Kepleriánský problém
Pro nejbližší problém s balením koulí viz Keplerovu domněnku .V klasické mechanice je Keplerov problém speciálním případem problému dvou těles, ve kterém dvě těla interagují prostřednictvím centrální síly , jejíž velikost se mění nepřímo s druhou mocninou vzdálenosti mezi nimi. Síla může být buď přitažlivá, nebo odpudivá. Úkolem je najít závislost souřadnic nebo rychlostí těles na čase pro dané hmotnosti a počáteční hodnoty rychlostí a souřadnic. Pomocí klasické mechaniky lze řešení vyjádřit pomocí keplerovských drah pomocí šesti orbitálních prvků .
Keplerov problém je pojmenován po Johannesu Keplerovi , který navrhl Keplerovy zákony pohybu planet (které jsou součástí klasické mechaniky a řeší Keplerovu úlohu pro oběžné dráhy planet) a zkoumal typy sil, které by měly vést k existenci drah splňujících Keplerovy zákony. (takzvaný inverzní Keplerov problém).
Aplikace
Keplerova problematika se projevuje v mnoha případech a některé nesouvisejí s fyzikou a byly studovány samotným Keplerem.
Keplerův problém je důležitý pro nebeskou mechaniku, Newtonovu teorii gravitačního zákona s inverzní kvadrátem . Příklady zahrnují pohyb satelitů kolem planet, pohyb planet kolem jejich sluncí, pohyb dvojhvězd kolem sebe. Keplerova úloha je také důležitá pro případ pohybu dvou nabitých částic, mezi nimiž působí Coulombovy síly , také podle zákona o inverzní kvadrátě. Příklady zahrnují atom vodíku , pozitronium a muonium , které všechny hrají důležitou roli v modelování systémů pro testování fyzikálních teorií a měření fyzikálních konstant.
Keplerův problém a problém jednoduchého harmonického oscilátoru jsou dva z nejzákladnějších problémů klasické mechaniky. Toto jsou jediné dva případy, které mají uzavřené oběžné dráhy, to znamená, že se objekt vrací do stejného výchozího bodu stejnou rychlostí ( Bertrandův problém ). Keplerův problém se často používá k vývoji nových metod klasické mechaniky, jako je Lagrangeova mechanika , Hamiltonovská mechanika , Hamilton-Jacobiho rovnice , akční úhlové proměnné . Keplerův problém zachovává Laplaceův-Runge-Lenzův vektor , který byl zobecněn na jiné interakce. Řešení Keplerova problému umožňuje vědcům ukázat, že pohyb planet lze vyčerpávajícím způsobem popsat zákony klasické mechaniky a Newtonovou klasickou teorií gravitace ; vědecké vysvětlení pohybu planet hrálo důležitou roli v šíření osvícení.
Matematická definice
Centrální síla působící na dvě tělesa, jejíž velikost se mění podle zákona inverzní čtverce v závislosti na vzdálenosti mezi tělesy:
,
kde je konstanta a je jednotkový vektor nasměrovaný podél přímky spojující dvě tělesa. Síla může být buď přitažlivá ( ) nebo odpudivá ( ) .
Odpovídající skalární potenciál je:
.