Čtvrtý stupeň (algebra)

Čtvrtá mocnina čísla ( ) je číslo rovné součinu čtyř stejných čísel [1] .

Čtvrtý stupeň čísla je často nazýván jeho biquadrate [2] , z jiné řečtiny. δίς , ( bis ), „dvakrát“, protože je součinem dvou čtverců a také čtverce čtverce:

Vlastnosti

Čtvrtá mocnina reálného čísla , stejně jako druhá mocnina čísla, má vždy nezáporné hodnoty [3] .

Operace obrácená ke zvýšení na čtvrtou mocninu je extrakce odmocniny čtvrtého stupně [4] .

Rovnici čtvrtého stupně lze na rozdíl od rovnice pátého stupně vždy vyřešit zápisem odpovědi v radikálech ( Abelův teorém [5] , Ferrariho metoda [5] ).

Dvojhranná čísla

Definice

Čtvrtá mocnina přirozených čísel se často nazývá bikvadratická nebo hyperkubická čísla (druhý termín lze také aplikovat na mocniny vyšší než čtvrtá). Dvojhranná čísla jsou třídou obrazných čísel reprezentujících čtyřrozměrné krychle ( tesseracts ). Dvojkvadrátová čísla jsou čtyřrozměrné zobecnění plochých čtvercových a prostorových kubických čísel [6] .

Začátek posloupnosti dvojkvadrátových čísel:

1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000, ... (sekvence A000583 v OEIS ).

Obecný vzorec pro n-té bi-čtvercové číslo je:

Z Newtonova binomického vzorce :

je snadné odvodit rekurzivní vzorec [6] :

Vlastnosti bikvadratických čísel

Poslední číslice dvojkvadrátového čísla může být pouze 0 (ve skutečnosti 0000), 1, 5 (ve skutečnosti 0625) nebo 6.

Jakékoli bikvadratické číslo se rovná součtu prvních „ rombo-dodekaedrických čísel “ [7] tvaru [8] .

Každé přirozené číslo může být reprezentováno jako součet ne více než 19 bi-kvadrát čísel [9] . Uvedené maximum (19) je dosaženo pro číslo 79:

Každé celé číslo větší než 13792 může být reprezentováno jako součet nejvýše 16 bi-čtvercových čísel (viz Waringův problém ).

Podle Fermatovy poslední věty nemůže být součet dvou bi-čtvercových čísel bi-čtvercovým číslem [10] . Eulerův dohad říkal, že součet tří bi-čtvercových čísel také nemůže být bi-číslo čtverce; v roce 1986 našel Noam Elkis první protipříklad, který toto tvrzení vyvrací [11] :

Poznámky

  1. ↑ Titul // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích). - M .: Sovětská encyklopedie , 1985. - T. 5. - S. 221.
  2. ↑ Chernyshev V.I. Slovník moderního ruského literárního jazyka: A-B. M .: Ústav ruského jazyka Akademie věd SSSR, 1950, s. 451.
  3. ↑ Stephen Wolfram, Wolfram Alpha LLC. Wolfram|Alpha  (anglicky) . www.wolframalpha.com . Datum přístupu: 4. dubna 2021.
  4. ↑ Kořen // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích). - M . : Sovětská encyklopedie , 1982. - T. 3.
  5. ↑ 1 2 Rybnikov K. A. Dějiny matematiky . - Nakladatelství Moskevské univerzity, 1963. - 346 s.
  6. ↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , str. 131-132.
  7. ↑ Weisstein, Eric W. Rhombic Dodecaedral Number  na webu Wolfram MathWorld .
  8. ↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. 132.
  9. ↑ Weisstein, Eric W. Waring's Problem  na webu Wolfram MathWorld .
  10. ↑ Fermatova věta // Matematická encyklopedie (v 5 dílech). - M . : Sovětská encyklopedie , 1985. - T. 5.
  11. ↑ Noam Elkies . Na A 4 + B 4 + C 4 = D 4  // Matematika počítání [  . - 1988. - Sv. 51 , č. 184 . - S. 825-835 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9 . — .

Literatura

Odkazy