Laplace-Runge-Lentz vektor

V tomto článku jsou vektory tučně a jejich absolutní hodnoty jsou kurzívou, například

|{\mathbf {A}}|=A

V klasické mechanice je Laplace-Runge-Lenz vektor vektor používaný hlavně k popisu tvaru a orientace oběžné dráhy, na které se jedno nebeské těleso otáčí kolem druhého (například oběžná dráha, na které se planeta otáčí kolem hvězdy). V případě dvou těles, jejichž interakce je popsána Newtonovým zákonem univerzální gravitace , je Laplaceův-Runge-Lenzův vektor integrálem pohybu , to znamená, že jeho směr a velikost jsou konstantní bez ohledu na to, v jakém bodě oběžné dráhy. počítají se [1] ; říkají, že Laplaceův-Runge-Lenzův vektor je zachován při gravitační interakci dvou těles. Toto tvrzení lze zobecnit na jakýkoli problém se dvěma tělesy interagujícími prostřednictvím centrální síly , která se mění nepřímo s druhou mocninou vzdálenosti mezi nimi. Takový problém se nazývá Keplerian problém [2] .

Takový potenciál vzniká například při uvažování klasických drah (bez zohlednění kvantizace) v problému pohybu záporně nabitého elektronu pohybujícího se v elektrickém poli kladně nabitého jádra. Je-li dán Laplaceův-Runge-Lenzův vektor, pak lze tvar jejich relativního pohybu získat z jednoduchých geometrických úvah za použití zákonů zachování tohoto vektoru a energie.

Podle principu korespondence má Laplace-Runge-Lenz vektor kvantový analog, který byl použit při prvním odvození spektra atomu vodíku [3] , ještě před objevem Schrödingerovy rovnice .

Keplerova úloha má neobvyklou vlastnost: konec vektoru hybnosti se vždy pohybuje po kružnici [4] [5] [6] . Kvůli umístění těchto kruhů je pro danou celkovou energii Keplerova úloha matematicky ekvivalentní částici pohybující se volně ve čtyřrozměrné sféře [7] . Podle této matematické analogie je konzervovaný Laplace-Runge-Lenz vektor ekvivalentní dalším složkám momentu hybnosti ve čtyřrozměrném prostoru [8] . ${\mathbf {p}}$ $E$ $S_{{3}}$

Laplace-Runge-Lenz vektor je také známý jako Laplaceův vektor , Runge-Lenz vektor a Lenz vektor , ačkoli žádný z těchto vědců jej nejprve neodvozoval. Laplace-Runge-Lenz vektor byl znovu objeven několikrát [9] . Je také ekvivalentní bezrozměrnému vektoru excentricity v nebeské mechanice [10] . Stejně tak pro něj neexistuje žádné obecně přijímané označení, i když . Pro různá zobecnění Laplace-Runge-Lenz vektoru, která jsou definována níže, se používá symbol . $\mathbf {A}$ $\mathcal{A}$

Kontext

Jedna částice pohybující se pod vlivem jakékoli konzervativní centrální síly má alespoň čtyři integrály pohybu (zachované veličiny během pohybu): celkovou energii a tři složky momentu hybnosti (vektor ). Dráha částice leží v rovině, která je určena počáteční hybností částice (nebo ekvivalentně rychlostí ) a souřadnicemi, tj. vektorem poloměru mezi středem síly a částicí (viz obr. 1). Tato rovina je kolmá na konstantní vektor , který lze vyjádřit matematicky pomocí součinu tečky . $E$ $\mathbf{L}$ ${\mathbf {p}}$ $\mathbf{v}$ $\mathbf {r}$ $\mathbf{L}$ ${\mathbf {r}}\cdot {\mathbf {L}}=0$

Jak je definováno níže , Laplace-Runge-Lenzův vektor je vždy v rovině pohybu, to znamená pro jakoukoli centrální sílu. Je také konstantní pouze pro sílu, která závisí nepřímo na druhé mocnině vzdálenosti [2] . Pokud je centrální síla přibližně závislá na druhé mocnině vzdálenosti, má vektor přibližně konstantní délku, ale otáčí se pomalu. Pro většinu centrálních sil však tento vektor není konstantní, ale mění se v délce a směru. Zobecněný konzervovaný Laplace-Runge-Lenzův vektor lze definovat pro všechny centrální síly, ale tento vektor je komplexní funkcí polohy a obvykle není vyjádřen analyticky v elementárních nebo speciálních funkcích [11] [12] . $\mathbf {A}$ ${\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {L}}=0$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathcal{A}$

Historie

Laplace-Runge-Lenzův vektor je konzervovaná veličina v Keplerově problému a je užitečný při popisu astronomických drah , jako je pohyb planety kolem Slunce. Nicméně, to nebylo nikdy široce známé mezi fyziky, možná protože to je méně intuitivní vektor než hybnost a moment hybnosti . Laplace-Runge-Lenz vektor byl nezávisle objeven několikrát během posledních tří století [9] . Jakob Herman jako první ukázal, co je zachováno pro speciální případ centrální síly, která závisí nepřímo na druhé mocnině vzdálenosti [13] a našel její souvislost s excentricitou eliptické dráhy. Hermannovo dílo zobecnil do moderní podoby Johann Bernoulli v roce 1710 [14] . Pierre-Simon Laplace znovu objevil konzervaci na konci 18. století , což dokazuje analyticky, nikoli geometricky, jako jeho předchůdci [15] . $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$

V polovině 19. století odvodil William Hamilton ekvivalent vektoru excentricity definovaného níže [10] , pomocí kterého ukázal, že konec vektoru hybnosti se pohybuje po kružnici působením centrální síly, která je nepřímo úměrná čtverec vzdálenosti (obr. 3) [4] . Na začátku 20. století získal Willard Gibbs stejný vektor pomocí vektorové analýzy [16] . Gibbsovu derivaci použil Carl Runge v populární německé učebnici vektorů jako příklad [17] , na kterou se odvolával Wilhelm Lenz ve své práci o kvantově mechanickém (starém) zacházení s atomem vodíku [18] . ${\mathbf {p}}$

V roce 1926 tento vektor použil Wolfgang Pauli k odvození spektra atomu vodíku pomocí moderní maticové kvantové mechaniky spíše než Schrödingerovy rovnice [3] . Po Pauliho publikaci se vektor stal známým hlavně jako Runge-Lenzův vektor .

Matematická definice

Pro jednotlivou částici pohybující se působením centrální síly , která závisí nepřímo na druhé mocnině vzdálenosti a je popsána rovnicí , je Laplaceův-Runge-Lenzův vektor matematicky definován vzorcem [2] $\mathbf {F} (\mathbf {r} )={\frac {-k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$ $\mathbf {A}$

{\mathbf {A}}={\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}}-mk{\mathbf {{\hat {r}}}},

kde

$m$ je hmotnost bodové částice pohybující se pod vlivem centrální síly,
${\mathbf {p}}$ je vektor hybnosti ,
${\mathbf {L}}={\mathbf {r}}\times {\mathbf {p}}$ je vektor momentu hybnosti ,
$k$ je parametr popisující velikost centrální síly,
${\mathbf {{\hat {r))))$ je jednotkový vektor, tj . kde je polohový vektor částice a je její délka. ${\mathbf {{\hat {r}}}={\frac {{\mathbf {r}}}{r}}$ $\mathbf {r}$ $r$

Protože jsme předpokládali, že síla je konzervativní , pak je celková energie zachována $E$

E={\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {k}{r}}={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {k} {r}}.

Z centrálnosti síly vyplývá, že vektor momentu hybnosti je rovněž zachován a určuje rovinu, ve které se částice pohybuje. Laplace-Runge-Lenzův vektor je kolmý k vektoru momentu hybnosti a leží tedy v rovině oběžné dráhy . Rovnice je správná, protože vektory a jsou kolmé . $\mathbf{L}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf{L}$ ${\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {L}}=0$ ${\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}}$ $\mathbf {r}$ $\mathbf{L}$

Tato definice Laplace-Runge-Lenz vektoru je použitelná pro jedinou bodovou částici s hmotností pohybující se ve stacionárním (časově nezávislém) potenciálu. Stejnou definici lze také rozšířit na problém dvou těles, jako je Keplerův problém, nahrazením snížené hmotnosti dvou těles a vektoru mezi těmito dvěma tělesy. $\mathbf {A}$ $m$ $m$ $\mathbf {r}$

Lokus kruhového impulsu

Zachování Laplaceova-Runge-Lenzova vektoru a vektoru momentu hybnosti se používá k prokázání toho, že se vektor hybnosti pohybuje po kružnici působením centrální síly, která je nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti. Výpočtem vektorového součinu a , dojdeme k rovnici pro $\mathbf {A}$ $\mathbf{L}$ ${\mathbf {p}}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf{L}$ ${\mathbf {p}}$

L^{2}{\mathbf {p}}={\mathbf {L}}\times {\mathbf {A}}-mk{\hat ({\mathbf {r}}}}\times {\mathbf { L}}.

Nasměrováním vektoru podél osy a hlavní poloosy podél osy se dostaneme k rovnici $\mathbf{L}$ $z$ $X$

p_{x}^{2}+(p_{y}-A/L)^{2}=(mk/L)^{2}.

Jinými slovy, vektor hybnosti je ohraničen kružnicí o poloměru , jejíž střed se nachází v bodě se souřadnicemi . Excentricita odpovídá kosinusu úhlu znázorněného na Obr. 2. Pro stručnost můžete zadat proměnnou . Kruhový hodograf je užitečný pro popis symetrie Keplerova problému. ${\mathbf {p}}$ $mk/L$ $(0,\;A/L)$ $E$ $\eta$ $p_{0}={\sqrt {2m|E|}}$

Integrály pohybu a superintegrability

Sedm skalárních veličin: energie a složky Laplace-Runge-Lenzových vektorů a moment hybnosti jsou spojeny dvěma vztahy. Pro vektory je splněna podmínka ortogonality a energie je zahrnuta ve výrazu pro druhou mocninu délky Laplaceova-Runge-Lenzova vektoru získaného výše . Pak existuje pět nezávislých konzervovaných veličin neboli integrálů pohybu . To je v souladu se šesti počátečními podmínkami (počáteční poloha částice a její rychlost jsou třísložkové vektory), které určují dráhu částice, protože počáteční čas není definován integrály pohybu. Protože velikost (a excentricita oběžné dráhy) může být určena z celkového momentu hybnosti a energie , tvrdí se, že nezávisle je zachován pouze směr. Kromě toho musí být vektor kolmý - to vede k jedné další konzervované veličině. $E$ $\mathbf {A}$ $\mathbf{L}$ ${\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {L}}=0$ $A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}$ $\mathbf {A}$ $E$ $L$ $E$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf{L}$

Mechanický systém se stupni volnosti může mít maximum integrálů pohybu, protože existují počáteční podmínky a počáteční čas nelze určit z integrálů pohybu. Systém s více než integrály pohybu se nazývá superintegrabilní a systém s integrály se nazývá maximálně superintegrovatelný [19] . Protože řešení Hamiltonovy-Jacobiho rovnice v jednom souřadnicovém systému může vést pouze k integrálům pohybu, musí být proměnné odděleny pro superintegrovatelné systémy ve více než jednom souřadnicovém systému [20] . Keplerova úloha je maximálně superintegrovatelná, protože má tři stupně volnosti ( ) a pět nezávislých integrálů pohybu; proměnné v Hamiltonově-Jacobiho rovnici jsou odděleny ve sférických souřadnicích a parabolických souřadnicích [21] , jak je popsáno níže . Maximálně superintegrovatelné systémy lze kvantovat pouze pomocí komutačních vztahů , jak je ukázáno níže [22] . $d$ $2d-1$ $2d$ $d$ $2d-1$ $d$ $d=3$

Hamilton-Jacobiho rovnice v parabolických souřadnicích

Stálost Laplace-Runge-Lenzova vektoru lze odvodit pomocí Hamilton-Jacobiho rovnice v parabolických souřadnicích , které jsou definovány následovně $(\xi,\;\eta)$

\xi=r+x,

\eta=rx,

kde je poloměr v rovině oběžné dráhy $r$

r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.

Inverzní transformaci těchto souřadnic lze zapsat jako

x={\frac {1}{2}}(\xi -\eta),

y={\sqrt {\xi \eta )).

Separace proměnných v Hamiltonově-Jacobiho rovnici v těchto souřadnicích dává dvě ekvivalentní rovnice [21] [23]

2\xi p_{\xi }^{2}-mk-mE\xi =-\beta ,

2\eta p_{\eta }^{2}-mk-mE\eta =\beta ,

kde je integrál pohybu . Odečtením těchto rovnic a vyjádřením pomocí kartézských souřadnic hybnosti a , lze ukázat, že je ekvivalentní Laplace-Runge-Lenzově vektoru. $\beta$ $p_{x}$ $p_{y}$ $\beta$

\beta =p_{y}(xp_{y}-yp_{x})-mk{\frac {x}{r}}=A_{x}.

Tento Hamiltonův-Jacobiho přístup lze použít k odvození konzervovaného zobecněného Laplace-Runge-Lenzova vektoru v přítomnosti elektrického pole [21] [24] $\mathcal{A}$ $\mathbf {E}$

{\mathcal {A}}={\mathbf {A}}+{\frac {mq}{2}}\left[({\mathbf {r}}\times {\mathbf {E}})\times { \mathbf{r}}\right],

kde je náboj cirkulující částice. $q$

Alternativní znění

Na rozdíl od hybnosti a momentu hybnosti nemá Laplaceův-Runge-Lenzův vektor obecně přijímanou definici. Ve vědecké literatuře se používá několik různých multiplikátorů a symbolů. Nejobecnější definice je uvedena výše , ale další definice vzniká po dělení konstantou za účelem získání bezrozměrného konzervovaného vektoru excentricity ${\mathbf {p}}$ $\mathbf{L}$ $mk$

{\mathbf {e}}={\frac {1}{mk}}({\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}})-{\mathbf {{\hat {r}}}} ={\frac {m}{k}}({\mathbf {v}}\times {\mathbf {r}}\times {\mathbf {v}})-{\mathbf {{\hat {r}} }},

kde je vektor rychlosti. Směr tohoto zmenšeného vektoru je stejný jako a jeho amplituda se rovná excentricitě oběžné dráhy. Dostaneme různé definice, pokud vydělíme , $\mathbf{v}$ $\mathbf {e}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $m$

{\mathbf {M}}={\mathbf {v}}\krát {\mathbf {L}}-k{\mathbf {{\hat {r}}}}

nebo při $p_{0}$

{\mathbf {D}}={\frac {{\mathbf {A}}}{p_{0}}}={\frac {1}{{\sqrt {2m|E|}}}}\{{ \mathbf {p}}\times {\mathbf {L}}-mk{\mathbf {{\hat {r}}}}\},

který má stejný rozměr jako moment hybnosti (vektor ). Ve vzácných případech může být znaménko Laplace-Runge-Lenz vektoru obráceno. Mezi další běžné symboly pro Laplace-Runge-Lenz vektor patří , , a . Volba multiplikátoru a symbolu pro Laplaceův-Runge-Lenzův vektor však samozřejmě neovlivňuje jeho zachování. $\mathbf{L}$ ${\mathbf {a}}$ $\mathbf {R}$ $\mathbf {F}$ ${\mathbf {J}}$ ${\mathbf {V}}$

Alternativní konzervovaný vektor: binormální - vektor studoval William Hamilton [10] $\mathbf {B}$

{\mathbf {B}}={\mathbf {p}}-\left({\frac {mk}{L^{2}r}}\right)({\mathbf {L}}\times {\mathbf {r}}),

která je zachována a směřuje podél vedlejší osy elipsy. Laplaceův-Runge-Lenzův vektor je vektorovým součinem a (obr. 3). Vektor je označen jako binormální , protože je kolmý k oběma , a . Stejně jako Laplace-Runge-Lenz vektor může být binormální vektor definován různými faktory. ${\mathbf {A}}={\mathbf {B}}\times {\mathbf {L}}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf{L}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf{L}$

Dva konzervované vektory a lze je kombinovat do konzervovaného dvouprvkového tenzoru $\mathbf {A}$ $\mathbf {B}$ ${\mathbf {W}}$

{\mathbf {W}}=\alpha {\mathbf {A}}\otimes {\mathbf {A}}+\beta {\mathbf {B}}\otimes {\mathbf {B}},

kde označuje součin tenzoru a a jsou libovolné faktory [11] . Tato rovnice, zapsaná ve složkovém zápisu, zní následovně $\otimes$ $\alpha$ $\beta$

W_{{ij}}=\alpha A_{i}A_{j}+\beta B_{i}B_{j}.

Vektory a jsou navzájem ortogonální a mohou být reprezentovány jako hlavní osy konzervovaného tenzoru , tedy jako jeho vlastní vektory . kolmý $\mathbf {A}$ $\mathbf {B}$ ${\mathbf {W}}$ ${\mathbf {W}}$ $\mathbf{L}$

{\mathbf {L}}\cdot {\mathbf {W}}=\alpha ({\mathbf {L}}\cdot {\mathbf {A}}){\mathbf {A}}+\beta ({\ mathbf {L}}\cdot {\mathbf {B}}){\mathbf {B}}=0,

protože a jsou kolmé, pak . $\mathbf {A}$ $\mathbf {B}$ ${\mathbf {L}}\cdot {\mathbf {A}}={\mathbf {L}}\cdot {\mathbf {B}}=0$

Odvození Keplerovy dráhy

Tvar a orientaci orbity v Keplerově problému lze při znalosti Laplaceova-Runge-Lenzova vektoru určit následovně. Uvažujme skalární součin vektorů a (pozice planety): $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {r}$

{\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {r}}=Ar\cos \theta ={\mathbf {r}}\cdot ({\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}}) -mkr,

kde je úhel mezi a (obr. 4). Změňme pořadí faktorů ve smíšeném součinu a pomocí jednoduchých transformací získáme definici pro kuželosečku : $\theta$ $\mathbf {r}$ $\mathbf {A}$ ${\mathbf {r}}\cdot ({\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}})={\mathbf {L}}\cdot ({\mathbf {r}}\times {\mathbf {p)))={\mathbf {L}}\cdot {\mathbf {L}}=L^{2}$

{\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right)

s excentricitou danou vzorcem: $E$

e={\frac {A}{mk}}={\frac {|{\mathbf {A}}|}{mk}}.

Dospějeme k výrazu pro druhou mocninu modulu vektoru ve tvaru $\mathbf {A}$

A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2},

který lze přepsat pomocí orbitální excentricity

e^{2}-1={\frac {2L^{2}}{mk^{2}}}E.

Pokud je tedy energie záporná, což odpovídá spřaženým drahám, je excentricita menší než jedna a oběžná dráha má eliptický tvar . Naopak, je-li energie kladná (nespojené dráhy, také nazývané rozptylové dráhy ), je excentricita větší než jedna a dráha je hyperbola . Konečně, pokud je energie přesně nulová, excentricita je jedna a oběžná dráha je parabola . Ve všech případech je vektor nasměrován podél osy symetrie kuželosečky a směřuje do bodu nejbližší polohy bodové částice od počátku ( periapsis ). $\mathbf {A}$

Zachování pod silou nepřímo úměrnou druhé mocnině vzdálenosti

Předpokládá se, že síla působící na částici je centrální . Proto $\mathbf {F}$

{\mathbf {F}}={\frac {d{\mathbf {p}}}{dt}}=f(r){\frac {{\mathbf {r}}}{r}}=f(r ){\mathbf {{\hat {r))))

pro nějakou funkci rádiusu . Protože moment hybnosti je zachován působením centrálních sil $f(r)$ $r$ ${\mathbf {L}}={\mathbf {r}}\times {\mathbf {p}}$ ${\frac {d}{dt}}{\mathbf {L}}=0$

{\frac {d}{dt}}({\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}})={\frac {d{\mathbf {p}}}{dt}}\times {\ mathbf {L}}=f(r){\mathbf {{\hat {r}}}}\times \left({\mathbf {r}}\times m{\frac {d{\mathbf {r}} }{dt}}\right)=f(r){\frac {m}{r}}\left[{\mathbf {r}}\left({\mathbf {r}}\cdot {\frac {d {\mathbf {r}}}{dt}}\right)-r^{2}{\frac {d{\mathbf {r}}}{dt}}\right],

kde hybnost je zapsána jako a dvojitý vektorový součin je zjednodušen pomocí Lagrangeova vzorce ${\mathbf {p}}=m{\frac {d{\mathbf {r}}}{dt}}$

{\mathbf {r}}\times \left({\mathbf {r}}\times {\frac {d{\mathbf {r}}}{dt}}\right)={\mathbf {r}}\ vlevo({\mathbf {r}}\cdot {\frac {d{\mathbf {r}}}{dt}}\right)-r^{2}{\frac {d{\mathbf {r}}} {dt}}.

Identita

{\frac {d}{dt))({\mathbf {r}}\cdot {\mathbf {r}})=2{\mathbf {r}}\cdot {\frac {d{\mathbf {r} }}{dt}}={\frac {d}{dt}}(r^{2})=2r{\frac {dr}{dt}}

vede k rovnici

{\frac {d}{dt}}({\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}})=-mf(r)r^{2}\left[{\frac {1}{r )){\frac {d{\mathbf {r}}}{dt}}-{\frac {{\mathbf {r}}}{r^{2}}}{\frac {dr}{dt}} \right]=-mf(r)r^{2}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {{\mathbf {r}}}{r}}\right).

Pro speciální případ centrální síly, která je nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti , je poslední výraz $f(r)={\frac {-k}{r^{2}}}$

{\frac {d}{dt}}({\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}})=mk{\frac {d}{dt}}\left({\frac {{\mathbf {r}}}{r}}\right)={\frac {d}{dt}}(mk{\mathbf {{\hat {r}}}}).

Pak v tomto případě uložen $\mathbf {A}$

{\frac {d}{dt}}{\mathbf {A}}={\frac {d}{dt}}({\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}})-{\frac {d}{dt}}(mk{\mathbf {{\hat {r}}}})=0.

Jak je ukázáno níže , Laplaceův-Runge-Lenzův vektor je speciálním případem zobecněného konzervovaného vektoru , který lze definovat pro jakoukoli centrální sílu [11] [12] . Nicméně, většina centrálních sil netvoří uzavřené orbity (viz Bertrandův teorém ), podobný vektor zřídka má jednoduchou definici a je obecně multi-cenil funkci úhlu mezi a . $\mathbf {A}$ $\mathcal{A}$ $\mathcal{A}$ $\theta$ $\mathbf {r}$ $\mathcal{A}$

Změna při působení rušivých centrálních sil

V mnoha praktických problémech, jako je pohyb planet, je interakce mezi dvěma tělesy pouze přibližně nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti. V takových případech není Laplaceův-Runge-Lenzův vektor konstantní. Pokud však rušivý potenciál závisí pouze na vzdálenosti, pak se celková energie a vektor momentu hybnosti zachovají. Dráha pohybu je tedy stále v kolmici k rovině a hodnota je zachována podle rovnice . Proto směr pomalu obíhá v rovině. Pomocí teorie kanonické poruchy a souřadnic akčního úhlu lze přímo ukázat [2] , že se otáčí rychlostí $\mathbf {A}$ $h(r)$ $E$ $\mathbf{L}$ $\mathbf{L}$ $A$ $A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$

{\frac {\partial }{\partial L}}\langle h(r)\rangle ={\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {1}{T}}\ int \limits _{0}^{T}h(r)\,dt\right\}={\frac {\partial }{\partial L))\left\{{\frac {m}{L^{ 2}}}\int \limits _{0}^{{2\pi }}r^{2}h(r)\,d\theta \right\},

kde je perioda orbitálního pohybu a rovnice byla použita k převodu integrálu v čase na integrál nad úhlem (obr. 5). Například, vezmeme-li v úvahu účinky obecné teorie relativity , dojdeme k sčítání, které na rozdíl od obvyklé newtonovské gravitační síly závisí nepřímo na třetí mocnině vzdálenosti [25] : $T$ $L\,dt=mr^{2}\,d\theta$

h(r)={\frac {kL^{2}}{m^{2}c^{2}}}\left({\frac {1}{r^{3}}}\right).

Dosazení této funkce do integrálu a použití rovnice

{\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right),

vyjádřit v termínech , míra precese periapsi , způsobená touto poruchou, se zapisuje jako [25] $r$ $\theta$

{\frac {6\pi k^{2}}{TL^{2}c^{2}}}.

která se svou hodnotou blíží velikosti precese pro Merkur nevysvětlenou Newtonovou teorií gravitace [26] . Tento výraz se používá k odhadu precese spojené s opravami obecné teorie relativity pro binární pulsary [27] . Tato shoda s experimentem je silným argumentem ve prospěch obecné teorie relativity [28] .

Teorie grup

Noetherova věta

Noetherův teorém říká, že nekonečně malá variace zobecněných souřadnic fyzického systému

\delta q_{i}=\varepsilon g_{i}({\mathbf {q)),\;{\mathbf {{\dot {q)))),\;t)

způsobí změnu Lagrangeovy funkce v prvním řádu o hodnotu celkové časové derivace

\delta L=\varepsilon {\frac {d}{dt}}G(\mathbf {q} ,\;t)\,,

což odpovídá zachování množství

J=-G+\sum _{i}g_{i}\left({\frac {\partial L}{\partial {\tečka {q}}_{i}}}\right)\,.

Tato složka Laplaceova-Runge-Lenzova vektoru odpovídá variaci souřadnic [29] $Tak jako$

\delta _{s}x_{i}={\frac {\varepsilon }{2}}\left[2p_{i}x_{s}-x_{i}p_{s}-\delta _{ je}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} \right)\right],

kde je 1, 2 a 3 a a jsou té složky vektorů polohy a rychlosti . Lagrangeova funkce daného systému $i$ $x_{i}$ ${\tečka {x}}_{i}$ $i$ $\mathbf {r}$ $\mathbf {\tečka {r}}$

L={\frac {m{\dot {r}}^{2}}{2}}+{\frac {k}{r}}.

Výsledná změna prvního řádu malosti pro Lagrangeovu funkci je zapsána jako

\delta L={\frac {1}{2}}\varepsilon mk{\frac {d}{dt}}\left({\frac {x_{s}}{r}}\right).

To způsobí uložení součásti $Tak jako$

A_{s}=\left[p^{2}x_{s}-p_{s}\ \left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} \right)\right]-mk\ left({\frac {x_{s}}{r}}\right)=\left[\mathbf {p} \times \left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)\right] _{s}-mk\left({\frac {x_{s}}{r}}\right).

Leeho transformace

Existuje další metoda pro odvození zachování Laplaceova-Runge-Lenzova vektoru pomocí variace souřadnic bez zahrnutí rychlostí [30] . Měřítko souřadnic a času s různými stupni parametru (obr. 6) $\mathbf {r}$ $t$ $\lambda$

t\to \lambda ^{3}t,\;\mathbf {r} \to \lambda ^{2}\mathbf {r} ,\;\mathbf {p} \to {\frac {1} {\lambda }}\mathbf {p}

mění celkový moment hybnosti a energii : $L$ $E$

L\to \lambda L,\;E\to {\frac {1}{\lambda ^{2))}E

— ale zachová si produkt . Z toho vyplývá, že excentricita a velikost jsou ve výše uvedené rovnici zachovány $EL^{2}$ $E$ $A$

A^{2}=m^{2}k^{2}e^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}.

Směr je také zachován, protože poloosy se při změně měřítka nemění. Tato transformace ponechává pravdivý třetí Keplerov zákon , totiž že poloosa a perioda tvoří konstantu . $\mathbf {A}$ $A$ $T$ $T^{2}/a^{3}$

Poissonovy závorky

Pro tři složky vektoru momentu hybnosti lze definovat Poissonovy závorky $L_i$ $\mathbf{L}$

[L_{i},\;L_{j}]=-\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}L_{s},

kde index prochází hodnotami 1, 2, 3 a je absolutně antisymetrickým tenzorem , tedy symbolem Levi-Civita (třetí sumační index , nezaměňovat s parametrem síly definovaným výše ). Hranaté závorky (spíše než složené) se jako v literatuře používají jako Poissonovy závorky a mimo jiné je v další části interpretujeme jako kvantově mechanické komutační vztahy . $i$ $\varepsilon_{{ijs}}$ $s$ $k$

Jak je ukázáno výše , modifikovaný Laplace-Runge-Lenzův vektor lze určit se stejným rozměrem jako moment hybnosti vydělením . Poissonova závorka s vektorem momentu hybnosti bude zapsána v podobném tvaru $\mathbf {D}$ $\mathbf {A}$ $p_{0}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf{L}$

[D_{i},\;L_{{j}}]=\sum _{{s=1}}^{3}\varepsilon _{{ijs}}D_{s}.

Poissonova závorka c závisí na znaménku , tj. když je celková energie záporná (eliptické dráhy působením centrální síly, která závisí nepřímo na čtverci vzdálenosti) nebo kladná (hyperbolické dráhy). Pro negativní energie mají tvar Poissonovy závorky $\mathbf {D}$ $\mathbf {D}$ $E$ $E$

[D_{i},\;D_{j}]=-\součet _{{s=1}}^{3}\varepsilon _{{ijs}}L_{s}.

Zatímco pro pozitivní energie mají Poissonovy závorky opačné znaménko

[D_{i},\;D_{j}]=\sum _{{s=1}}^{3}\varepsilon _{{ijs}}L_{s}.

Casimirovy invarianty pro negativní energie jsou definovány následujícími vztahy

C_{1}={\mathbf {D}}\cdot {\mathbf {D}}+{\mathbf {L}}\cdot {\mathbf {L}}={\frac {mk^{2}}{ 2|E|}},

C_{2}={\mathbf {D}}\cdot {\mathbf {L}}=0

a máme nulové Poissonovy držáky pro všechny komponenty a $\mathbf {D}$ $\mathbf{L}$

[C_{1},\;L_{i}]=[C_{1},\;D_{i}]=[C_{2},\;L_{i}]=[C_{2},\; D_{i}]=0.

$C_{2}$ je nula, kvůli ortogonalitě vektorů. Druhý invariant je však netriviální a závisí pouze na , a . Tento invariant může být použit k odvození spektra atomu vodíku , pomocí pouze kvantově mechanického kanonického komutačního vztahu, namísto složitější Schrödingerovy rovnice . $C_{1}$ $m$ $k$ $E$

Zákony zachování a symetrie

Obměna souřadnice vede k zachování délky Laplaceova-Runge-Lenzova vektoru (viz Noetherova věta ). Toto zachování lze chápat jako určitou symetrii systému. V klasické mechanice , symetrie jsou spojité operace, které mapují jednu orbitu k jinému bez změny energie systému; v kvantové mechanice jsou symetrie nepřetržité operace, které míchají atomové orbitaly bez změny celkové energie. Například jakákoli centrální síla vedoucí k zachování momentu hybnosti . Ve fyzice se obvykle setkáváme s konzervativními centrálními silami, které mají symetrii rotační grupy SO(3) . Klasicky celková rotace systému neovlivňuje energii oběžné dráhy; kvantově mechanicky, rotace mísí sférické funkce se stejným kvantovým číslem (degenerované stavy) beze změny energie. $\mathbf{L}$ $l$

Symetrie stoupá pro centrální sílu inverzní ke čtverci vzdálenosti. Specifická symetrie Keplerova problému vede k zachování jak vektoru momentu hybnosti , tak Laplace-Runge-Lenzova vektoru (jak je definován výše ), a kvantově-mechanicky zaručuje, že energetické hladiny atomu vodíku jsou nezávislé na kvantu. čísla momentu hybnosti a . Symetrie je jemnější, protože operace symetrie se musí odehrávat ve vyšším dimenzionálním prostoru; takové symetrie se často nazývají skryté symetrie [30] . Klasicky, vyšší symetrie Keplerova problému počítá s nepřetržitými změnami na orbitách, které šetří energii, ale ne moment hybnosti; jinými slovy, oběžné dráhy se stejnou energií, ale odlišným momentem hybnosti (excentricitou) lze plynule převádět jedna na druhou. Kvantově mechanicky to odpovídá míšení orbitalů, které se liší kvantovými čísly , a atomových orbitalů typu ( ) a ( ). Takové prolnutí nelze provést normálními 3D posuny nebo rotacemi, ale je ekvivalentní rotaci v prostoru vyšších dimenzí. $\mathbf{L}$ $\mathbf {A}$ $l$ $m$ $l$ $m$ $s$ $l=0$ $p$ $l=1$

Vázaný systém se zápornou celkovou energií má SO(4) symetrii , která zachovává délku čtyřrozměrných vektorů

|{\mathbf {e}}|^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}+e_{4}^{2}.

V roce 1935 Vladimir Fok ukázal, že Keplerův kvantově mechanický problém je ekvivalentní problému volné částice ohraničené čtyřrozměrnou hypersférou [7] . Fock zejména ukázal, že vlnová funkce Schrödingerovy rovnice v prostoru hybnosti pro Keplerovu úlohu je čtyřrozměrným zobecněním stereografické projekce sférických funkcí z 3-koule do trojrozměrného prostoru. Rotace a reprojekce hypersféry má za následek nepřetržitou transformaci eliptických drah beze změny energie; kvantově mechanicky to odpovídá smíchání všech orbitalů se stejným hlavním kvantovým číslem . Valentin Bargman později poznamenal, že Poissonovy závorky pro vektor momentu hybnosti a škálovaný Laplace-Runge-Lenz vektor tvoří Lieovu algebru pro . [8] Zjednodušeně řečeno, těchto šest veličin odpovídá šesti zachovaným momentům hybnosti ve čtyřech dimenzích spojených se šesti možnými jednoduchými rotacemi v tomto prostoru (existuje šest způsobů, jak vybrat dvě ze čtyř os). Tento závěr neznamená, že náš vesmír je čtyřrozměrná hypersféra ; to jednoduše znamená, že tento konkrétní problém ve fyzice (problém dvou těles pro centrální sílu, která závisí nepřímo na druhé mocnině vzdálenosti) je matematicky ekvivalentní volné částici na čtyřrozměrné hypersféře. $n$ $\mathbf{L}$ $\mathbf {D}$ $SO(4)$ $\mathbf {D}$ $\mathbf{L}$

Rozptýlený systém s kladnou celkovou energií má SO(3,1) symetrii , která zachovává délku 4-vektoru v prostoru s Minkowského metrikou

ds^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}-e_{4}^{2}.

Fock [7] a Bargman [8] zvažovali negativní i pozitivní energie. Oni také byli zvažováni encyklopedicky Bender a Itsikson [31] [32] .

Symetrie rotací ve čtyřrozměrném prostoru

Souvislost Keplerova problému s rotacemi ve čtyřrozměrném prostoru SO(4) lze vizualizovat celkem jednoduše [31] [33] [34] . Nechť jsou dány kartézské souřadnice ve čtyřrozměrném prostoru , které se označují , kde představují kartézské souřadnice obvyklé polohy trojrozměrného vektoru . 3D vektor hybnosti souvisí s 4D vektorem na 4D jednotkové kouli by $(w,\;x,\;y,\;z)$ $(x,\;y,\;z)$ $\mathbf {r}$ ${\mathbf {p}}$ ${\boldsymbol {\eta ))$

{\boldsymbol \eta }={\frac {p^{2}-p_{0}^{2}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}{\mathbf {{\hat {w))))+{\frac {2p_{0}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}{\mathbf {p}}={\frac {mk-rpp_{0 }}{mk}}{\mathbf {{\hat {w}}}}+{\frac {rp_{0}}{mk}}{\mathbf {p}},

kde je jednotkový vektor podél nové osy . Protože má pouze tři nezávislé složky, může být tento vektor invertován získáním výrazu pro . Například pro komponent ${\mathbf {{\hat {w))))$ $w$ ${\boldsymbol {\eta ))$ ${\mathbf {p}}$ $X$

p_{x}=p_{0}{\frac {\eta _{x}}{1-\eta _{w}}}

a podobně pro a . Jinými slovy, trojrozměrný vektor je stereografická projekce čtyřrozměrného vektoru vynásobená (obr. 8). $p_{y}$ $p_{z}$ ${\mathbf {p}}$ ${\boldsymbol {\eta ))$ $p_{0}$

Bez ztráty obecnosti můžeme eliminovat normální rotační symetrii volbou kartézských souřadnic , kde osa směřuje podél vektoru momentu hybnosti a hodograf hybnosti je umístěn tak, jak je znázorněno na obrázku 7, se středy kružnic na ose . Vzhledem k tomu, že pohyb nastává v rovině a a jsou ortogonální, lze pozornost soustředit na trojrozměrný vektor . Rodina Apolloniových kružnic impulzních hodografů (obr. 7) odpovídá množině velkých kružnic na trojrozměrné sféře , které všechny protínají osu v těchto dvou ohniscích odpovídajících ohniskům impulzního hodografu v . Velké kruhy se spojují jednoduchým otáčením kolem osy (obr. 8). Tato rotační symetrie transformuje všechny oběžné dráhy se stejnou energií na sebe; taková rotace je však ortogonální k obyčejným trojrozměrným rotacím, protože transformuje čtvrtý rozměr . Tato vyšší symetrie je charakteristická pro Keplerovu úlohu a odpovídá zachování Laplaceova-Runge-Lenzova vektoru. $z$ $\mathbf{L}$ $y$ ${\mathbf {p}}$ $L$ $p_{z}=\eta _{z}=0$ ${\boldsymbol {\eta }}=(\eta _{w},\;\eta _{x},\;\eta _{y})$ ${\boldsymbol {\eta ))$ $\eta _{x}$ $\eta _{x}=\pm 1$ $p_{x}=\pm p_{0}$ $\eta _{x}$ $\eta _{w}$

Elegantní řešení Keplerova problému pomocí úhlově akčních proměnných lze získat odstraněním nadbytečné čtyřrozměrné souřadnice a použitím eliptických válcových souřadnic [35] ${\boldsymbol {\eta ))$ $(\alpha ,\;\beta ,\;\varphi )$

\eta _{w}={\mathrm {cn}}\,\alpha \,{\mathrm {cn}}\,\beta ,

\eta _{x}={\mathrm {sn}}\,\alpha \,{\mathrm {dn}}\,\beta \cos \varphi ,

\eta _{y}={\mathrm {sn}}\,\alpha \,{\mathrm {dn}}\,\beta \sin \varphi ,

\eta _{z}={\mathrm {dn}}\,\alpha \,{\mathrm {sn}}\,\beta ,

kde jsou použity Jacobiho eliptické funkce : , a . ${\mathrm {sn}}$ ${\mathrm {cn))$ ${\mathrm {dn))$

Aplikace a zobecnění

Kvantová mechanika atomu vodíku

Poissonovy závorky poskytují snadný způsob kvantování klasického systému . Komutátor dvou kvantově mechanických operátorů se rovná Poissonově závorce odpovídajících klasických proměnných vynásobené [36] . Provedením této kvantizace a výpočtem vlastních hodnot Casimirova operátoru pro Keplerovu úlohu odvodil Wolfgang Pauli energetické spektrum atomu podobného vodíku (obr. 9) a tím jeho atomové emisní spektrum [3] . Toto elegantní řešení bylo získáno před získáním Schrödingerovy rovnice [37] . $i\hbar$ $C_{1}$

Charakteristickým rysem kvantově mechanického operátoru pro Laplaceův-Runge-Lenzův vektor je to, že operátory hybnosti a momentu hybnosti spolu nekomutují, proto musí být vektorový součin pečlivě definován [38] . Operátory v kartézském souřadnicovém systému jsou zpravidla definovány pomocí symetrického součinu $\mathbf {A}$ ${\mathbf {p}}$ $\mathbf{L}$ $Tak jako$

A_{s}=-mk{\hat {r}}_{s}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}\sum _{j= 1}^{3}\varepsilon _{sij}(p_{i}l_{j}-l_{i}p_{j}),

ze kterého se určují odpovídající žebříkové operátory

A_{0}=A_{3},

A_{{\pm 1}}=\mp {\frac {1}{{\sqrt {2}}}}(A_{1}\pm iA_{2}).

Podobným způsobem lze definovat normalizovaný operátor prvního Casimirova invariantu

C_{1}=-{\frac {mk^{2}}{2\hbar ^{2}}}H^{{-1}}-I,

kde je operátor inverzní k energetickému operátoru ( Hamiltonian ) a je operátor identity. Aplikováním těchto žebříkových operátorů na vlastní stavy celkového momentu hybnosti, azimutálního momentu hybnosti a energetických operátorů lze ukázat, že vlastní stavy prvního Casimirova operátoru jsou dány vztahem . Proto jsou energetické hladiny dány $H^{{-1}}$ $já$ $|lmn\rozsah$ $n^{2}-1$

E_{n}=-{\frac {mk^{2}}{2\hbar ^{2}n^{2}}},

který je shodný s Rydbergovým vzorcem pro atom vodíku (obr. 9).

Zobecnění na jiné potenciály a SRT

Laplace-Runge-Lenzův vektor byl zobecněn na jiné potenciály a dokonce i na speciální teorii relativity . Nejobecnější formu tohoto vektoru lze zapsat jako [11]

{\mathcal {A}}=\left({\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)({\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}})+\left [\xi -u\left({\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)\right]L^{2}{\mathbf {{\hat {r))))

kde (viz Bertrandova věta ) a , s úhlem definovaným jako $u=1/r$ $\xi =\cos \theta$ $\theta$

\theta =L\int \limits ^{u}{\frac {du}{{\sqrt {m^{2}c^{2}(\gamma ^{2}-1)-L^{2}u ^{2}}}}}.

Zde je relativistický faktor . Stejně jako dříve lze získat konzervovaný binormální vektor tím, že vezmeme křížový součin s konzervovaným vektorem momentu hybnosti $\gamma$ $\mathbf {B}$

{\mathcal {B}}={\mathbf {L}}\times {\mathcal {A}}.

Tyto dva vektory lze kombinovat do konzervovaného dvousložkového tenzoru $W$

{\mathcal {W}}=\alpha {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {A}}+\beta {\mathcal {B}}\otimes {\mathcal {B}}.

Jako příklad vypočítáme Laplaceův-Runge-Lenzův vektor pro nerelativistický izotropní harmonický oscilátor. [11] Zvažte centrální sílu:

{\mathbf {F}}(r)=-k{\mathbf {r}}

vektor momentu hybnosti je zachován, a proto k pohybu dochází v rovině. Konzervovaný tenzor lze přepsat v jednodušší podobě:

{\mathbf {W}}={\frac {1}{2m}}{\mathbf {p}}\otimes {\mathbf {p}}+{\frac {k}{2}}{\mathbf {r }}\otimes {\mathbf {r}},

i když je třeba poznamenat, že a nejsou kolmé, stejně jako . Odpovídající Laplace-Runge-Lenzův vektor má složitější zápis $p$ $r$ $A$ $B$

{\mathbf {A}}={\frac {1}{{\sqrt {mr^{2}\omega _{0}A-mr^{2}E+L^{2))))}\{ ({\mathbf {p}}\times {\mathbf {L}})+(mr\omega _{0}A-mrE){\mathbf {{\hat {r}}}}\},

kde je frekvence oscilátoru. $\omega _{0}={\sqrt {{\frac {k}{m))))$

Viz také

Literatura

↑ Arnold V. I. . Matematické metody klasické mechaniky. 5. vyd. - M. : Editorial URSS, 2003. - 416 s. — ISBN 5-354-00341-5 . ; online v elektronické podobě je 3. vyd. 1988, viz Příloha 8, na straně 381
↑ 1 2 3 4 Goldstein G. . Klasická mechanika. 2. vyd. — M .: Nauka, 1975. — 415 s.
↑ 1 2 3 Pauli, W. Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik (německy) // Zeitschrift für Physik : časopis. - 1926. - Bd. 36 . - S. 336-363 .
↑ 1 2 Hamilton, W. R. The Hodograph, aneb nová metoda vyjádření newtonského zákona přitažlivosti v symbolickém jazyce // Proceedings of the Royal Irish Academy : deník. - 1847. - Sv. 3 . - str. 344-353 .
↑ Hickok F. A. . Mapy vesmírných letů. - M .: Mashinostroenie, 1968. - 133 s. - Ch. 3. Analýza trajektorie pomocí polárních diagramů, str. 42.
↑ Gould H., Tobochnik Ya. Počítačové modelování ve fyzice. T. 1. - M. : Mir, 1990. - 352 s. — ISBN 5-03-001593-0 . . — Úkol 4.9. Vlastnosti drah v prostoru rychlostí, str. 88.
↑ 1 2 3 Fock, V. Zur Theorie des Wasserstoffatoms (německy) // Zeitschrift für Physik : časopis. - 1935. - Bd. 98 . - S. 145-154 .
↑ 1 2 3 Bargmann, V. Zur Theorie des Wasserstoffatoms: Bemerkungen zur gleichnamigen Arbeit von V. Fock (německy) // Zeitschrift für Physik : časopis. - 1936. - Bd. 99 . - S. 576-582 .
↑ 1 2 Goldstein, H. Prehistorie vektoru Runge-Lenz // American Journal of Physics : journal. - 1975. - Sv. 43 . - str. 735-738 .
Goldstein, H. Více o prehistorii vektoru Runge-Lenz // American Journal of Physics : journal. - 1976. - Sv. 44 . - S. 1123-1124 .
↑ 1 2 3 Hamilton, W. R. O aplikaci metody kvaternionů na některé dynamické otázky // Proceedings of the Royal Irish Academy : deník. - 1847. - Sv. 3 . - P. Příloha III, str. xxxvi-l .
↑ 1 2 3 4 5 Fradkin, D. M. Existence dynamických symetrií O 4 a SU 3 pro všechny klasické problémy centrálního potenciálu // Pokrok teoretické fyziky : deník. - 1967. - Sv. 37 . - str. 798-812 .
↑ 1 2 Yoshida, T. Dvě metody zobecnění Laplace-Runge-Lenz vektoru // European Journal of Physics : journal. - 1987. - Sv. 8 . - str. 258-259 .
↑ Hermann, J. Metodo d'investigare l'orbite de' pianeti // Giornale de Letterati D'Italia. - 1710. - T. 2 . - S. 447-467 .
Hermann, J. Extrait d'une lettre de M. Herman à M. Bernoulli datée de Padoüe le 12. Juillet 1710 (fr.) // Histoire de l'academie royale des sciences (Paříž) : časopis. - 1710. - Sv. 1732 . - str. 519-521 .
↑ Bernoulli, J. Extrait de la Réponse de M. Bernoulli à M. Herman datée de Basilej le 7. října 1710 (fr.) // Histoire de l'academie royale des sciences (Paříž): časopis. - 1710. - Sv. 1732 . - str. 521-544 .
↑ Laplace P.S. Traite de mecanique celeste. Tome I, Premiere Party, Livre II. - Paříž, 1799. - S. 165ff.
↑ Gibbs J. W. , Gibbs E. B. . Vektorová analýza. - New York: Scribners, 1901. - 436 s. — str. 135.
↑ Pole C. . vektorová analýza. bd. I. - Lipsko: Hirzel, 1919. - 436 s.
↑ Lenz, W. Über den Bewegungsverlauf und Quantenzustände der gestörten Keplerbewegung (německy) // Zeitschrift für Physik : magazin. - 1924. - Bd. 24 . - S. 197-207 .
↑ Evans, N. W. Superintegrabilita v klasické mechanice // Physical Review A : journal . - 1990. - Sv. 41 . - S. 5666-5676 .
↑ Sommerfeld A. . Atomová struktura a spektrální čáry. — Londýn: Methuen, 1923. — 118 s.
↑ 1 2 3 Landau LD , Lifshitz EM . mechanika. 3. vyd. - Pergamon Press, 1976. - ISBN 0-08-029141-4 . . — S. 154; Landau L. D. , Lifshitz E. M. Mechanika. 5. vyd. - M. : Fizmatlit, 2004. - 224 s. — (Kurz teoretické fyziky, svazek 1). - ISBN 5-9221-0055-6 . — § 15. Kepleriánský problém, „konzervovaný vektor“, s. 56; § 52. Podmíněně periodický pohyb, úloha s řešením v polárních souřadnicích, str. 217.
↑ Evans, N. W. Teorie grup systému Smorodinsky-Winternitz // Journal of Mathematical Physics : časopis. - 1991. - Sv. 32 . - str. 3369-3375 .
↑ Dulock, V. A.; McIntosh H. V. On the Degeneracy of the Kepler Problem // Pacific Journal of Mathematics : journal. - 1966. - Sv. 19 . - str. 39-55 .
↑ Redmond, P. J. Generalization of Runge-Lenz Vector in the Presence of a Electric Field // Physical Review : journal . - 1964. - Sv. 133 . - P.B1352-B1353 .
↑ 1 2 Einstein, A. Erklärung der Perihelbeivegung der Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie (německy) // Sitzungsberichte der der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften: časopis. - 1915. - Bd. 47 , č. 2 . - S. 831-839 .
↑ Le Verrier, U. J. J. Sur la théorie de Mercure et sur le mouvement du périhélie de cette planetète; Lettre de M. Le Verrier à M. Faye (fr.) // Comptes Rendus de l'Academie de Sciences (Paříž): časopis. - 1859. - Sv. 49 . - str. 379-383 . [jeden]
↑ Will C. M. . Obecná teorie relativity, Einstein Century Survey / Ed. od S. W. Hawkinga a W. Israele. — Cambridge: Cambridge University Press, 1979.
↑ Pais, A.. Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein (anglicky). —Oxford University Press, 1982.
Pais, Abraham. . Vědecká činnost a život Alberta Einsteina / Ed. A. A. Logunová. —M.: Nauka, 1989. — 566 s. —ISBN 5-02-014028-7. .
↑ Lévy-Leblond, JM (1971). "Zákony zachování pro Gauge-invariantní Lagrangiany v klasické mechanice." American Journal of Physics . 39 (5): 502-506. Bibcode : 1971AmJPh..39..502L . DOI : 10.1119/1.1986202 .
↑ 1 2 Prince, G. E.; Eliezer C. J. O Lieových symetriích klasického Keplerova problému // Journal of Physics A: Mathematical and General : deník. - 1981. - Sv. 14 . - str. 587-596 .
↑ 1 2 Bander, M.; Itzykson C. Teorie grup a atom vodíku (I ) // Reviews of Modern Physics : journal. - 1966. - Sv. 38 . - str. 330-345 .
↑ Bander, M.; Itzykson C. Teorie grup a atom vodíku (II ) // Recenze moderní fyziky : časopis. - 1966. - Sv. 38 . - str. 346-358 .
↑ Rogers, H. H. Symmetry transformace klasického Keplerova problému // Journal of Mathematical Physics : časopis. - 1973. - Sv. 14 . - S. 1125-1129 .
↑ Guillemin, V.; Sternberg S. Variace na téma od Keplera. - American Mathematical Society Colloquium Publications, svazek 42, 1990. .
↑ Lakshmanan, M.; Hasegawa H. O kanonické ekvivalenci Keplerova problému v souřadnicových a hybnostních prostorech (anglicky) // Journal of Physics A : deník. — Sv. 17 . - P.L889-L893 .
↑ Dirac P.A.M. Principy kvantové mechaniky. 4. vydání (anglicky) . — Oxford University Press, 1958.
↑ Schrödinger, E. Quantisierung als Eigenwertproblem // Annalen der Physik . - 1926. - T. 384 . - S. 361-376 .
↑ Bohm A. . Kvantová mechanika: základy a aplikace. 2. vydání. - Springer Verlag, 1986. - S. 208-222.

Odkazy

Leach, PGL; GP Flessas. Zobecnění Laplaceova - Rungeova - Lenzova vektoru // J. Nelineární matematika. Phys. : deník. - 2003. - Sv. 10 . - str. 340-423 . Článek je věnován zobecnění Laplace-Runge-Lenzova vektoru na potenciály jiné než Coulombův. archive.org