V teorii diferenciálních rovnic s komplexním časem se bod nazývá fuchsovský singulární bod lineární diferenciální rovnice
jestliže systémová matice A(t) má v sobě pól prvního řádu . Toto je nejjednodušší možná singularita lineární diferenciální rovnice s komplexním časem.
Také se říká, že je to fuchsovský singulární bod, pokud se bod po změně ukáže jako fuchsovský , jinými slovy, pokud matice systému má tendenci k nule v nekonečnu.
Jednorozměrná diferenciální rovnice má fuchsovský singulární bod na nule a její řešení jsou (obecně vícehodnotové ) funkce . Při pohybu kolem nuly se řešení vynásobí .
Když se přiblížíme k fuchsovskému singulárnímu bodu v jakémkoli sektoru, norma řešení neroste rychleji než polynomiálně:
pro některé konstanty a . Každý fuchsovský singulární bod je tedy pravidelný .
Hilbertovým dvacátým prvním problémem bylo, že za dané body na Riemannově sféře a reprezentaci fundamentální grupy jejich doplňku sestrojte systém diferenciálních rovnic s fuchsovskými singularitami v těchto bodech, pro které se monodromie ukazuje jako daná reprezentace. Dlouho se věřilo, že tento problém pozitivně vyřešil Plemel (který publikoval řešení v roce 1908 ), ale chybu v jeho řešení objevil v 70. letech Ju. S. Iljašenko . Plemeljova konstrukce ve skutečnosti umožnila sestrojit požadovaný systém, když je alespoň jedna z matic monodromie diagonalizovatelná . [jeden]
V roce 1989 publikoval A. A. Bolibrukh [2] příklad množiny singulárních bodů a monodromických matic, které nelze realizovat žádným fuchsovským systémem, čímž se problém vyřešil negativně.