Orr-Sommerfeldova rovnice

Orr-Sommerfeldova rovnice je rovnicí hydrodynamického problému vlastních čísel , která popisuje stabilitu planparalelního proudění viskózní nestlačitelné tekutiny s libovolnými okrajovými podmínkami a rychlostním profilem. Je to jedna ze základních rovnic teorie hydrodynamické stability .

Rovnice byla poprvé publikována v dílech Williama McFaddena Orra a Arnolda Sommerfelda v letech 1907-1908.

Problémové prohlášení

Orr-Sommerfeldova rovnice je získána z Navier-Stokesových rovnic pro malé poruchy stacionárního proudění. Za předpokladu, že rychlost proudění může být reprezentována jako

{\vec {v}}=U(z){\vec {e}}_{x}+{\vec {v}}'(x,z),

kde je profil stacionárního proudění, lze přejít k linearizovaným Navier-Stokesovým rovnicím pro poruchy, které připouštějí řešení ve formě putujících vln , kde je vlnové číslo poruch podél osy a je rychlost jejich šíření. $U(z)$ ${\vec {v))'\sim \exp(ik(x-ct))$ $k$ $X$ $C$

Postupným vyloučením tlaku a horizontální složky poruchové rychlosti z rovnic přímo nebo přechodem na proudovou funkci můžeme systém přivést k jedné rovnici pro vertikální složku, rychlostní potenciál nebo proudovou funkci, bez ohledu na zvolenou transformace:

(Uc)\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2))}-k^{2}\varphi \right)-{\frac {\partial ^{2}U}{\částečné z^{2}}}\varphi ={\frac {1}{ik\mathrm {Re} }}\left({\frac {\částečné ^{4}\varphi } {\částečné z^{4))}-2k^{2}{\frac {\částečné ^{2}\varphi }{\částečné z^{2))}+k^{4}\varphi \right) ,

kde je bezrozměrné Reynoldsovo číslo . $\mathrm{Re}$

Při zápisu poruch ve tvaru , kde je přírůstek (rychlost růstu) poruch, lze získat mírně odlišný tvar rovnice: ${\vec {v))'\sim \exp(ikx+\lambda t)$ $\lambda$

(\lambda +ikU)\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2))}-k^{2}\varphi \right)-ik{\ frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2))}\varphi ={\frac {1}{\mathrm {Re} }}\left({\frac {\partial ^{4} \varphi }{\částečné z^{4))}-2k^{2}{\frac {\částečné ^{2}\varphi }{\částečné z^{2))}+k^{4}\varphi \že jo).

Rovnice je doplněna okrajovými podmínkami pro poruchy odpovídající danému problému. Například pro proudění v kanálu se dvěma pevnými stěnami se na nich provede následující:

\varphi =0,{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}=0,

máme-li na mysli vertikální složku poruchové rychlosti nebo potenciál rychlostního pole, popř $\varphi$

\varphi =0,{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}=0,

if je funkcí proudu. $\varphi$

Vlastní hodnotou výsledného okrajového problému je rychlost šíření poruch , která závisí na vlnovém čísle a Reynoldsově čísle. V obecném případě se jedná o komplexní číslo , a pokud se imaginární část rychlosti ukáže jako kladná, vede to k exponenciálnímu růstu poruch v čase a v důsledku toho ke ztrátě stability stacionárního proudění a přechodu. od laminárního k turbulentnímu proudění . $C$

Řešení rovnice

Obecně platí, že i pro ty nejjednodušší rychlostní profily, jako je Poiseuilleovo proudění , nelze tuto rovnici řešit analyticky. Přesné řešení lze získat pouze pro průtok Couette (viz níže). Pro libovolné toky, asymptotické metody, spektrální metody ( kolokační metoda , Galerkinova metoda atd.), specializované algoritmy pro numerické řešení okrajových úloh, jako je střelecká metoda nebo metoda diferenciálního rozmítání , nebo přímá numerická simulace vývoje se používá nestabilita proudění.

Analýza stability Couetteova proudění

Viz také

Literatura

Orr, W. M'F. (1907). „Stabilita nebo nestabilita ustálených pohybů kapaliny. Část I". Sborník Královské irské akademie. A27:9-68
Orr, W. M'F. (1907). „Stabilita nebo nestabilita ustálených pohybů kapaliny. Část II". Sborník Královské irské akademie. A27:69-138
Sommerfeld, A. (1908). „Ein Beitrag zur hydrodynamische Erklärung der turbulenten Flüssigkeitsbewegungen“. Sborník příspěvků ze 4. mezinárodního kongresu matematiků III. Řím. str. 116-124
Lin Chia Chiao . Teorie hydrodynamické stability. Moskva: Zahraniční literatura, 1958.

Slovníky a encyklopedie	velká čínština