Problém dělové koule

Problém dělových koulí ( angl. cannonball problem ) - problém zjištění počtu dělových koulí , které lze položit do jedné vrstvy ve tvaru čtverce a ve formě pyramidy se čtvercem na základně, tzn. o hledání čtvercových čísel , což jsou také čtvercová pyramidová čísla . Nalezení tohoto čísla vede k řešení diofantické rovnice nebo . Rovnice má dvě řešení: a , tedy jedna dělová koule a a , tedy 4900 dělových koulí. $\sum _{n=1}^{N}n^{2}=M^{2}$ ${\frac {1}{6}}N(N+1)(2N+1)=M^{2}$ $N=1$ $M=1$ $N=24$ $M=70$

Historie problémů

Otázky skládání dělových koulí zajímaly již Sira Waltera Raleigha a jeho současníka Thomase Harriota [1] , ale ve výše uvedené podobě je formuloval v roce 1875 Edouard Lucas , který navrhl, že kromě [2] neexistují žádná jiná řešení . Částečné důkazy nabídli Moret-Blanc (1876) [3] a sám Lucas (1877) [4] . První úplný důkaz nabídl Watson (1918) [5] ; důkaz použil eliptické funkce [6] . Další důkaz navrhl Ljunggren (1952) [7] pomocí Pellovy rovnice [8] . Důkazy využívající pouze elementární funkce navrhli Ma (1985) [9] a Anglin (1990) [10] [6] . $N=1$ $N=24$

Důkazy

Watsonův důkaz

Watsonův důkaz [5] je založen na pozorování, že ze tří čísel , a jedno musí být dělitelné 3; a buď , nebo musí být sudé; a že všechny ostatní faktory musí být čtverce. Je tedy možných šest možností: $N$ $N+1$ $2N+1$ $N$ $N+1$

$N=3a^{2},\ N+1=2b^{2},\ 2N+1=c^{2};$
$N=2a^{2},\ N+1=3b^{2},\ 2N+1=c^{2};$
$N=2a^{2},\ N+1=b^{2},\ 2N+1=3c^{2};$
$N=a^{2},\ N+1=6b^{2},\ 2N+1=c^{2};$
$N=6a^{2},\ N+1=b^{2},\ 2N+1=c^{2};$
$N=a^{2},\ N+1=2b^{2},\ 2N+1=3c^{2}.$

Protože však může mít při dělení 3 pouze zbytky 0 nebo 2, vede první možnost k rozporu. Podobně můžete vyloučit druhou, třetí a čtvrtou možnost. $2b^{2}$

K řešení vede pátá možnost . Ve skutečnosti je to možné pouze pro odd , a , to znamená, že existují celá čísla a taková, že nebo . To však vede k rozporu . Proto, , to je, a . Jak ukazuje Gerono , a jsou jedinými řešeními poslední soustavy rovnic [11] . Případ je nemožný, protože ; případ vede k . Alternativní důkaz jedinečnosti řešení v tomto případě využívá skutečnost, že jediná řešení jsou a je uvedena v kapitole 6.8.2 Cohenovy knihy [12] . $N=24$ ${\displaystyle N=6a^{2},\ N+1=b^{2},\ 2N+1=c^{2))$ $C$ ${\displaystyle (c-1)(c+1)=12a^{2))$ $d$ $E$ ${\frac {1}{2}}(c-1)=d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=3e^{2},\ a =de$ ${\frac {1}{2}}(c-1)=3d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=e^{2},\ a =de$ ${\frac {1}{2}}(c-1)=d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=3e^{2},\ a =de$ $3e^{2}-d^{2}\equiv 1{\pmod {3}}$ ${\frac {1}{2}}(c-1)=3d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=e^{2},\ a =de$ ${\displaystyle c-1=6d^{2},\ c+1=2e^{2))$ ${\displaystyle c+1=2e^{2},\ c^{2}+1=2b^{2))$ $c=1$ $c=7$ $c=1$ $N=0$ $c=7$ $N=24$ $N=24$ $y^{2}=8x^{4}+1$ $(0,\;1),\ (0,\;-1),\ (1,\;3),\ (1,\;-3),\ (-1,\;3), \ (-1,\;-3)$

Důkaz absence netriviálních řešení v šesté variantě vyžaduje použití eliptických funkcí. Šestou variantu lze skutečně zredukovat na formu . Místo těchto rovnic Watson zvažuje obecnější případ a ukazuje, že řešení těchto rovnic musí splňovat , kde je nezáporné celé číslo , , , a , a jsou Jacobiho eliptické funkce . Dále Watson dokáže, že se číselně rovná jedné pouze tehdy , když , to je , a jediné možné řešení v tomto případě je . ${\displaystyle 2b^{2}-a^{2}=1,2b^{2}+a^{2}=3c^{2))$ $2X^{2}-Y^{2}=Z^{2},2X^{2}+Y^{2}=3W^{2}$ ${\frac {Z}{W}}=(-1)^{r}\jméno operátora {sd} ((2r+1)\beta ){\sqrt {\frac {3}{2}}}$ $r$ $\beta$ ${\displaystyle \operatorname {sn} (\beta )={\frac {1}{\sqrt {2))))$ ${\displaystyle \operatorname {cn} (\beta )={\frac {1}{\sqrt {2))))$ $\operatorname {dn} (\beta )={\frac {\sqrt {3}}{2}}$ $\operatorname {sn}$ $\operatorname {cn}$ $\operatorname {dn}$ $\operatorname {sd}$ $Z$ $r=0$ $X^{2}=Y^{2}=Z^{2}=W^{2}=1$ $N=1$

Důkaz Ma

Důkaz jedinečnosti výše uvedených řešení, navržený Ma, je založen na konzistentním důkazu následujících tvrzení [12] :

Jediným rovnoměrným řešením problému stohování jádra je . Parita skutečně umožňuje vyloučit možnosti 1, 4 a 6 z Watsonova důkazu, možnosti 2 a 3 vedou k rozporu (viz Watsonův důkaz) a je jediným možným řešením pro možnost 5. $(24,70)$ $n$ $(24,70)$
Nechte _ Pak pro nezáporné , má tvar pouze pro . $\alpha =2+{\sqrt {3)),\beta =2-{\sqrt {3)),M_{n}=(\alpha ^{n}+\beta ^{n})/ 2$ $n$ $M_{n}$ $4x^{2}+3$ $n=2$
Jediné liché číslo , které splňuje problém se stohováním jádra, je . Ve skutečnosti, argumentovat podobně jako Watsonův důkaz, lichá musí splňovat možnost 6, tedy . Vzhledem k tomu, pro jakékoli , a , to platí také pro . Dosazením a místo a dostaneme , tedy . Protože generuje skupinu jednotek , existuje takové, že , kde je definováno výše, a . Protože je pozitivní, a podle definice . Podle předchozího lemmatu , tedy a . $N$ $N=1$ $N$ ${\displaystyle N=a^{2},N+1=2b^{2},2N+1=3c^{2))$ $X$ $(4x+3)^{2}-8(x+1)(2x+1)=1$ $4x+3=2(2x+1)+1$ $N$ $2b^{2}$ $3c^{2}$ $x+1$ $2x+1$ $(2(3c^{2})+1)^{2}-8\cdot 2b^{2}\cdot 3c^{2}=1$ $(6c^{2}+1)^{2}-3(4bc)^{2}=1$ $2 + \sqrt{3}$ $\mathbb {Z} [{\sqrt {3}}]$ $n\in \mathbb {Z}$ $6c^{2}+1+4bc{\sqrt {3}}=\pm (M_{n}+G_{n}{\sqrt {3}})$ $M_{n}$ $G_{n}=(\alpha ^{n}+\beta ^{n})/(\alpha -\beta )$ $M_{n}$ $M_{n}=6c^{2}+1$ $A$ $M_{n}=4a^{2}+3$ $n=2,M_{n}=7$ $a=1$ $n=1$

Podrobnosti o důkazu jsou uvedeny v kapitole 6.8.2 Cohenovy knihy [12] .

Zobecnění problému

S výjimkou triviálního případu neexistuje žádný počet dělových koulí, které by bylo možné položit do tvaru pyramidy se čtvercem na základně a které by byly zároveň krychlí, čtvrtou nebo pátou mocninou přirozeného číslo [13] . Totéž navíc platí pro skládání jader ve formě pravidelného čtyřstěnu [13] . $N=1$

Dalším zobecněním problému je otázka zjištění počtu jader, která lze umístit ve tvaru čtverce a komolého jehlanu se čtvercem na základně. To znamená, hledat po sobě jdoucí čtverce (ne nutně začínající od 1), jejichž součet je čtverec. Je známo, že množina takových je nekonečná, má asymptotickou hustotu nula a pro , které nejsou čtverce, existuje nekonečně mnoho řešení [8] . Počet prvků sady nepřesahující se odhaduje jako . První prvky množiny a odpovídající nejmenší hodnoty , jako je čtverec, jsou uvedeny v následující tabulce [8] : $n$ $S$ $n$ $n$ $N(x)$ $S$ $X$ $c_{1}{\sqrt {x}}<N(x)<c_{2}{\frac {x}{\ln {x}}}$ $n$ $S$ $A$ ${\displaystyle \sum _{k=a}^{a+n-1}k^{2))$

n	2	jedenáct	23	24	26	33	47	49	padesáti	59
A	3	osmnáct	7	jeden	25	7	539	25	7	22

Pro a řešením je pythagorejská trojice . Pro a řešením je výše uvedené řešení problému skládání dělových koulí. Posloupnost prvků sady je sekvence A001032 v OEIS [14] . $n=2$ $a=3$ $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ $n=24$ $a=1$ $S$

Dalším zobecněním problému se zabývali Kaneko a Tachibana [15] : místo otázky rovnosti součtu prvních čtvercových čísel a dalšího čtvercového čísla se zabývali otázkou rovnosti součtu prvních mnohoúhelníkových čísel . a dalším polygonálním číslem a ukázal, že pro jakékoli existuje nekonečně mnoho posloupností prvních -gonálních čísel tak, že jejich součet se rovná jinému polygonálnímu číslu, a že pro jakékoli existuje nekonečný počet -gonálních čísel reprezentovatelných jako součet posloupností prvních polygonálních čísel. Kromě toho Kaneko a Tachibana zjistili, že pro jakékoli přirozené číslo platí následující vztahy: $m\geqslant 3$ $m$ $n\geqslant 3$ $n$ $k$

Pyr_{m}(3(m-2)k-2)=G_{9k+2}((m-2)^{2}k-m+3),

Pyr_{m}(3k-1)=G_{(m-2)k+3}(3k-1),

Pyr_{m}(6k-3)=G_{4(m-2)(2k-1)+6}(3k-1),

G_{n}((n-2)k^{2}-3k+1)=Pyr_{3k+2}((n-2)k-2),

G_{n}(8k^{2}-6k+1)=Pyr_{3(n-2)k+2}(4k-2),

kde je -té -uhelné číslo a -té -uhelné pyramidové číslo , tedy součet prvních -uhelných čísel [15] . $G_{m}(n)$ $n$ $m$ $Pyr_{m}(n)$ $n$ $m$ $n$ $m$

Vztah k jiným oblastem matematiky

Netriviální řešení vede ke konstrukci Leachovy mřížky (která je zase spojena s různými oblastmi matematiky a teoretické fyziky - bosonická teorie strun , monster ). To se provádí pomocí sudé unimodulární mřížky v 25+1-rozměrném pseudoeuklidovském prostoru . Zvažte vektor této mřížky . Protože a je řešením problému skládání dělových koulí, je tento vektor světlý , , z čehož zejména vyplývá, že patří k vlastnímu ortogonálnímu doplňku . Podle Conwaye [16] [17] vektor umožňuje sestrojit Leachovu mřížku $N=24$ $\mathrm {II} _{25,1}$ $w=(0,\;1,\;2,\;\ldots ,\;23,\;24;\;70)$ $N=24$ $M=70$ $w\cdot w=0$ ${\displaystyle w^{\bot ))$ $w$

jako soubor faktorů , který je správně definován díky podobnosti světla ; $(w^{\bot }\cap \mathrm {II} _{25,1})/w$ $w$
jako množina všech vektorů taková, že . Takové vektory tvoří množinu tzv. základních kořenů mřížky . Ve všech případech, kdy je možné tímto způsobem zkonstruovat množinu základních kořenů sudé unimodulární mřížky v pseudoeuklidovském prostoru , lze vždy použít celočíselný vektor s prostorovými složkami po sobě jdoucími od nuly; a aby tato množina vytvořila mřížku, musí být tento vektor světlý. A protože je jediným netriviálním řešením problému skládání dělových koulí, pak je 24rozměrná Leachova mřížka jedinou mřížkou, kterou lze tímto způsobem získat z . $r\in \mathrm {II} _{25,1}$ $r\cdot r=2,r\cdot w=-1$ $\mathrm {II} _{25,1}$ $\mathrm {II} _{n,1}$ $N=24$ $\mathrm {II} _{n,1}$

Viz také

Husté balení stejných koulí

Poznámky

↑ David Darling. Problém s dělovou koulí . Internetová encyklopedie vědy . Získáno 6. července 2017. Archivováno z originálu 23. prosince 2017. (neurčitý)
↑ Edouard Lucas. Otázka 1180 // Nov. Ann. Matematika. - 1875. - Vydání. 14. - S. 336.
↑ Claude Séraphin Moret-Blanc. Otázka 1180 // Nov. Ann. Matematika. - 1876. - Vydání. 15. - S. 46-48.
↑ Edouard Lucas. Otázka 1180 // Nov. Ann. Matematika. - 1877. - Vydání. 15. - S. 429-432.
↑ 1 2 G. N. Watson. Problém čtvercové pyramidy. // Messenger Math. - 1918. - Vydání. 48. - S. 1-22.
↑ 1 2 Eric W. Weisstein. Problém s dělovou koulí . MathWorld – webový zdroj Wolfram . Získáno 6. července 2017. Archivováno z originálu 18. července 2017.
↑ W. Ljunggren. Nové řešení problému navrženého E. Lucasem // Norsk Mat. Tid.. - 1952. - Vydání. 34. - S. 65-72.
↑ 1 2 3 Richard K. Guy. Nevyřešené problémy v teorii čísel / KA Bencsath, PR Halmos. — 3. — Springer. - S. 223-224. — 454 s. — (Problémové knihy z matematiky). - ISBN 978-1-4419-1928-1 .
↑ D. G. Ma. Elementární důkaz řešení diofantické rovnice . // Sichuan Daxue Xuebao. - 1985. - Vydání. 4. - S. 107-116. $6y^{2}=x(x+1)(2x+1)$
↑ W. S. Anglin. Puzzle čtvercová pyramida. //Amer. Matematika. Měsíční. - 1990. - Vydání. 97. - S. 120-124.
↑ C.-C. Gerono. Demonstration d'une formula dont on peut déduire, comme cas particulier, le binôme de Newton // Nouvelles annales de mathématiques: journal des candidats aux écoles polytechnique et normale. - 1857. - T. 16. - S. 237-240.
↑ 1 2 3 Henri Cohen. teorie čísel. - 2007: Springer. - S. 424-427. — 653 str. - ISBN 978-0-387-49922-2 .
↑ 1 2 Elena Deza, Michel Marie Deza. Obrázek Čísla. - Singapur: World Scientific, 2012. - S. 98. - 456 s. — ISBN 981-4355-48-8 .
↑ NJA Sloane . A001032 Čísla n taková, že součet druhých mocnin n po sobě jdoucích celých čísel ≥ 1 je druhá mocnina. (anglicky) . On-line encyklopedie celočíselných sekvencí . Získáno 10. července 2017. Archivováno z originálu 30. července 2017.
↑ 1 2 Masanobu Kaneko a Katsuichi Tachibana. Kdy je polygonální pyramidové číslo opět polygonální? : [ anglicky ] ] // Rocky Mountain Journal of Mathematics. - 2002. - T. 32, č. 1. - S. 149-165.
↑ JH Conway. Skupina automorfismu 26rozměrné dokonce unimodulární Lorentzovy mřížky // Journal of Algebra. - 1983. - Sv. 80. - S. 159-163. - doi : 10.1016/0021-8693(83)90025-X .
↑ JH Conway, NJA Sloane. 26. Lorentzovy formy pro mřížku pijavic. 27. Skupina automorfismu 26-dimenzionální Lorentzovy mřížky // Sphere Packings, Lattices and Groups. — 3. vyd. - Springer-Verlag New York, 1999. - ISBN 978-1-4757-6568-7 , 978-0-387-98585-5.