Erlangenský program

Erlangen Program je projev 23letého německého matematika Felixe Kleina na univerzitě v Erlangenu (říjen 1872 ), ve kterém navrhl obecný algebraický přístup k různým geometrickým teoriím a nastínil slibnou cestu jejich rozvoje. Zpráva souvisela s řízením o potvrzení Kleina jako profesora a vyšla ve stejném roce. První ruský překlad se objevil v roce 1895 .

V originále se Kleinova zpráva jmenovala „Comparative review of the last geometric research“ ( německy:  Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen ) [1] , do dějin vědy však vstoupila pod krátkým názvem „ Erlangen Program “. Vliv tohoto programu na další vývoj geometrie byl mimořádně velký. Descartův objev byl opakován na nové úrovni : algebraizace geometrie umožnila získat hluboké výsledky, které byly pro staré přístroje extrémně obtížné nebo zcela nedosažitelné.

Shrnutí

V polovině 19. století byla geometrie rozdělena do mnoha různých sekcí: euklidovská , sférická , hyperbolická , projektivní , afinní , konformní , Riemannovská , multidimenzionální, komplexní atd. Na přelomu století, po Kleinově zprávě, pseudoeuklidovská byla k nim přidána geometrie a topologie .

Klein přišel s myšlenkou algebraické klasifikace různých odvětví geometrie v souladu s těmi třídami transformací, které nejsou pro tuto geometrii podstatné. Přesněji řečeno, jeden úsek geometrie se od druhého liší tím, že odpovídají různým skupinám prostorových transformací a předměty studia jsou invarianty takových transformací [2] .

Například klasická euklidovská geometrie studuje vlastnosti postav a těles, které jsou zachovány při pohybech bez deformace; odpovídá skupině obsahující rotace , translace a jejich kombinace. Projektivní geometrie může studovat kuželosečky , ale nezabývá se kruhy nebo úhly, protože kruhy a úhly nejsou zachovány pod projektivními transformacemi . Topologie studuje invarianty libovolných spojitých transformací (Klein si toho všiml ještě předtím, než se topologie zrodila). Studiem algebraických vlastností transformačních grup můžeme objevit nové hloubkové vlastnosti odpovídající geometrie a také snadněji dokázat staré. Kleinův přístup sjednotil různé geometrie a jejich metody a vyjasnil jejich rozdíly. Mimo toto schéma zůstala pouze Riemannovská geometrie ; pro zařazení do obecného systému bylo nutné ve 20. letech Kleinův přístup výrazně zobecnit [3] .

Příklad jednoduchého důkazu, že se mediány libovolného trojúhelníku protínají v jednom bodě. Medián je afinní invariant; pokud se v rovnostranném trojúhelníku mediány protínají v jednom bodě, pak v kterémkoli jiném to bude pravda, protože jakýkoli trojúhelník lze transformovat na rovnostranný trojúhelník a naopak afinní transformací .

Po první algebraizaci geometrie Descartem , tedy v analytické geometrii , došlo k jedné nepříjemnosti: často bylo nutné samostatně dokázat geometrickou povahu výsledků, tedy jejich nezávislost na souřadnicovém systému. Další výhodou Kleinova přístupu bylo, že výsledné invarianty, podle samotného významu jejich definice, nezávisí na souřadnicovém systému.

Aplikace

Na základě prezentovaných myšlenek Klein ve své zprávě ukázal, že Lobačevského geometrie je prostorem neustálého negativního zakřivení, a upozornil na souvislost mezi projektivním modelem navrženým Beltramim a projektivní skupinou.

Kleinův přístup se ukázal jako aplikovatelný na nejabstraktnější geometrie – multidimenzionální, neeuklidovské , nearchimedovské atd. Na začátku 20. století Isai Schur , Emmy Noether , Eli Cartan a další matematici vyvinuli obecnou teorii grup reprezentace a invariantní teorie . Tyto studie nejen významně obohatily geometrii, ale ukázaly se být užitečné pro fyziku. Hermann Minkowski v roce 1905 zahrnul do Kleinova schématu teorii relativity , což ukazuje, že z matematického hlediska jde o teorii invariantů Poincaré skupiny , působící ve čtyřrozměrném časoprostoru . Podobný přístup byl zapotřebí v teorii elementárních částic , kvantové teorii a dalších fyzikálních teoriích [4] .

Text v ruském překladu

• Klein F. Srovnávací přehled nejnovějších geometrických výzkumů („program Erlangen“) // O základech geometrie. Sbírka klasických prací o Lobačevského geometrii a vývoji jejích myšlenek, Moskva: GITTL, 1956, s. 399-434.

Literatura

• Erlangen_program v TSB .
• Vizgin V.P. K historii „programu Erlangen“ od F. Kleina // Historický a matematický výzkum . - M . : Nauka , 1973. - č. 18 . - S. 218-248 .
  • Aktualizovaná verze: Program a fyzika Vizgin V.P. Erlangen. M.: Nauka, 1975. 111 s.
• Klein F. Elementární matematika z pohledu vyšší, přel. z němčiny., 2. vyd., díl 2, M.  - L .: Stát. tech.-teor. nakladatelství, 1934.
• Prasolov V. V. , Tikhomirov V. M. Geometrie. M.: MTSNMO , 1997, 352 s.

Odkazy

• Rozov N. Kh. Felix Klein a jeho program Erlangen.
• Program Smirnov S. G. Erlangen: dříve a nyní Archivní kopie z 28. prosince 2010 na Wayback Machine (ke 125. výročí Kleinova programu). Vědecké poznámky Ústavu informatizace školství (ÚIO RAO), č. 2, 1998.

Poznámky

1. ↑ Erlangen program v němčině .
2. ↑ Základy teorie grup do této doby již vytvořili Evariste Galois a Camille Jordan .
3. ↑ Vizgin V.P., 1973 , s. 223.
4. ↑ Vizgin V.P., 1973 , s. 218, 245-246.

Odkazy

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Britannica (online)