Eliptický operátor

Eliptický operátor je parciální diferenciální operátor 2. řádu . Je to speciální případ hypoeliptického operátoru

Definice

Diferenciální operátor se nazývá eliptický operátor, pokud má kvadratická forma pro všechny stejné znaménko [1] . $L=\součet _{{i=1}}^{n}\součet _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}({\mathbf {x}}){\frac {\ částečné ^{2}}{\částečné x_{i}\částečné x_{j}}}+\součet _{{k=1}}^{n}b_{k}({\mathbf {x}}){ \frac {\partial }{\partial x_{k))}+c$ $\sum _{{i=1}}^{n}\součet _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}({\mathbf {x}})\xi _{i}\ xi _{j}$ $\mathbf {x}$

Aplikace eliptických operátorů

Eliptické operátory se používají ke studiu a řešení eliptických rovnic . Libovolnou eliptickou rovnici lze zapsat jako . Také vlastnosti operátorů se využívají při konstrukci numerických metod pro řešení rovnic. V některých případech jsou tyto výsledky zobecněny na parabolické a hyperbolické rovnice (když jsou tyto rovnice diskretizovány pouze v čase, jsou získány eliptické rovnice pro každou časovou vrstvu). $Lu=f$

Příklady eliptických operátorů

Laplaceův operátor , psaný jako $L=\nabla \cdot \nabla$
Zobecnění Laplaceova operátoru, operátoru formuláře , kde . Vlastní hodnoty takového operátoru lze nalézt ze Sturm-Liouvilleova problému . Na množině funkcí ( Lebesgueův prostor na ) je tento operátor samoadjungovaný a kladně definitní [2] . $L=-\nabla \cdot p({\mathbf {x)))\nabla +q({\mathbf {x)))$ $p({\mathbf {x}})>0,\ q({\mathbf {x}})\geq 0$ $H_{0}(\Omega )=\left\{u\in H(\Omega ),{\Bigl .}u{\Bigr |}_({\částečné \Omega }}=0\vpravo\}$ $H(\Omega)$ $\Omega$
Příkladem nelineárního eliptického operátoru je operátor $Lu=\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {\částečné }{\částečné x_{i}}}\left(|\nabla u|{\frac {\částečné u}{\ částečné x_{i}}}\vpravo)$

Poznámky

↑ Miranda K. Parciální diferenciální rovnice eliptického typu. - Moskva: Nakladatelství zahraniční literatury, 1957. - 256 s.
↑ Soloveichik Yu.G. , Royak M.E. , Peršová M.G. Metoda konečných prvků pro skalární a vektorové problémy. - Novosibirsk: NGTU, 2007. - 896 s. - ISBN 978-5-7782-0749-9 .

Diferenciální počet

Hlavní

soukromé pohledy

Diferenční operátory
( v různých souřadnicích )

První objednávka	Operátor Nabla Spád Divergence Rotor Helmholtzian
druhá objednávka	Eliptický operátor Laplaceův operátor Laplaceův vektorový operátor Operátor D'Alembert Operátor Laplace-Beltrami
vyšší řády	Hypoeliptický operátor

související témata