Rovný temperament

Rovný temperament , stejný temperament ( německy gleichschwebende Temperatur, gleichschwebende Stimmung ) je temperovaná hudební stupnice , ve které je každá oktáva rozdělena na matematicky stejné intervaly , v nejtypičtějším případě na dvanáct půltónů , z nichž každý je stejný . Taková struktura dominuje evropské profesionální hudbě (akademické i popové) od 18. století do současnosti. Důležitou výhodou stejného temperamentu je schopnost transponovat skladbu do libovolného intervalu. ${\sqrt[ {12}]{2}}$

Historický nástin

Systém rovného temperamentu vznikl v souvislosti s hledáním "ideálního" systému pro hudbu vědci různých specializací. Předchozí čisté a středotónové stupnice historicky neumožňovaly transponovat a modulovat do vzdálených tónin bez ostré akustické disonance vznikající v konsonantních harmoniích - především v triádách a jejich inverzích.

Bezprostředním předchůdcem škály rovných temperamentů v Evropě byla stupnice „dobře temperovaná“ – rodina nestejných temperamentů, která umožňovala více či méně úspěšně (s různou mírou „akustické čistoty“) hrát v kterékoli z kláves. Jedním z teoretiků a propagandistů [1] takového systému byl Andreas Werkmeister . Mnoho badatelů sdílí názor, že Well-Tempered Clavier Johanna Sebastiana Bacha , který dobře zná díla Werkmeistera, byl napsán pro nástroje s právě tak nevyrovnaným temperamentem [2] .

Nelze s jistotou specifikovat, kdo přesně „vynalezl“ rovnocenný temperament. Mezi jeho první teoretiky patří Heinrich Grammateus (1518), Vincenzo Galilei (1581) a Maren Mersenne . Simon Stevin ve svém díle „O teorii pěveckého umění“ (kolem roku 1585) podal matematicky přesný výpočet rovného temperamentu. Napsáno ve Stevinově rodném jazyce (vlámštině), jeho dílo nezískalo odezvu; posmrtná sláva přišla Stevinovi o 300 let později, v roce 1884, kdy byla vydána a poté přeložena do jiných jazyků.

Jedním z prvních autorů, kteří teoreticky zdůvodnili 12-krokový rovný temperament, byl čínský princ Zhu Zaiyu (朱載堉), v pojednání z roku 1584 [3] . Jaký historický význam však měly knížecí výpočty pro západní hudebně-teoretickou tradici, není známo.

Nový řád měl své odpůrce (např. Giuseppe Tartini ) i své propagandisty (např. Johanna Georga Neidhardta ). Rovnocenný temperamentový systém způsoboval odchylky od akustické („přirozené“) čistoty konsonancí, v důsledku čehož se v nich objevovaly drobné údery. Podle některých byla tato porušení čistoty malou ztrátou, zejména vzhledem k novým příležitostem, které takové ladění poskytlo rozvoji tonální harmonie . Jiní považovali ztrátu „přirozené“ čistoty za útok na „čistotu“ hudby.

Nejednotnost estetických kritérií (přirozená čistota versus svoboda modulace a neomezená transpozice ) se odrážela ve spisech hudebních teoretiků. Werkmeister tedy tvrdil, že v novém ladění získávají všechny akordy (především trojice) monotónní symetrii, zatímco v „dobrém“ ladění má každý akord svůj vlastní jedinečný (akustický) zvuk. Na druhé straně ve svém pozdějším pojednání Musikalische Paradoxal-Discourse (1707) v polemice s Neidhardtem hájil svou prioritu ve „vynálezu“ rovného temperamentu. Již v 18. století převládala myšlenka volného rozvinutí tonality nad myšlenkou přirozené „akustické“ čistoty. V akademické a populární hudbě se rovnému temperamentu dostalo celosvětového uznání a stal se de facto standardem hudebního systému.

Výpočet frekvencí zvuků

Pomocí vzorce můžete matematicky vypočítat frekvence pro celou stupnici:

f(i)=f_{0}\cdot 2^{{i/12}}

kde f 0 je frekvence ladičky (například La 440 Hz) a i je počet půltónů v intervalu od studovaného zvuku ke standardu f 0 .

Posloupnost frekvencí vypočítaná tímto způsobem tvoří geometrický průběh :

například můžete vypočítat zvukovou frekvenci na tón (2 půltóny ) nižší z ladičky La - notes sol :

i=-2

f(-2)=440\,{\mathrm {Hz}}\cdot 2^{{-2/12}}\cca {391,995}\,{\mathrm {Hz}}

pokud potřebujete vypočítat frekvenci tónu Sol, ale o oktávu (12 půltónů ) vyšší:

i=12-2=10

f(10)=440\,{\mathrm {Hz}}\cdot 2^{{10/12}}\cca {783,991}\,{\mathrm {Hz}}

Frekvence dvou výsledných G tónů se liší faktorem dva, což vede k čisté oktávě.

Srovnání s přirozeným laděním

Stejnou škálu temperamentu lze zobrazit jako intervalové hodnoty v centech :

Tón	C1 _	C♯ _	D	D♯	E	F	F♯ _	G	G♯ _	A	A ♯	B	C2 _
Cent	0	100	200	300	400	500	600	700	800	900	1000	1100	1200

Následující tabulka ukazuje kvantitativní rozdíly mezi stejnými intervaly temperamentu a přirozenými intervaly:

Časový úsek	Stejné temperované intervaly	přirozené intervaly	Rozdíl centů
Prima	${\sqrt[{12}]{2^{0))}=1=0\,$ centů	${\frac {1}{1}}=1=0\,$ centů	0
vedlejší sekunda	${\sqrt[{12}]{2^{1}}}={\sqrt[{12}]{2}}\cca 1{,}059463=100\,$ centů	${\frac {16}{15}}\cca 1{,}066667\cca 111{,}73\,$ centů	−11,73
Hlavní druhý	${\sqrt[{12}]{2^{2}}}={\sqrt[{6}]{2}}\cca 1{,}122462=200\,$ centů	${\frac {9}{8}}=1{,}125\cca 203{,}91\,$ centů	−3,91
Malá tercie	${\sqrt[{12}]{2^{3}}}={\sqrt[{4}]{2}}\cca 1{,}189207=300\,$ centů	${\frac {6}{5}}=1{,}2\cca 315{,}64\,$ centů	−15,64
Hlavní třetina	${\sqrt[{12}]{2^{4}}}={\sqrt[{3}]{2}}\cca 1{,}259921=400\,$ centů	${\frac {5}{4}}=1{,}25\cca 386{,}31\,$ centů	13,69
Kvart	${\sqrt[{12}]{2^{5}}}={\sqrt[{12}]{32}}\cca 1{,}334840=500\,$ centů	${\frac {4}{3}}\cca 1{,}333333\cca 498{,}04\,$ centů	1,96
Triton	${\sqrt[{12}]{2^{6}}}={\sqrt {2}}\cca 1{,}414214=600\,$ centů	${\frac {45}{32}}\cca 1{,}406250\cca 590{,}22\,$ centů	9,78
Quint	${\sqrt[{12}]{2^{7}}}={\sqrt[{12}]{128}}\cca 1{,}498307=700\,$ centů	${\frac {3}{2}}=1{,}5\cca 701{,}96\,$ centů	−1,96
Malá šestá	${\sqrt[{12}]{2^{8}}}={\sqrt[{3}]{4}}\cca 1{,}587401=800\,$ centů	${\frac {8}{5}}=1{,}6\cca 813{,}69\,$ centů	−13,69
Major šestý	${\sqrt[{12}]{2^{9}}}={\sqrt[{4}]{8}}\cca 1{,}681793=900\,$ centů	${\frac {5}{3}}\cca 1{,}666667\cca 884{,}36\,$ centů	15,64
Menší sedmý	${\sqrt[{12}]{2^{10}}}={\sqrt[{6}]{32}}\cca 1{,}781797=1000\,$ centů	${\frac {16}{9}}\cca 1{,}777778\cca 996{,}09\,$ centů	3,91
Skvělá sedmá	${\sqrt[{12}]{2^{11}}}={\sqrt[{12}]{2048}}\cca 1{,}887749=1100\,$ centů	${\frac {15}{8}}=1{,}875\cca 1088{,}27\,$ centů	11,73
Oktáva	${\sqrt[{12}]{2^{12))}=2=1200\,$ centů	${\frac {16}{8}}=2=1200\,$ centů	0

Odhadované frekvence pro klavírní klaviatury

Poznámky

Hodnoty frekvence jsou vypočteny na základě standardní frekvence ladičky la 1 = 440 Hz.
Pro fenomén nepřesné rovnosti mezi vypočtenými a skutečnými frekvencemi laděného piana (rozšíření intervalů na okrajích rozsahu) viz Railsback křivky .

Subkontroktáva

Pokrývá zvuky s frekvencemi od 16,352 Hz (včetně) do 32,703 Hz. Názvy kroků se píší velkým písmenem a vpravo dole je umístěna číslice 2 (nebo dva tahy). Ve vědecké notaci má číslo 0.

Číslo kroku	Frekvence, Hz	Slabičný zápis podle Helmholtze	Písmenné označení podle Helmholtze	Americká notace	Souřadnicový frekvenční zápis
jeden	16,352	Až do 2	C2 _	C0	-52
2	18,354	Re 2	D2 _	D0	-padesáti
3	20,602	Mi 2	E 2	E0	-48
čtyři	21,827	Fa 2	F2 _	F0	-47
5	24 500	Sůl 2	G2 _	G0	-45
6	27 500	La 2	A2 _	A0	-43
7	30,868	C 2	H2 _	B0	-41

Controctave

Pokrývá zvuky s frekvencemi od 32,703 Hz (včetně) do 65,406 Hz. Názvy kroků jsou psány velkým písmenem a číslo 1 (nebo jeden tah) je umístěno vpravo dole. Je to číslo 1 ve vědecké notaci.

Číslo kroku	frekvence Hz	Slabičný zápis podle Helmholtze	Písmenné označení podle Helmholtze	Americká notace	Souřadnicový frekvenční zápis
jeden	32,703	Až do 1	C1 _	C1	-40
2	36,708	Re 1	D1 _	D1	-38
3	41,203	Mi 1	E 1	E1	-36
čtyři	43,654	Fa 1	F1 _	F1	-35
5	48,999	Sol 1	G1 _	G1	-33
6	55 000	La 1	A 1	A1	-31
7	61,735	C 1	H1 _	B1	-29

Velká oktáva

Pokrývá zvuky s frekvencemi od 65,406 Hz (včetně) do 130,81 Hz. Názvy kroků jsou psány velkým písmenem bez dalších číslic nebo tahů. Je to číslo 2 ve vědecké notaci.

Číslo kroku	frekvence Hz	Slabičný zápis podle Helmholtze	Písmenné označení podle Helmholtze	Americká notace	Souřadnicový frekvenční zápis
jeden	65,406	Před	C	C2	-28
2	73,416	Re	D	D2	-26
3	82,406	Mi	E	E2	-24
čtyři	87,307	F	F	F2	-23
5	97,999	Sůl	G	G2	-21
6	110,00	Los Angeles	A	A2	-19
7	123,47	Xi	H	B2	-17

Malá oktáva

Pokrývá zvuky s frekvencemi od 130,81 Hz (včetně) do 261,63 Hz. Názvy kroků jsou psány malým písmenem bez dalších číslic nebo tahů. Je to číslo 3 ve vědecké notaci.

Číslo kroku	frekvence Hz	Slabičný zápis podle Helmholtze	Písmenné označení podle Helmholtze	Americká notace	Souřadnicový frekvenční zápis
jeden	130,81	před	C	C3	-16
2	146,83	re	d	D3	-čtrnáct
3	164,81	mi	E	E3	-12
čtyři	174,61	F	F	F3	-jedenáct
5	196,00	sůl	G	G3	-9
6	220,00	Los Angeles	A	A3	-7
7	246,94	si	h	B3	-5

První oktáva

Zahrnuje zvuky s frekvencemi od 261,63 Hz (včetně) do 523,25 Hz. Názvy kroků se píší malým písmenem, vpravo nahoře se píše číslo 1 (nebo jeden tah). Ve vědecké notaci je to číslo 4.

Číslo kroku	frekvence Hz	Slabičný zápis podle Helmholtze	Písmenné označení podle Helmholtze	Americká notace	Souřadnicový frekvenční zápis
jeden	261,63	až 1	c 1	C4	-čtyři
2	293,67	znovu 1	d1 _	D4	-2
3	329,63	mi 1	e 1	E4	-0
čtyři	349,23	fa 1	f1 _	F4	+0
5	392,00	sůl 1	g 1	G4	+2
6	440,00	la 1	1 _	A4	+4
7	493,88	si 1	h1 _	B4	+6

Druhá oktáva

Zahrnuje zvuky s frekvencemi od 523,25 Hz (včetně) do 1046,5 Hz. Názvy kroků se píší malým písmenem, vpravo nahoře se píše číslice 2 (nebo dva tahy). Je to číslo 5 ve vědecké notaci.

Číslo kroku	frekvence Hz	Slabičný zápis podle Helmholtze	Písmenné označení podle Helmholtze	Americká notace	Souřadnicový frekvenční zápis
jeden	523,25	až 2	c 2	C5	+7
2	587,33	znovu 2	d2 _	D5	+9
3	659,26	mi 2	e 2	E5	+11
čtyři	698,46	fa 2	f2 _	F5	+12
5	783,99	sůl 2	g2 _	G5	+14
6	880,00	la 2	a 2	A5	+16
7	987,77	si 2	h2 _	B5	+18

Třetí oktáva

Zahrnuje zvuky s frekvencemi od 1046,5 Hz (včetně) do 2093,0 Hz. Názvy kroků se píší malým písmenem, vpravo nahoře se píše číslice 3 (nebo tři tahy). Ve vědecké notaci má číslo 6.

Číslo kroku	frekvence Hz	Slabičný zápis podle Helmholtze	Písmenné označení podle Helmholtze	Americká notace	Souřadnicový frekvenční zápis
jeden	1046,5	až 3	c 3	C6	+19
2	1174,7	znovu 3	d3 _	D6	+21
3	1318,5	mi 3	e 3	E6	+23
čtyři	1396,9	fa 3	f 3	F6	+24
5	1568,0	sůl 3	g 3	G6	+26
6	1760,0	la 3	a 3	A6	+28
7	1975,5	si 3	h 3	B6	+30

Čtvrtá oktáva

Zahrnuje zvuky s frekvencemi od 2093,0 Hz (včetně) do 4186,0 Hz. Názvy kroků se píší malým písmenem, vpravo nahoře se píše číslice 4 (nebo čtyři tahy). Je to číslo 7 ve vědecké notaci.

Číslo kroku	frekvence Hz	Slabičný zápis podle Helmholtze	Písmenné označení podle Helmholtze	Americká notace	Souřadnicový frekvenční zápis
jeden	2093,0	až 4	c 4	C7	+31
2	2349,3	znovu 4	d4 _	D7	+33
3	2637,0	mi 4	e 4	E7	+35
čtyři	2793,8	fa 4	f4 _	F7	+36
5	3136,0	sůl 4	g4 _	G7	+38
6	3520,0	la 4	4 _	A7	+40
7	3951,1	si 4	h 4	B7	+42

Pátá oktáva

Zahrnuje zvuky s frekvencemi od 4186,0 Hz (včetně) do 8372,0 Hz. V Helmholtzově notaci se názvy kroků píší malým písmenem, vpravo nahoře se píše číslice 5 (nebo pět tahů). Je to číslo 8 ve vědecké notaci.

Číslo kroku	frekvence Hz	Slabičný zápis podle Helmholtze	Písmenné označení podle Helmholtze	Americká notace	Souřadnicový frekvenční zápis
jeden	4186,0	až 5	od 5	C8	+43
2	4698,6	znovu 5	d5 _	D8	+45
3	5274,0	mi 5	e 5	E8	+47
čtyři	5587,7	fa 5	f5 _	F8	+48
5	6271,9	sůl 5	g5 _	G8	+50
6	7040,0	la 5	5 _	A8	+52
7	7902.1	si 5	h 5	B8	+54

Varianty stejného temperamentu

Nejběžnějším a nejrozšířenějším rovnoprávným temperamentem (RT) je 12krokový (odpovídaly mu výše uvedené informace).

Existují však i varianty stejného temperamentu s různým počtem dílků oktávy ( n ). V tomto případě je vzorec pro frekvence upraven v

{\displaystyle f(i)=f_{0}\cdot 2^{i/n))

Pro kratší psaní výrazu " n -stage RT" se zavádí zkratka " n -tRT". , kde číslo n odpovídá počtu kroků na oktávu. Existují hudební skladby napsané v 19-tRT [4] , 24-tRT, 31-tRT [5] a dokonce 53-tRT [6] . Na začátku 21. století P. A. Černobrivets pracuje na studiu 20-krokového rovného temperamentu [7] .

Volba hodnoty n = 12 jako hlavní je dána tím, že pro akusticky čisté ozvučení vícehlasých hudebních děl je důležité zejména čisté vyznění kvint (jako nejvíce „souhláskové“ kromě oktávy intervaly ) a v ideálním případě by měl být poměr frekvencí tónů tvořících kvintu roven 3/2. U RT odpovídá „pátý“ pro každé n takovému číslu k , že , a je možné výčtem ověřit, že pro n = 12 (s k = 7 je nejbližší celé číslo k ln(3/2)/ln( 2) n ) nejlépe se dosáhne aproximace než pro menší nebo o něco větší n (přesnější by bylo pro n = 41 nebo n = 53, ale příliš velké n je z praktického hlediska nepohodlné) [8] . $2^{k/n}\cca 3/2$

Stejné temperamenty mohou také rozdělit další interval, nejen oktávu, na celý počet stejných kroků. Aby se předešlo dvojznačnosti, v anglické literatuře se hojně používá například slovní spojení „equal divisions of an octave“ nebo jeho krátká forma EDO. V ruštině má výraz „stejné dělení oktávy“ nebo RDO stejný význam. Proto může být 12-tRT také označován jako 12RDO, 19-tRT jako 19RDO atd. [9] .

Stejný temperament a další ladění

Spolu s nyní dominantním rovnoměrně temperovaným systémem existovaly další systémy. Ruský hudební učenec 19. století Vladimir Odoevsky například napsal:

Ruský prosťáček s hudebním talentem, kterému ucho ještě nezkazily pouliční hurdisky ani italská opera, zpívá velmi věrně; a svým vlastním instinktem bere interval velmi zřetelně, samozřejmě ne v našem ošklivém temperovaném měřítku <...> Nahrál jsem z hlasu [našeho slavného ruského zpěváka Ivana Evstratieviče Molčanova, muže s úžasnou hudební organizací] velmi zajímavá píseň: „U Trinity, u Sergeje, to bylo u Moskvy“ <…> si všiml, že zpěvákovo Si se nijak nehodí k mému klavíru Si ; a Molchanov si také všiml, že tady není něco v pořádku <...> To mě přivedlo na myšlenku uspořádat netemperované piano v takovém systému, jako je obyčejné. Jako základ jsem vzal přirozené gama vypočítané akustickými logaritmy pomocí Pronyho metody; v tomto enharmonickém klavicinu jsou všechny kvinty čisté, červeně označené ořezy jsou odděleny od ploch a kvůli nemožnosti v samotném mechanismu nástroje jsem obětoval fa $\byt$ a ut $\byt$ , abych zachoval si $\ostrý$ a mi $\ostrý$ , protože naši lidoví zpěváci - z nějakého důvodu nerozumím, zpívejte spíše ostrými než plochými tóny

— V. F. Odoevsky [10]

Rozsáhlé hnutí autentických hudebníků praktikuje reprodukci hudby minulosti v laděních, ve kterých byla napsána hudba, kterou hrají.

V mimoevropské tradiční hudbě je zachována praxe používání stupnic, které se liší od rovného temperamentu - ve všech žánrech a formách mocné makamo - mughamské tradice [11] , stejně jako v indické [12] atd.

Poznámky

↑ Viz Werckmeister A. Musicae mathematicae hodegus curiosus… (1687), Musikalische Temperatur, oder… (1691)
↑ Bach, J.S. JS Bach: The Well-Tempered Clavier (neopr.) / Palmer, Willard A.. - Los Angeles, CA: Alfred Music Publishing, 2004. - S. 4. - ISBN 0882848313 .
↑ Hart R. Kvantifikační rituál: Politická kosmologie, dvorní hudba a precizní matematika v Číně sedmnáctého století Archivováno 5. března 2012.
↑ Devět preludií pro dva klavíry v 19tónovém temperamentu Archivováno 26. února 2012 na Wayback Machine od Joela
↑ Koncert č. 2 pro dvoje housle a orchestr Archivováno 1. září 2012 na Wayback Machine od Henka Badings , 1969
↑ Dopis od B. Cicovackého P. Scaruffimu Archivováno 14. prosince 2011 ve Wayback Machine :
... Josip Slavensky napsal dílo pro elektronické nástroje s názvem „Hudba v přirozeném tónovém systému“ (1937). Jsou v něm dvě části, první je napsána pro harmonium Bosanquet s 53 tóny na oktávu ... "

(" ...JOSIP STOLCER SLAVENSKI <...> složil skladbu pro elektronické nástroje s názvem Music in the Natural Tonal System (1937). Obsahuje dvě věty: první věta je napsána pro Bosanquet enharmonium s 53 tóny v oktávě ")
↑ Chernobrivets P. A. Vztahy zvuk-výška a rysy tvorby systému v podmínkách dvacetitónového uniformního temperamentu. Journal of the Music Theory Society. č. 8. 2014/4. . Získáno 29. července 2022. Archivováno z originálu dne 3. března 2022. (neurčitý)
↑ Voloshinov, A. V. Matematika a umění (Kap. 9: "Algebra harmonie - Temperament") . - Moskva: Vzdělávání , 1992. - ISBN 5090027056 . (Ruština)
↑ I. Alijevová _ _ _
↑ Odoevsky V. F. [“Ruští prostí ...”]. Cit. ze sbírky V. F. Odoevského. Hudební a literární dědictví - M .: Státní hudební nakladatelství, 1956. - str. 481-482
↑ V domácí vědě na to upozorňoval od konce 20. let vynikající muzikolog a etnograf V. M. Beljajev ; viz např. jeho díla: Turkmenská hudba. Svazek 1. M., 1928 (s V. A. Uspenskym); Průvodce pro měření lidových hudebních nástrojů, M., 1931; Hudební nástroje Uzbekistánu, M., 1933; Fret systémy v hudbě národů SSSR // V. M. Belyaev. [So. články]. M.: Sov. skladatel, 1990. Mezi moderní publikace patří zpráva S. Agayeva a Sh. Hajiyeva „O problémech studia pitch systému ázerbájdžánských mughamů“. VII Stážista. sympozium vědeckého výzkumu skupina "Makam" na International. Rada pro obchod. hudba UNESCO. Baku. 2011. S. 20-32; viz také zmíněný článek Archivováno 15. ledna 2013 na Wayback Machine I. Alijeva . Stručný přehled a bibliografii zahraniční literatury na toto téma viz O. Wright et al. Arabská hudba. I. Art Music // The New Grove Dictionary of Music and Musicians . Londýn, New York, 2001; H. Farhat. Írán. II. klasická tradice. 2. Teorie intervalů a stupnic, 3. Modální systém. // tamtéž Viz také 'Issam El-Mallah. Arabská hudba a hudební notace. Hans Schneider Verlag. Tutzing. 2001; S. Marcus. Rozhraní mezi teorií a praxí: Intonace v arabské hudbě. Asian Music Vol. 24, č. 2 (1993), str. 39-58; H. Farhat. Škály a intervaly: Teorie a praxe, Irish Musical Studies, i (1990), s. 216-26.
↑ Souhrn a bibliografii zahraniční literatury na toto téma viz Powers H. a Widdess R. India, subkontinent of. III. Teorie a praxe klasické hudby. 1. Tónové systémy // The New Grove Dictionary of Music and Musicians . Londýn, New York, 2001.

Literatura

Barbour JM Ladění a temperament: Historický přehled. East Lansing, 1951; Mineola, 2004;
Lindley M. Loutny, violy a temperamenty. Cambridge, 1984;
Lindley M. Stimmung und Temperatur // Geschichte der Musiktheorie. bd. 6. Darmstadt, 1987, s. 109-331.
Lindley M., Turner-Smith R. Matematické modely hudebních stupnic: Nový přístup. Bonn, 1993;
Auhagen W. Stimmung und Temperatur // Die Musik in Geschichte und Gegenwart . Sachteil. bd. 8. Kassel; Basilej, 1998, Sp. 1831-1847.
Rasch R. Ladění a temperament // Cambridgeské dějiny západní hudební teorie. Cambridge, 2002, s. 193-222.

Odkazy

Zubov A. Yu. Temperament // Velká ruská encyklopedie. T. 32. M., 2016, s. 27

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Brockhaus a Efron Britannica (online)

hudební stupnice
Pythagorejský systém přirozené ladění Střední tón Rovný temperament