Harmonický oscilátor

Harmonický oscilátor (v klasické mechanice ) - systém , který, když je vyjmut ze své rovnovážné polohy, působí vratnou silou F úměrnou výchylce x :

F=-kx

kde k je konstantní koeficient.

Jestliže F je jediná síla působící na systém, pak se systém nazývá jednoduchý nebo konzervativní harmonický oscilátor . Volné kmity takového systému představují periodický pohyb kolem rovnovážné polohy (harmonické kmity). Frekvence a amplituda jsou konstantní a frekvence nezávisí na amplitudě.

Pokud existuje také třecí síla ( útlum ), úměrná rychlosti pohybu ( viskózní tření ), pak se takový systém nazývá tlumený nebo disipativní oscilátor . Pokud není tření příliš velké, pak soustava vykonává téměř periodický pohyb – sinusové kmity s konstantní frekvencí a exponenciálně klesající amplitudou. Frekvence volných kmitů tlumeného oscilátoru se ukazuje být poněkud nižší než u podobného oscilátoru bez tření.

Pokud je oscilátor ponechán sám sobě, pak se říká, že provádí volné oscilace . Pokud existuje vnější síla (v závislosti na čase), pak říkají, že oscilátor zažívá nucené oscilace .

Mechanickými příklady harmonického oscilátoru jsou matematické kyvadlo (s malými úhly vychýlení), závaží na pružině , torzní kyvadlo a akustické systémy. Mezi nemechanické analogy harmonického oscilátoru lze vyčlenit elektrický harmonický oscilátor (viz obvod LC ).

Volné oscilace konzervativního harmonického oscilátoru

Rovnice a její řešení

Nechť x je posunutí hmotného bodu vzhledem k jeho rovnovážné poloze a F je vratná síla působící na bod jakékoli povahy tvaru

F=-kx

kde k = konst. Potom pomocí druhého Newtonova zákona lze zapsat zrychlení jako

a=-{\frac {k}{m}}x

Označení a nahrazení a druhou derivací souřadnice s ohledem na čas , máme ${\omega _{0}}^{2}=k/m$ ${\ddot x}$

{\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0

Tato diferenciální rovnice popisuje chování konzervativního harmonického oscilátoru. Veličina se nazývá cyklická frekvence . (To se týká kruhové frekvence měřené v radiánech za sekundu. Chcete-li ji převést na frekvenci vyjádřenou v hertzech , je třeba ji vydělit .) $\omega_0$ $2\pi$

Budeme hledat řešení této rovnice ve tvaru [1]

x(t)=A\sin \left(\omega t+\varphi \right)

Zde je amplituda, je frekvence kmitání, je počáteční fáze . $A$ $\omega$ $\varphi$

Dosadíme do diferenciální rovnice a dostaneme:

{\ddot {x}}(t)=-A\omega ^{2}\sin(\omega t+\varphi )

-A\omega ^{2}\sin(\omega t+\varphi )+\omega _{0}^{2}A\sin(\omega t+\varphi )=0

Amplituda je snížena. To znamená, že může mít libovolnou hodnotu (včetně nulové - to znamená, že hmotný bod je v klidu v rovnovážné poloze). Sinus lze také snížit, protože rovnost musí platit v každém okamžiku t . Podmínka pro kmitočet tedy zůstává:

-\omega ^{2}+\omega _{0}^{2}=0,

\omega =\pm \omega _{0}.

Záporná frekvence může být vyřazena, protože libovůle ve výběru znaménka je zde překryta libovolností ve volbě počáteční fáze.

Obecné řešení rovnice je zapsáno takto:

x(t)=A\sin \left(\omega _{0}t+\varphi \right),

kde a jsou libovolné konstanty. Tento záznam vyčerpává všechna řešení diferenciální rovnice, protože umožňuje splnit jakékoli počáteční podmínky. $A$ $\varphi$

Výsledkem je, že konzervativní harmonický oscilátor může provádět čistě harmonické oscilace s frekvencí rovnou jeho vlastní frekvenci , s amplitudou libovolné velikosti a s libovolnou počáteční fází.

Jednoduchý harmonický pohyb

Pohyb prováděný konzervativním harmonickým oscilátorem se nazývá jednoduchý harmonický pohyb . Tento pohyb není ani nucený , ani tlumený .

Je periodický: těleso kmitá s frekvencí ω 0 kolem rovnovážné polohy podle sinusového zákona. Každá následující oscilace je stejná jako ta předchozí; perioda , frekvence a amplituda oscilací zůstávají konstantní.

Vzhledem k tomu , dostáváme $\omega_0 = 2\pi f_0$

{\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m))))

a od té doby , kde je perioda oscilace, $T_{0}=1/f_{0}$ $T_{0}$

{\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k))))

Tyto vzorce ukazují, že perioda a frekvence nezávisí na amplitudě a počáteční fázi pohybu.

Frekvence pohybu je dána charakteristickými vlastnostmi systému (například hmotnost pohybujícího se tělesa), zatímco amplituda a počáteční fáze jsou určeny počátečními podmínkami - souřadnicí a rychlostí tělesa v okamžiku kmitů. začít. Na těchto vlastnostech a podmínkách závisí také kinetická a potenciální energie systému.

Pomocí metod diferenciálního počtu můžete získat rychlost a zrychlení hmotného bodu jako funkci času:

v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t))=A\omega _{0}\cos(\omega _{0}t+\varphi )

a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2))}=-A\omega _{0}^{2}\ sin(\omega _{0}t+\varphi )

Kinetická energie se zapisuje jako

K={\frac {1}{2}}mv^{2}(t)={\frac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega _{ 0}t+\varphi )

a potenciální energie je

U={\frac {1}{2}}kx^{2}(t)={\frac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega _{ 0}t+\varphi )

Pak se ukáže, že celková energie

E={\frac {1}{2}}kA^{2}

má trvalou hodnotu. To odráží „konzervativnost“ oscilátoru, tedy absenci energetických ztrát.

Jednoduchý harmonický pohyb lze považovat za matematický model různých typů pohybu, jako je kmitání pružiny . Další případy, které lze zhruba považovat za jednoduchý harmonický pohyb, jsou pohyb kyvadla a vibrace molekul .

Jednoduchý harmonický pohyb je základem některých způsobů analýzy složitějších typů pohybu. Jedna z těchto metod je založena na Fourierově transformaci , jejíž podstatou je rozložit složitější typ pohybu na řadu jednoduchých harmonických pohybů.

Příklady oscilátorů

Každý systém, ve kterém dochází k jednoduchému harmonickému pohybu, má dvě klíčové vlastnosti:

když je systém mimo rovnováhu, musí existovat vratná síla, která má tendenci vrátit systém zpět do rovnováhy;
vratná síla musí být přesně nebo přibližně úměrná posunutí.

Níže jsou uvedeny některé příklady.

Horizontální systém zátěžových pružin

Typickým příkladem systému, ve kterém dochází k jednoduchému harmonickému pohybu, je idealizovaný systém hmota-pružina, ve kterém je hmota připojena k pružině a je umístěna na vodorovné ploše. Pokud pružina není stlačena a nenatažena, pak na zatížení nepůsobí žádné proměnné síly a je ve stavu mechanické rovnováhy. Pokud je však zatížení odstraněno z rovnovážné polohy, pružina se deformuje a z její strany bude působit síla, která má tendenci vrátit zatížení do rovnovážné polohy. V případě systému zátěžových pružin je takovou silou pružná síla pružiny, která se řídí Hookovým zákonem :

F=-kx

kde k má velmi specifický význam - jedná se o koeficient tuhosti pružiny .

Jakmile je posunuté břemeno vystaveno působení vratné síly, která jej zrychluje a má tendenci vrátit jej do výchozího bodu, tedy do rovnovážné polohy. Jak se zatížení blíží do rovnovážné polohy, vratná síla klesá a má tendenci k nule. V poloze x = 0 má však břemeno určitý pohyb ( hybnost ), získaný působením vratné síly. Zátěž proto přeskočí rovnovážnou polohu a začne pružinu opět deformovat (ale v opačném směru). Vratná síla bude mít tendenci jej zpomalit, dokud nebude rychlost nulová; a síla se bude opět snažit vrátit zátěž do její rovnovážné polohy.

Pokud nedojde k žádné ztrátě energie, bude zátěž oscilovat, jak je popsáno výše; tento pohyb je periodický.

Vertikální systém zátěžových pružin

V případě břemene vertikálně zavěšeného na pružině spolu s elastickou silou působí gravitace, to znamená, že celková síla bude

F=-kx-mg

Pokud změníme proměnnou, abychom neoperovali s hodnotou , ale s hodnotou , pak bude mít pohybová rovnice tvar shodný s případem horizontální geometrie, pouze pro proměnnou . $X$ $X=x+mg/k$ $X$

Oscilace budou probíhat se stejnou frekvencí . Pokud však v horizontálním případě stav nedeformované pružiny odpovídal rovnováze, pak ve vertikální verzi bude pružina v rovnováze natažena. V tomto případě neexistuje žádná závislost frekvence na velikosti zrychlení volného pádu ; ovlivňuje pouze posun rovnovážné polohy . $\omega _{0}={\sqrt {k/m))$ $G$ $G$ $mg/k$

Měření frekvence (resp. periody) kmitů zátěže na pružině se používá v zařízeních pro určování hmotnosti tělesa - tzv. massmetrech , používaných na vesmírných stanicích, kdy váhy nemohou fungovat z důvodu stavu beztíže.

Univerzální kruhový pohyb

Jednoduchý harmonický pohyb lze v některých případech považovat za jednorozměrnou projekci univerzálního kruhového pohybu.

Jestliže se objekt pohybuje konstantní úhlovou rychlostí ω po kružnici o poloměru r se středem v počátku roviny x − y , pak je takový pohyb podél každé ze souřadnicových os jednoduchý harmonický s amplitudou r a kruhovou frekvencí ω .

Hmotnost jako jednoduché kyvadlo

Při aproximaci malých úhlů se pohyb jednoduchého kyvadla blíží jednoduché harmonické. Doba kmitání takového kyvadla, připevněného na tyči délky ℓ , je dána vzorcem

{\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g))))

kde g je zrychlení volného pádu. To ukazuje, že perioda oscilace nezávisí na amplitudě a hmotnosti kyvadla, ale závisí na g , proto se při stejné délce kyvadla bude na Měsíci houpat pomaleji, protože gravitace je tam slabší a hodnota zrychlení volného pádu je nižší.

Zadaná aproximace je správná pouze při malých úhlech vychýlení, protože výraz pro úhlové zrychlení je úměrný sinusu souřadnice:

-\ell mg\sin \theta =I{\ddot {\theta ))

kde I je moment setrvačnosti ; v tomto případě I = m ℓ 2 . Malé úhly jsou realizovány za podmínek, kdy je amplituda oscilace mnohem menší než délka tyče. Přítomnost mínusu odráží skutečnost, že síla má tendenci přibližovat těleso k rovnovážné poloze.

Když je úhel θ malý, můžeme předpokládat, že sin θ ≈ θ , a výraz bude:

-\ell mg\theta =I{\ddot {\theta ))

což činí úhlové zrychlení přímo úměrné úhlu θ , a to splňuje definici jednoduchého harmonického pohybu.

Volné vibrace tlumeného harmonického oscilátoru

Rovnice a její řešení

Při uvažování tlumeného oscilátoru se za základ bere model konzervativního oscilátoru, ke kterému se připočítává viskózní třecí síla. Síla viskózního tření je namířena proti rychlosti zatížení vůči médiu a je přímo úměrná této rychlosti. Potom se celková síla působící na zatížení zapíše takto:

F=-kx-\alpha v.

Pomocí druhého Newtonova zákona získáme diferenciální rovnici popisující tlumený oscilátor:

{\ddot {x}}+2\gamma {\tečka {x}}+\omega _{0}^{2}x=0.

Zde jsou zápisy:

$2\gamma =\alpha /m$ . Koeficient se nazývá konstanta tlumení. Má rozměr frekvence. $\gamma$
$\omega _{0}={\sqrt {k \over m))$ . Veličina se nazývá vlastní frekvence systému. Má také rozměr frekvence. $\omega_0$

Řešení spadá do tří případů.

Při nízkém tření ( ) je obecné řešení zapsáno takto: $\gamma <\omega _{0}$

x(t)=Ae^{-\gamma t}\sin(\omega _{f}t+\varphi ),

kde je frekvence volných kmitů. $\omega _{f}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2))}$

Útlum se nazývá kritický . Od této hodnoty indexu tlumení bude oscilátor vykonávat tzv. nekmitavý pohyb. V hraničním případě se pohyb děje podle zákona: $\gamma =\omega _{0}$

\ x(t)=(A+Bt)e^{-\gamma t}.

Při silném tření vypadá řešení takto: $\gamma >\omega _{0}$

x(t)=Ae^{-\beta _{1}t}+Be^{-\beta _{2}t},

kde $\beta _{1,2}=\gamma \pm {\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2))}.$

Pohyb v přítomnosti blednutí

Charakter pohybu tlumeného oscilátoru závisí na konstantě tlumení . Kromě indikované konstanty je tlumení oscilátoru často charakterizováno také bezrozměrným parametrem zvaným jakostní faktor . Faktor kvality se obvykle označuje písmenem . Podle definice je faktorem kvality: $\gamma$ $Q$

Q={\frac {\omega _{0}}{2\gamma }}.

Čím vyšší je činitel jakosti, tím pomaleji doznívají oscilace oscilátoru.

Kritické tlumení je pozoruhodné tím, že právě při takovém tlumení se oscilátor dostane nejrychleji do rovnovážné polohy. Pokud je tření menší než kritické, dostane se do rovnovážné polohy rychleji, setrvačností jí však „proklouzne“ a bude oscilovat. Pokud je tření větší než kritické, bude oscilátor exponenciálně inklinovat k rovnovážné poloze, ale čím pomaleji, tím větší je tření. $\gamma =\omega _{0}$

Proto se v ukazatelích (například v ampérmetrech) obvykle snaží zavést přesně kritický útlum, aby se šipka co nejrychleji uklidnila a odečetla její hodnoty.

Oscilátor s kritickým tlumením má faktor kvality 0,5. V souladu s tím faktor kvality udává povahu chování oscilátoru. Je-li činitel jakosti větší než 0,5, pak je volný pohyb oscilátoru oscilací; teoreticky v průběhu času překročí rovnovážnou polohu neomezeně mnohokrát. Činitel kvality menší nebo rovný 0,5 odpovídá neoscilačnímu pohybu oscilátoru; ve volném pohybu překročí rovnovážnou polohu nejvýše jednou.

Činitel jakosti se někdy nazývá zesílení oscilátoru, jelikož u některých způsobů buzení je při shodě budící frekvence s rezonanční frekvencí kmitů jejich amplituda nastavena přibližně krát větší než při buzení se stejnou intenzitou při nízké frekvenci. $Q$

Také součinitel jakosti je přibližně roven počtu oscilačních cyklů, pro které se amplituda kmitů snižuje faktorem . $E$ $\pi$

V případě oscilačního pohybu je útlum charakterizován také takovými parametry, jako jsou:

Životnost kmitů (je to také doba doznívání , je to také doba relaxace ) τ je doba, za kterou se amplituda kmitů sníží e krát.

\tau=1/\gama .

Tato doba je považována za dobu potřebnou pro utlumení (zastavení) kmitů (ačkoli formálně volné kmitání trvá neomezeně dlouho).

Logaritmický dekrement tlumení . Je definován jako logaritmus poměru dvou po sobě jdoucích maximálních odchylek v jednom směru: Převrácená hodnota d je počet oscilací, které projdou během doby doznívání τ . $d=\jméno operátora {ln}(x_{{{\text{max}}\;n}}/x_{{{\text{max}}\;n+1}}).$

Poznámka k nuceným oscilacím harmonického oscilátoru

Oscilace oscilátoru se nazývají vynucené, když na něj působí nějaký další vnější vliv. Tento vliv může být vyvolán různými prostředky a podle různých zákonů. Například silové buzení je působení na zátěž silou, která závisí pouze na čase podle určitého zákona. Kinematické buzení je působení na oscilátor pohybem bodu upevnění pružiny podle daného zákona. Možný je i vliv tření, kdy se např. médium, se kterým břemeno zažívá tření, pohybuje podle daného zákona.

Viz také

Poznámky

↑ Řešení výše uvedené diferenciální rovnice lze zapsat pomocí funkce sinus: $x(t)=A\sin(\omega t+\varphi )$ , a přes kosinus: $x(t)=A\cos(\omega t+\varphi )$ . Obě možnosti jsou správné, protože obecná rovnost cos θ = sin(π/2 - θ) je známá . Pomocí goniometrických vztahů lze psát $A\cos(\omega t+\varphi )=A\cos(\varphi )\cos(\omega t)-A\sin(\varphi )\sin(\omega t),$ a tudíž $a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)$ je také správným řešením pro vhodně zvolené konstanty a a b .

Literatura

Butikov EI Vlastní kmity lineárního oscilátoru. Tutorial