovnice, která redukuje na rovnost druhé derivace na nulu, obecné řešení lineární funkce :

f(x)=C_{1}x+C_{2}

kde jsou libovolné konstanty. $C_{1}, C_{2}$

Dvourozměrný prostor

Laplaceova rovnice na dvourozměrném prostoru je splněna analytickými funkcemi. Analytické funkce jsou uvažovány v teorii funkcí komplexní proměnné a třídu řešení Laplaceovy rovnice lze redukovat na funkci komplexní proměnné.

Laplaceova rovnice pro dvě nezávislé proměnné je formulována následovně