Výpočetní dynamika tekutin

Výpočetní dynamika tekutin (také CFD z anglického computational fluid dynamics ) je podsekcí mechaniky kontinua , zahrnující soubor fyzikálních, matematických a numerických metod určených k výpočtu charakteristik procesů proudění. Tato disciplína úzce souvisí s dynamikou tekutin .

Základní principy

Základem každého výzkumu v oblasti výpočetní dynamiky tekutin je formulace základních rovnic hydro- nebo plynové dynamiky proudění, a to:

Rovnice zachování hybnosti může mít různou podobu v závislosti na přítomnosti nebo nepřítomnosti tření. Navierova-Stokesova rovnice platí pro proudění s třením, zatímco Eulerova rovnice platí pro proudění bez tření. V závislosti na podmínkách problému lze médium považovat za stlačitelné nebo nestlačitelné. V druhém případě jsou rovnice značně zjednodušené.

Výše uvedené rovnice popisují model proudění média. V závislosti na charakteristikách řešeného problému lze model doplnit rovnicemi pro zohlednění turbulence , zohlednění přenosu látek, zohlednění chemických reakcí, zohlednění vícefázovosti, zohlednění elektromagnetických interakcí atd.

Z výše uvedených rovnic je sestaven systém nelineárních diferenciálních rovnic druhého řádu. Systém má analytické řešení pouze ve velmi jednoduchých případech, kdy je Reynoldsovo číslo úlohy malé a geometrie jednoduchá (např. Poiseuilleovo proudění ). Pro širokou škálu přírodních a technologických procesů lze problém řešit numericky, pokud jsou derivace v rovnicích nahrazeny konečnými rozdíly vzniklými v malých prostorových a časových intervalech. V případě modelování reálného procesu se provádí tzv. diskretizace prostoru a času tak, že geometrie procesu je rozdělena do vypočítaných buněk, vybraných speciálním způsobem, a čas procesu je rozdělen do vypočítaných časových intervalů. . Existují různé metody řešení soustavy rovnic, například:

metoda konečných rozdílů ;
metoda konečných objemů ;
metoda konečných prvků ;
metoda vyhlazených částic ;
metoda využívající funkci rozdělení pravděpodobnosti.

Rozhodovací proces

K vyřešení problémů výpočetní dynamiky tekutin speciální software postupně provádí akce rozdělené do následujících fází:

přípravná fáze. V této fázi se tvoří geometrie modelu, formulují se potřebné fyzikální podmínky, diskretizuje se geometrie, nastavují se počáteční a okrajové podmínky diferenciálních rovnic;
výpočet. V této fázi stroj podle daného algoritmu numericky řeší základní rovnice z hlediska základních fyzikálních parametrů (rychlost, tlak, hustota, teplota, entalpie atd.) a také zapisuje výsledky řešení do paměti;
analýza. Výsledky řešení jsou zobrazeny ve formě grafů, tabulek a obrysových a/nebo vektorových diagramů propojených s původní geometrií.

Metodika

Všechny tyto přístupy používají stejnou základní metodologii.

Předzpracování (předzpracování);
- Geometrie a fyzické hranice objektu jsou určeny pomocí počítačem podporovaného návrhu (CAD, angl. CAD). V důsledku toho mohou být data zpracována takovým způsobem, že je technicky možné izolovat a extrahovat objem kapaliny;
- Objem zabraný kapalinou je rozdělen do samostatných buněk (mřížka, anglicky mesh ). Mřížka může být homogenní nebo nehomogenní, strukturovaná nebo nestrukturovaná, skládající se z kombinace šestistěnných, čtyřstěnných, prizmatických, pyramidálních nebo mnohostěnných prvků;
- Stanovení modelovacích kritérií - např.: rovnice pohybu tekutiny + entalpie + záření + zachování druhů;
- Stanovení okrajových podmínek pro chování a vlastnosti tekutiny na všech hraničních plochách domény tekutiny. U dynamických úloh jsou navíc určeny počáteční podmínky;
Spuštění simulace , během níž jsou rovnice řešeny iterativně jako stacionární nebo přechodné;
Následné zpracování potřebné pro analýzu a vizualizaci výsledného řešení.

Metody diskretizace

Stabilita zvolené diskretizační metody je obvykle stanovena numericky a nikoli analyticky, jako u jednoduchých lineárních úloh. Zvláštní pozornost je třeba věnovat také zajištění toho, aby se s různými roztoky pro danou metodu odběru vzorků zacházelo elegantně. Například Eulerovy rovnice a Navier-Stokesovy rovnice berou v úvahu nárazy a kontaktní povrchy.

Některé z používaných metod diskretizace jsou:

Metoda konečných objemů

Metoda konečného objemu (FVM) je běžný přístup používaný ve výpočetní dynamice tekutin, protože má tu výhodu, že využívá počítačovou paměť a rychlost řešení, zejména u velkých problémů s vysokými Reynoldsovými čísly, turbulentními toky a zdroji s dominantním tokem (např. spalování) [1] .

V metodě konečných objemů jsou rovnice parciálního diferenciálního řízení (typicky Navier-Stokesovy rovnice, rovnice zachování hmoty a energie a rovnice turbulence) rekonstruovány v konzervativní formě a poté řešeny přes diskrétní regulační objemy. Tato diskretizace zaručuje udržení průtoků v určitém regulačním objemu.

Konečná objemová rovnice je:

{\partial \over \partial t}\iiint QdV+\iint FdA=0

kde Q je vektor konzervovaných proměnných, F je vektor toku (viz Eulerovy rovnice nebo Navier-Stokesovy rovnice ), V je objem prvku řídicího objemu, A je plocha povrchu prvku řídicího objemu.

Metoda konečných prvků

Metoda konečných prvků se používá ve strukturní analýze pevných látek, ale lze ji použít i pro kapaliny. Formulace metody však vyžaduje zvláštní péči, aby bylo zajištěno konzervativní řešení. Tento vzorec byl upraven pro použití v hydrodynamice pomocí parciálních diferenciálních rovnic. Ačkoli je třeba metodu pečlivě formulovat, aby bylo řešení konzervativní, nakonec je mnohem stabilnější než metoda konečných objemů [2] . Tato metoda však může vyžadovat více paměti a má delší dobu řešení než metoda konečných objemů [3] .

R_{i}=\iiint W_{i}Q\,dV^{e}

kde je zbytek rovnice v horním prvku , je rovnice zachování vyjádřená v podmínkách prvku, je váhový faktor a je objem prvku. $R_i$ $i$ $Q$ $W_i$ ${\displaystyle V^{e))$

Metoda konečných rozdílů

Metoda konečných rozdílů má historické uznání a vyniká snadností programování. V současné době se metoda používá pouze v několika specializovaných kódech, které zvládají složitou geometrii s vysokou přesností pomocí vložených hranic nebo překrývajících se sítí (s interpolací řešení přes každou síť).

{\frac {\partial Q}{\partial t))+{\frac {\partial F}{\partial x))+{\frac {\partial G}{\partial y))+{\ frac {\částečné H}{\částečné z}}=0

kde je vektor konzervovaných proměnných a , a jsou toky v , respektive směrech. $Q$ $F$ $G$ $H$ $X$ $y$ $z$

Metoda spektrálních prvků

Metoda spektrálních prvků je metodou skupiny konečných prvků. Metoda vyžaduje, aby matematický problém (parciální diferenciální rovnice) byl prezentován ve slabé formulaci. To se obvykle provádí vynásobením diferenciální rovnice libovolnou testovací funkcí a integrací přes celou doménu. Čistě matematicky jsou testovací funkce zcela libovolné – patří do nekonečněrozměrného funkčního prostoru. Je jasné, že nekonečněrozměrný funkční prostor nemůže být reprezentován na diskrétní mřížce spektrálních prvků; zde začíná diskretizace spektrálních prvků. Nejdůležitější je volba interpolačních a testovacích funkcí. Ve standardní 2D metodě konečných prvků pro čtyřstranné prvky je nejtypičtější volbou bilineární test nebo interpolační funkce tvaru:

v(x,y)=ax+by+cxy+d

V metodě spektrálních prvků jsou však interpolační a testovací funkce voleny jako polynomy velmi vysokého řádu (obvykle například 10. řádu v aplikacích CFD). To zaručuje rychlou konvergenci metody. Kromě toho musí být použity velmi účinné integrační procedury, protože počet integrací, které je třeba provést v číselných kódech, je velký.

Proto se používají kvadraturní čtverce vysokého řádu, protože dosahují nejvyšší přesnosti s nejmenším množstvím výpočtů, které je třeba provést.

V současné době existuje několik akademických verzí kódů CFD založených na metodě spektrálních prvků a několik dalších se vyvíjí s tím, jak se na akademické půdě vyvíjejí nová schémata časových kroků.

Metoda hraničního prvku

V metodě hraničních prvků je hranice obsazená tekutinou rozdělena povrchovou sítí.

Schémata vzorkování s vysokým rozlišením

Obvody s vysokým rozlišením se používají tam, kde jsou přítomny nárazy nebo zlomy. Zachycení náhlých změn v řešení vyžaduje použití numerických schémat druhého nebo vyššího řádu, která nezavádějí falešné výkyvy. To obvykle vyžaduje použití omezovačů průtoku, aby se snížila celková odchylka řešení.

Modely turbulence

Při výpočtovém modelování turbulentních toků je jedním společným cílem získat model, který dokáže předpovídat množství zajímavé pro výzkumníka, jako je například rychlost tekutiny, za účelem modelování inženýrských struktur. V případě turbulentních proudění je rozsah délkových měřítek a složitost jevů spojených s turbulencí neúměrně nákladná; rozlišení potřebné k vyřešení všech měřítek spojených s turbulencí je nad rámec toho, co lze spočítat. Primárním přístupem v takových případech je vytvoření numerických modelů pro aproximaci jevů, které nelze řešit s vysokou přesností. Tato část uvádí některé běžně používané výpočtové modely pro turbulentní proudění.

Modely turbulence lze klasifikovat podle jejich výpočetních nákladů, které odpovídají rozsahu modelovaných měřítek oproti povoleným (čím větší jsou povolená měřítka turbulence, tím přesnější je rozlišení simulace, a tedy tím vyšší jsou náklady na výpočetní zdroje ). Pokud většina nebo všechny stupnice turbulence nejsou modelovány, výpočetní náklady jsou malé, ale kompromis je pak na úkor snížené přesnosti.

Kromě širokého rozsahu délek a časových měřítek a souvisejících výpočetních nákladů obsahují řídící rovnice modelu dynamiky tekutin nelineární konvektivní člen a nelineární a nelokální tlakový gradient. Tyto nelineární rovnice je nutné řešit numericky s příslušnými okrajovými a počátečními podmínkami.

Reynoldsovy rovnice, Navier-Stokesovy rovnice

Reynolds Navier-Stokes ( RANS ) rovnice jsou nejstarším přístupem k modelování turbulence. Řeší se řídící rovnice modelů, ve kterých jsou zavedena nová zdánlivá napětí, známá jako Reynoldsova napětí. Obvyklá mylná představa je, že rovnice RANS neplatí pro časově proměnlivé průměrné toky, protože tyto rovnice jsou „průměrované v čase“. Ve skutečnosti lze stejným způsobem zacházet se statisticky nestacionárními (nebo jen nestacionárními) proudy. To je někdy označováno jako URAN. V Reynoldsových rovnicích není nic, co by komplikovalo modely turbulence, ale platí pouze tehdy, pokud je doba, během níž k těmto změnám dochází, v průměru dlouhá ve srovnání s časovými stupnicemi turbulentního pohybu, ve kterém je většina energie koncentrovaný.

Modely RANS lze rozdělit do dvou přístupů:

Boussinesqova aproximace

Tato metoda zahrnuje použití algebraické Reynoldsovy stresové rovnice, která definuje turbulentní viskozitu v závislosti na úrovni složitosti modelu, řešení transportních rovnic pro určení turbulentní kinetické energie a disipace. Mezi modely patří model k-ε [4] , model směšovací délky [5] a model nulové rovnice [5] . Modely dostupné v tomto přístupu jsou často spojeny s počtem přenosových rovnic spojených s touto metodou. Například model Blend Length je často označován jako "nulová rovnice", protože neuplatňuje ani neřeší transportní rovnice; model se nazývá „dvouúrovňová rovnice“, protože model řeší dvě transportní rovnice pro resp . $k-\epsilon$ $k$ $\epsilon$

Reynoldsův model zatížení

Tento přístup ve skutečnosti řeší transportní rovnice pro Reynoldsova napětí. To znamená zavedení více přenosových rovnic pro všechna Reynoldsova napětí, a proto je provoz tohoto přístupu na CPU mnohem dražší.

Velká vířivá metoda

Metoda Large Eddy Simulation (LES) je jednou z metod pro modelování turbulentního proudění.

Myšlenka metody spočívá v tom, že velká měřítka turbulence se počítají explicitně, zatímco účinky menších vírů jsou modelovány pomocí pravidel uzavření podsítě. Rovnice zachování pro modelování velkých vírů se získá filtrováním rovnic okamžitého zachování. LES pro reakční proudy určuje okamžitou polohu "velké stupnice", která umožňuje čelo plamene, ale model podsítě vyžaduje zohlednění vlivu malých měřítek turbulence na spalování. U tryskového plamene LES zachycuje nízkofrekvenční variace parametrů, na rozdíl od RANS, což má za následek konstantní průměrné hodnoty. V tomto případě je vynaloženo více výpočetního výkonu, ale stále méně než u přímé numerické simulace (DNS).

Modelování místního víru

Simulace lokálních vírů (DES) je modifikací modelu RANS, ve kterém se model přepne na škálování podsítě v místech povolených pro výpočty LES. Tam, kde se lokality nacházejí v blízkosti pevných (tvrdých) hranic a kde je turbulentní délkové měřítko menší než maximální velikost mřížky, je spuštěn režim řešení RANS. Tam, kde turbulentní délkové měřítko přesahuje velikost mřížky, je model řešen pomocí režimu LES. Rozlišení sítě tedy u modelu DES není tak náročné jako u čistého modelu LES, což výrazně snižuje výpočetní náklady. Ačkoli byla metoda DES původně formulována pro model Spalart-Allmaras , lze ji implementovat pomocí jiných modelů RANS vhodnou úpravou délkového měřítka, které je explicitně nebo implicitně zapojeno do modelu RANS. Zatímco tedy DES založený na Spalart-Allmaras funguje jako LES, DES založený na jiných modelech (např. dvou rovnicových modelech) se chová jako hybridní RANS-LES model. Obecně je generování sítě komplikovanější než u jednoduchého případu RANS nebo LES kvůli přepínání RANS-LES. DES je nezonální přístup a poskytuje jedno hladké rychlostní pole prostřednictvím modelových lokalit RANS a LES.

Přímá numerická simulace

Přímá numerická simulace (Direct Numerical Simulation, DNS) je jednou z metod numerické simulace proudění kapalin nebo plynů.

Metoda je založena na numerickém řešení Navier-Stokesovy soustavy rovnic a umožňuje modelovat v obecném případě pohyb viskózních stlačitelných plynů s přihlédnutím k chemickým reakcím , a to jak pro laminární , tak i přes četné spory i turbulentní případy.

DNS je však obtížné aplikovat na skutečné problémy a častěji se používá ve vědeckých výpočtech. Hlavním důvodem jsou vysoké nároky na výpočetní zdroje. V aplikovaných problémech se používají především metody jako LES, DES a metody založené na řešení systémů RANS.

Modelování koherentního víru

Metoda koherentní simulace vírů (Coherent Vortex Simulation, CVS) rozděluje pole turbulentního proudění na koherentní část, sestávající z organizovaného vírového pohybu, a na část nekoherentní, kterou je náhodné proudění pozadí [6] . Tato separace se provádí metodou vlnkové filtrace . Tento přístup má mnoho společného s LES v tom, že využívá rozklad a umožňuje pouze filtrovanou část, ale liší se tím, že nepoužívá lineární dolní propust. Místo toho je filtrování založeno na nárazech a filtr lze přizpůsobit, jak se pole proudění vyvíjí. Farge a Schneider testovali metodu CVS se dvěma konfiguracemi toku a ukázali, že koherentní část toku vykazuje energetické spektrum vykazované plným tokem a odpovídá koherentním strukturám (vírové toky), zatímco nekoherentní části toku tvoří homogenní pozadí. hluk, který nemá organizované struktury. Goldstein a Vasiliev [7] aplikovali FDV model na metodu velkých vírů, ale nepředpokládali, že vlnkový filtr zcela eliminuje všechny koherentní pohyby z vah podfiltru. Pomocí LES a CVS filtrace ukázali, že disipace SFS dominovala v koherentní části pole toku SFS. $-{\frac {40}{39}}$

Metody hustoty pravděpodobnosti

Metody funkce pravděpodobnosti hustoty (PDF) pro turbulentní podmínky, které poprvé představil Thomas Lundgren [8] , jsou založeny na sledování rychlosti bodu pomocí funkce hustoty pravděpodobnosti , která udává pravděpodobnost rychlosti v bodě mezi a . Tento přístup je podobný kinetické teorii plynů, ve které jsou makroskopické vlastnosti plynu popsány velkým počtem částic. Metody PDF jsou jedinečné v tom, že je lze aplikovat na řadu různých modelů turbulence; hlavní rozdíly se vyskytují ve formě transportní rovnice PDF. Například v souvislosti s metodou velkých vírů se PDF filtruje. Metody PDF lze také použít k popisu chemických reakcí [9] [10] a jsou zvláště užitečné pro modelování chemicky reagujících toků, protože zdroje chemických reakcí nevyžadují modely. PDF je obvykle sledováno pomocí metod Lagrangeových částic; v kombinaci s metodou velkých vírů to vede k Langevinově rovnici . $f_{V}({\boldsymbol {v));{\boldsymbol {x)),t)d{\boldsymbol {v}}$ ${\tučný symbol {x}}$ ${\tučný symbol {v))$ ${\boldsymbol {v}}+d{\boldsymbol {v}}$

Vortexová metoda

Vortexová metoda je nemřížková metoda pro modelování turbulentního proudění. Využívá víry jako výpočetní prvky, které napodobují fyzické struktury v turbulenci. Vortexové metody byly vyvinuty jako nesíťová metodika, která by nebyla omezena základními vyhlazovacími efekty spojenými se sítí. Pro praktickou aplikaci však vírové metody vyžadují prostředek pro rychlý výpočet rychlostí vírových prvků - jinými slovy vyžadují řešení problému gravitace N-těl , ve kterém je pohyb N objektů spojen s jejich vzájemnými vlivy. Průlom nastal koncem 80. let s vývojem Fast Multipole Method (FMM), algoritmu V. Rokhlina (Yale) a L. Gringara ( Courant Institute ). Tento průlom vydláždil cestu pro praktický výpočet rychlostí vírových prvků a je základem úspěšných výpočetních algoritmů. Jsou zvláště vhodné pro simulaci vláknitého pohybu (např. obláčky kouře) v simulacích v reálném čase, jako jsou videohry, dosažené s použitím minimálních výpočtů [11] .

Software založený na vortexové metodě nabízí nové nástroje pro řešení problémů dynamiky tekutin s minimálními zásahy uživatele. Jediné, co je potřeba, je specifikace geometrie problému a stanovení okrajových a počátečních podmínek. Mezi významné výhody této moderní technologie patří:

Prakticky žádná síť, čímž se eliminuje více iterací spojených s RANS a LES
všechny problémy jsou řešeny stejně, nejsou vyžadovány žádné simulační vstupy nebo kalibrace;
jsou možné simulace časových řad, které jsou kritické pro správnou akustickou analýzu;
jak malé, tak velké měřítka jsou přesně simulovány současně.

Metoda omezení vířivosti

Metoda Vorticity Confinement Method (VC) je Eulerova metoda používaná při modelování turbulentních vln. K vytvoření stabilního řešení bez numerické expanze se používá přístup podobný osamoceným vlnám. VC dokáže zachytit jemné měřítko s přesností 2 buněk mřížky. V rámci těchto znaků je řešena nelineární diferenční rovnice, na rozdíl od konečné diferenční rovnice . VC je podobná metodám zachycení otřesů, kde se berou v úvahu zákony zachování, takže významné integrální hodnoty jsou vypočítány s vysokou přesností.

Lineární vírový model

Toto je metoda používaná k simulaci konvekčního směšování, ke kterému dochází v turbulentním proudění [12] . Zejména poskytuje matematický způsob, jak popsat interakce skalární proměnné v poli vektorového toku. Používá se hlavně v jednorozměrných reprezentacích turbulentního proudění, protože může být aplikován v širokém rozsahu délkových měřítek a Reynoldsových čísel. Tento model se běžně používá jako jeden ze stavebních bloků pro složitější vizualizace toku, protože poskytuje předpovědi s vysokým rozlišením, které přetrvávají v širokém rozsahu podmínek toku.

Dvoufázový tok

Metoda dvoufázové simulace proudění je stále ve vývoji. Byly navrženy různé metody, včetně objemové metody kapaliny, metody detekce hladiny a sledování hran. [13] [14] Tyto metody jsou často založeny na kompromisu mezi zachováním ostrého rozhraní nebo úsporou hmoty. To je kritické, protože odhad hustoty, viskozity a povrchového napětí je založen na zprůměrovaných hodnotách rozhraní. Vícefázové Lagrangeovy modely, které se používají pro disperzní média, jsou založeny na řešení Lagrangeovy pohybové rovnice pro disperzní fázi.

Algoritmy řešení

Diskretizace v prostoru generuje systém obyčejných diferenciálních rovnic pro nestacionární problémy a algebraických rovnic pro stacionární problémy. K integraci obyčejných diferenciálních rovnic se běžně používají implicitní nebo poloimplicitní metody, čímž vzniká systém nelineárních algebraických rovnic. Aplikace Newtonovy nebo Picardovy iterace poskytuje systém lineárních rovnic, který je nesymetrický v přítomnosti advekce a neurčitý v přítomnosti nestlačitelnosti. Takové systémy, zejména ve 3D, jsou často příliš velké pro přímé řešiče, proto se používají iterační metody, buď stacionární metody, jako je relaxační metoda , nebo Krylovovy podprostorové metody . Krylovovy metody, jako je GMRES, běžně používané s předpodmíněním , pracují tak, že minimalizují zbytek v postupných podprostorech generovaných operátorem předpodmínění.

Metoda multigrid má výhodu asymptotického optimálního výkonu pro mnoho problémů. Tradiční řešiče a předkonvertory jsou účinné při snižování vysokofrekvenčních zbytkových složek, ale nízkofrekvenční složky obvykle vyžadují mnoho iterací. Metoda multigrid, která pracuje ve více měřítcích, snižuje všechny zbytkové složky podobnými faktory, což vede k počtu iterací nezávislých na mřížce.

U nejistých systémů, jako jsou předkondicionéry neúplného rozkladu LU, aditivní Schwartzova metoda a metoda více mřížek fungují špatně nebo neúplně, takže struktura problému vyžaduje účinnou předběžnou přípravu.

Software

Existuje mnoho matematických programů určených k provádění výpočtů pohybu kapalin a plynů, například:

Acu Solve ;
ADINA ;
Advanced Simulation Library [15] (zdarma ( AGPLv 3) hardwarově akcelerovaný software ; C++ API; interní engine založený na OpenCL);
ANSYS CFX ;
ANSYS Fluent ;
Autodesk Simulation CFD (dříve nazývané „CFdesign“);
Comsol Multiphysics ( anglicky ; dříve nazývané "FEMlab");
FloEFD (produkt společnosti Mentor Graphics , také známý jako SolidWorks Flow Simulation)
FlowVision [16] (ruský softwarový balíček od TESIS, distribuovaný mimo SNS společností Capvidia)
OpenFOAM (volný software);
Phoenix ;
Star-CD (vývojář je CD-adapco , vlastněný Siemens);
Star-CCM+ (vývojář je CD-adapco , vlastněný Siemens);
Hřebec 3D ;
XFlow ;
Logos (Vývoj Ústavu teoretické a matematické fyziky RFNC-VNIIEF )

Existují také specializované softwarové systémy určené k řešení určitého typu problémů. Například pro simulaci procesů probíhajících ve spalovacím motoru byl vytvořen software Fire ( AVL ), KIVA ( LANL ), Vectis ( Ricardo ).

Literatura

JD Anderson, Jr. Výpočetní dynamika tekutin. Základy s aplikacemi. McGraw-Hill věda/inženýrství/matematika; 1 vydání (1. února 1995). ISBN 0070016852
C. T. Crowe, J. D. Swarzkopf, M. Sommerfeld, Y. Tsuji . Vícefázové proudy s kapičkami a částicemi. C.R.C. Press; 1 vydání (13. listopadu 1997). ISBN 0849394694
Statistické modelování ve výpočetní aerodynamice / Yu. I. Khlopkov . - Moskva: Azbuka-2000, 2006. - 157 s. : ill., tab.; 22 cm - (Sapere aude / MIPT).; ISBN 5-7417-0131-0
Renormalizační skupinové metody pro popis turbulentních pohybů nestlačitelné tekutiny / Yu. I. Khlopkov, V. A. Zharov, S. L. Gorelov. - Moskva: MIPT (Státní univerzita), 2006. - 491 s. : nemocný.; 22 cm; ISBN 5-7417-0154-X
Metody Monte Carlo v mechanice tekutin a plynů / O. M. Belotserkovsky , Yu. I. Khlopkov. - Moskva: Azbuka-2000, 2008. - 329 s. : ill., tab.; 21 cm; ISBN 978-5-7417-0226-0

Poznámky

↑ Patankar, Suhas V. Numerický přenos tepla a proudění tekutin. — Hemisphere Publishing Corporation. - 1980. - ISBN 0891165223 .
↑ Surana, K.A.; Allu, S.; Tenpas, PW; Reddy, JN k-verze metody konečných prvků v dynamice plynů: numerická řešení globální diferencovatelnosti vyššího řádu // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2007. - únor ( roč. 6 , č. 69 ). — S. 1109–1157 . - doi : 10.1002/nme.1801 . - .
↑ Huebner, KH; Thornton, EA; a Byron, TD Metoda konečných prvků pro inženýry (třetí vydání). - Wiley Interscience.. - 1995.
↑ Launder, B.E.; D.B. Spalding. Numerický výpočet turbulentních toků // Počítačové metody v aplikované mechanice a inženýrství. - 1974. - č. 3 (2) . — S. 269–289 . - doi : 10.1016/0045-7825(74)90029-2 .
↑ 1 2 Wilcox, David C. Turbulence Modeling for CFD. - DCW Industries, Inc.. - 2006. - ISBN 978-1-928729-08-2 ..
↑ Farge, Marie; Schneider, Kai. Coherent Vortex Simulation (CVS), semi-deterministický model turbulence využívající vlnky // Flow, Turbulence and Combustion. - 2001. - T. 66 (4) . — S. 393–426 . - doi : 10.1023/A:1013512726409 .
↑ Goldstein, Daniel; Vasiljev, Oleg. Metoda stochastické koherentní adaptivní simulace velkých vírů // Physics of Fluids. - 1995. - T. 24 , č. 7 . - S. 2497 . - doi : 10.1063/1.1736671. . - .
↑ Lundgren, TS Modelová rovnice pro nehomogenní turbulenci // Fyzika tekutin. - 1969. - V. 12 (3) , č. 485-497 . - doi : 10.1063/1.1692511. .
↑ Fox, Rodney. Výpočtové modely pro turbulentně reagující toky // Cambridge University Press. - ISBN 978-0-521-65049-6 .
↑ Pope, SB Metody PDF pro turbulentní reaktivní toky // Pokrok ve vědě o energii a spalování. - 1985. - T. 11 (2) . — S. 119–192 . - doi : 10.1016/0360-1285(85)90002-4 .
↑ Gourlay, Michael J. Fluid Simulation for Video Games . - Intel Software Network.. - 2009. Archivováno 15. listopadu 2018 na Wayback Machine
↑ Krueger, Steven K. Lineární vířivé simulace míchání v homogenním turbulentním proudění // Fyzika tekutin. - 1993. - V. 5 (4): 1023 . - doi : 10.1063/1.858667 . - .
↑ Hirt, CW; Nichols, BD Metoda objemu kapaliny (VOF) pro dynamiku volných hranic // Journal of Computational Physics.. - 1981.
↑ Unverdi, SO; Tryggvason, G. Metoda předního sledování pro viskózní, nestlačitelné, vícekapalinové toky. — J. Počítač. Fyzik.. - 1992.
↑ Knihovna pokročilé simulace . Získáno 30. října 2015. Archivováno z originálu 1. března 2017. (neurčitý)
↑ Společnost TESIS. FlowVision CFD komplex . www.flowvision.ru Datum přístupu: 19. října 2016. Archivováno z originálu 23. října 2016. (neurčitý)