Butterworthův filtr

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 17. srpna 2022; kontroly vyžadují 9 úprav .

Butterworthův filtr je jedním z typů elektronických filtrů . Filtry této třídy se od ostatních liší metodou návrhu. Butterworthův filtr je navržen tak, aby jeho frekvenční odezva byla na frekvencích propustného pásma co nejhladší .

Takové filtry poprvé popsal britský inženýr Stephen Butterworth.v článku " O teorii filtračních zesilovačů " v časopise Wireless Engineer v roce 1930 .

Přehled

Frekvenční odezva Butterworthova filtru je na frekvencích propustného pásma co nejhladší a na frekvencích potlačení klesá téměř k nule. Při zobrazení frekvenční odezvy Butterworthova filtru na logaritmické fázové odezvě se amplituda snižuje směrem k mínus nekonečnu na mezních frekvencích. V případě filtru prvního řádu se frekvenční odezva snižuje se strmostí -6 decibelů na oktávu (-20 decibelů na dekádu ) (ve skutečnosti jsou všechny filtry prvního řádu, bez ohledu na typ, identické a mají stejnou frekvenční odezvu ). U Butterworthova filtru druhého řádu je frekvenční odezva utlumena o -12 dB na oktávu, u filtru třetího řádu o -18 dB a tak dále. Frekvenční odezva Butterworthova filtru je monotónně klesající funkcí frekvence.

Butterworthův filtr je jediný filtr, který zachovává tvar frekvenční odezvy pro vyšší řády (s výjimkou strmějšího rolloffu v pásmu odmítnutí), zatímco mnoho dalších druhů filtrů ( Besselův filtr , Chebyshevův filtr , eliptický filtr ) má jiný tvar . frekvenční odezvy v různých řádech.

Ve srovnání s Čebyševovými filtry typu I a II nebo eliptickým filtrem má Butterworthův filtr plošší rolloff, a proto musí být vyššího řádu (což je obtížnější implementovat), aby poskytl požadovanou odezvu na mezních frekvencích. Butterworthův filtr má však lineárnější fázovou odezvu na frekvencích propustného pásma.

Jako u všech filtrů se při zvažování frekvenčních charakteristik používá dolnopropustný filtr , ze kterého lze snadno získat horní propust , pásmovou propust nebo zářezový filtr .

Frekvenční odezvu Butterworthova filtru třetího řádu lze získat z přenosové funkce : $G(\omega )$ $n$ $H(s)$

G^{2}(\omega )=\left|H(j\omega )\right|^{2}={\frac {G_{0}^{2}}{1+\left({\frac { \omega }{\omega _{c}}}\right)^{{2n}}}}

kde

$n$ - pořadí filtrů
$\omega_{c}$ - mezní frekvence (frekvence, při které je amplituda -3 dB)
$G_{0}$ - DC zisk (zisk při nulové frekvenci)

Je snadné vidět, že pro nekonečné hodnoty se frekvenční odezva stane pravoúhlou funkcí a frekvence pod mezní frekvencí budou procházet se ziskem , zatímco frekvence nad mezní frekvencí budou zcela potlačeny. U konečných hodnot bude pokles charakteristiky mírný. $n$ $G_{0}$ $n$

Pomocí formální substituce reprezentujeme výraz ve tvaru : $s=+j\omega$ $H(s)H(-s)$ $|H(\omega )|^{2}$

H(s)H(-s)={\frac {G_{0}^{2}}{1+\left({\frac {-s^{2}}{\omega _{c}^{2 }}}\right)^{n}}}

Póly přenosové funkce jsou umístěny na kružnici o poloměru stejně vzdálené od sebe v levé polorovině. To znamená, že přenosovou funkci Butterworthova filtru lze určit pouze určením pólů jeho přenosové funkce v levé polorovině s-roviny . -tý pól je určen z následujícího výrazu: $\omega _{c}$ $k$

-{\frac {s_{k}^{2}}{\omega _{c}^{2}}}=(-1)^{\frac {2k-1}{n}}=e ^{\frac {j(2k-1)\pi }{n}}\qquad k=1,2,3,\ldots ,n

kde

s_{k}=\omega _{c}e^{\frac {j(2k+n-1)\pi }{2n))\qquad k=1,2,3,\ldots ,n

Přenosová funkce může být zapsána jako:

{\displaystyle H(s)={\frac {G_{0}}{\prod _{k=1}^{n}(s-s_{k})/\omega _{c))))

Podobné úvahy platí pro digitální Butterworthovy filtry, jen s tím rozdílem, že poměry se nepíší pro rovinu s , ale pro rovinu z .

Jmenovatel této přenosové funkce se nazývá Butterworthův polynom.

Normalizované Butterworthovy polynomy

Butterworthovy polynomy mohou být zapsány v komplexní formě, jak je ukázáno výše, ale obvykle se zapisují jako poměry s reálnými koeficienty (komplexní konjugované páry jsou kombinovány pomocí násobení). Polynomy jsou normalizovány pomocí mezní frekvence: . Normalizované Butterworthovy polynomy tak mají následující kanonickou formu: $\omega _{c}=1$

B_{n}(s)=\prod _{{k=1}}^{({\frac {n}{2}}}}\left[s^{2}-2s\cos \left({\ frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]

, - dokonce

n

B_{n}(s)=(s+1)\prod _{{k=1}}^{{{\frac {n-1}{2}}}}\left[s^{2}-2s \cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]

, - lichý

n

Níže jsou uvedeny koeficienty Butterworthových polynomů pro prvních osm řádů:

$n$	Polynomiální koeficienty $B_{n}(s)$
jeden	$(s+1)$
2	$s^{2}+1{,}41421s+1$
3	$(s+1)(s^{2}+s+1)$
čtyři	$(s^{2}+0{,}76537s+1)(s^{2}+1{,}84776s+1)$
5	$(s+1)(s^{2}+0{,}61803s+1)(s^{2}+1{,}61803s+1)$
6	$(s^{2}+0{,}51764s+1)(s^{2}+1{,}41421s+1)(s^{2}+1{,}93185s+1)$
7	$(s+1)(s^{2}+0{,}44504s+1)(s^{2}+1{,}24698s+1)(s^{2}+1{,}80194s +1)$
osm	$(s^{2}+0{,}39018s+1)(s^{2}+1{,}11114s+1)(s^{2}+1{,}66294s+1)(s ^{2}+1{,}96157s+1)$

Maximální hladkost

Vezmeme -li a , derivace amplitudové charakteristiky s ohledem na frekvenci bude vypadat takto: $\omega _{c}=1$ $G_{0}=1$

{\frac {dG}{d\omega }}=-nG^{3}\omega ^{2n-1}

U všech se monotónně snižuje, protože zisk je vždy kladný. Frekvenční odezva Butterworthova filtru tedy nemá žádné zvlnění. Při rozšíření amplitudové charakteristiky do řady dostaneme: $\omega$

G(\omega )=1-{\frac {1}{2}}\omega ^{{2n}}+{\frac {3}{8}}\omega ^{{4n}}+\ldots

Jinými slovy, všechny derivace amplitudově-frekvenční charakteristiky vzhledem k frekvenci až -th jsou rovny nule, což implikuje "maximální hladkost". $2n$

Rolloff při vysokých frekvencích

Po přijetí najdeme sklon logaritmu frekvenční odezvy při vysokých frekvencích: $\omega _{c}=1$

\lim _{{\omega \rightarrow \infty }}{\frac {d\log(G)}{d\log(\omega )))=-n

V decibelech má vysokofrekvenční asymptota sklon dB/dekádu. $-20n$

Návrh filtru

Existuje řada různých topologií filtrů, se kterými jsou implementovány lineární analogové filtry. Tato schémata se liší pouze v hodnotách prvků, struktura zůstává nezměněna.

Cauer topologie

Cauerova topologie využívá pasivní prvky ( kapacity a indukčnosti ) [1] . Butteworthův filtr s danou přenosovou funkcí může být zkonstruován ve formě typu 1 Cauer. -tý prvek filtru je dán vztahem: $k$

C_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]

; k lichý

L_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]

; k je sudé

Topologie Sallen-Ki

Topologie Sallen-Key využívá kromě pasivních prvků také aktivní prvky ( operační zesilovače ). Každý stupeň obvodu Sallen-Key je součástí filtru, který je matematicky popsán dvojicí komplexně konjugovaných pólů. Celý filtr je získán zapojením všech stupňů do série. Pokud narazí na skutečný pól, musí být implementován samostatně, obvykle ve formě RC -řetězce , a zahrnut do celkového obvodu.

Přenosová funkce každého stupně ve schématu Sallen-Key je:

H(s)={\frac {1}{1+C_{2}(R_{1}+R_{2})s+C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}s^{ 2}}}

Jmenovatel musí být jedním z faktorů Butterworthova polynomu. Vezmeme-li , dostaneme: $\omega _{c}=1$

C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}=1

C_{2}(R_{1}+R_{2})=2\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\right)

Poslední vztah dává dvě neznámé, které lze libovolně vybrat.

Porovnání s jinými lineárními filtry

Obrázek níže ukazuje frekvenční odezvu Butterworthova filtru ve srovnání s jinými oblíbenými lineárními filtry stejného (pátého) řádu:

Z obrázku je vidět, že Butterworthův filtr má ze všech čtyř nejpomalejší roll-off, ale má také nejhladší frekvenční odezvu na frekvencích propustného pásma.

Příklad

Zvažte analogový dolnopropustný Butterworthův filtr třetího řádu s farad, ohm a henry. Označením impedance kapacit jako impedance indukčností jako , kde je komplexní proměnná a pomocí rovnic pro výpočet elektrických obvodů získáme pro takový filtr následující přenosovou funkci: $C_{2}=4/3$ $R_{4}=1$ $L_{1}=1/2$ $L_{3}=3/2$ $C$ $1/(sC)$ $L$ $sL$ $s=\sigma+j\omega$

H(s)={\frac {V_{o}(s)}{V_{i}(s)}}={\frac {1}{1+2s+2s^{2}+s^{3} }}

Frekvenční odezva je dána rovnicí: $G(\omega )$

{\displaystyle G^{2}(\omega )=|H(j\omega )|^{2}={\frac {1}{1+\omega ^{6))))

a PFC je dáno rovnicí:

\Phi (\omega )=\arg[H(j\omega )]

Skupinové zpoždění je definováno jako mínus derivace fáze s ohledem na kruhovou frekvenci a je mírou fázového zkreslení signálu na různých frekvencích. Logaritmická frekvenční odezva takového filtru nemá žádné zvlnění ani v propustném pásmu, ani v pásmu potlačení. $\lg G$

Graf modulu přenosové funkce v komplexní rovině jasně ukazuje tři póly v levé polorovině. Přenosová funkce je zcela určena umístěním těchto pólů na jednotkové kružnici symetricky kolem reálné osy.

Nahradíme-li každou indukčnost kapacitou a kapacity indukčnostmi, získáme Butterworthovu horní propust .

Viz také

Poznámky

↑ http://www.falstad.com/circuit/ Archivováno 21. ledna 2013 na okruhu Wayback Machine Circuit. Pasivní filtry. Butterworth Low-Pass (10pólový)

Literatura

V.A. Lucas. Teorie automatického řízení. — M.: Nedra, 1990.
B.H. Krivitskij. Referenční kniha o teoretických základech radioelektroniky. - M .: Energie, 1977.
Miroslav D. Lutovac. Návrh filtru pro zpracování signálu pomocí MATLAB© a Mathematica©. - New Jersey, USA.: Prentice Hall, 2001. - ISBN 0-201-36130-2 .
Richard W. Daniels. Aproximační metody pro návrh elektronického filtru. - New York: McGraw-Hill, 1974. - ISBN 0-07-015308-6 .
Steven W. Smith. Příručka pro vědce a inženýra digitálním zpracováním signálu . - Druhé vydání. - San Diego: California Technical Publishing, 1999. - ISBN 0-9660176-4-1 .
Britton C. Rorabaugh. Aproximační metody pro návrh elektronického filtru. - New York: McGraw-Hill, 1999. - ISBN 0-07-054004-7 .
B. Widrow, SD Stearns. Adaptivní zpracování signálu. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. - ISBN 0-13-004029-0 .
S. Haykin. Teorie adaptivních filtrů. - 4. vydání. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. - ISBN 0-13-090126-1 .
Michael L. Honig, David G. Messerschmitt. Adaptivní filtry – struktury, algoritmy a aplikace . - Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. - ISBN 0-89838-163-0 .
J.D. Markel, A.H. Gray, Jr. Lineární predikce řeči. - New York: Springer-Verlag, 1982. - ISBN 0-387-07563-1 .
L. R. Rabiner , R. W. Schafer. Digitální zpracování řečových signálů. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. - ISBN 0-13-213603-1 .
Richard J. Higgins. Digitální zpracování signálu ve VLSI. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. - ISBN 0-13-212887-X .
A. V. Oppenheim, R. W. Schafer. Digitální zpracování signálu . - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. - ISBN 0-13-214635-5 .
L. R. Rabiner , B. Gold. Teorie a aplikace číslicového zpracování signálů. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. - ISBN 0-13-914101-4 .
John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis. Úvod do digitálního zpracování signálu. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. - ISBN 0-02-396815-X .

Odkazy

Výpočet Butterworthova filtru s příklady
Příručka pro vědce a inženýra digitálním zpracováním signálu
Nízkopropustné filtry
Použití Butterworthova filtru v syntéze řídicího systému Archivováno 22. června 2006 na Wayback Machine
Výpočet rekurzivních filtrů
Klasifikace filtrů
Obvody. pasivní filtry. Butterworth Low-Pass (10pólový)