Třída konjugace

Konjugační třída je množina prvků skupiny vytvořená z prvků konjugovaných k danému , tedy všech prvků formy , kde je libovolný prvek skupiny . $G$ $g\in G$ $hgh^{{-1}}$ $h$ $G$

Třída konjugace prvku může být označena , nebo . $g\in G$ $[G]$ $g^{G}$ ${\mathrm {Cl}} (g)$

Definice

Prvky a skupiny se nazývají konjugované , pokud existuje prvek, pro který . Konjugace je vztah ekvivalence , a proto se dělí na třídy ekvivalence , což zejména znamená, že každý prvek skupiny patří přesně do jedné třídy konjugace a třídy a shodují se tehdy a jen tehdy a pouze tehdy a jsou konjugované a jinak se neprotínají. . $g_{1}$ $g_{2}$ $G$ $h\v G$ $hg_{1}h^{{-1}}=g_{2}$ $G$ $[g_{1}]$ $[g_{2}]$ $g_{1}$ $g_{2}$

Poznámky

Třídy konjugace lze také definovat jako dráhy působení skupiny na sebe pomocí konjugací daných vzorcem [1] . $(g,m)=gmg^{{-1}}$

Příklady

Symetrická skupina sestávající ze všech šesti permutací tří prvků má tři třídy konjugace: $S_{3}$
- objednávka se nemění ( , "1A"), $abc\to abc$
- permutace dvou prvků ( , , , "3A"), $abc\to acb$ $abc\do bac$ $abc\to cba$
- cyklická permutace všech tří prvků ( , , "2A"). $abc\to bca$ $abc\do kabiny$

Symetrická skupina , sestávající ze všech 24 permutací čtyř prvků, má pět tříd konjugace: $S_4$
- pořadí se nemění (1 permutace): , "1A" nebo "(1) 4 "; $\{\{1,2,3,4\}\}$
- permutace dvou prvků (6 permutací): , "6A" nebo "(2)"; $\{\{1,2,4,3\},\{1,4,3,2\},\{1,3,2,4\},\{4,2,3,1\}, \{3,2,1,4\},\{2,1,3,4\}\}$
- cyklická permutace tří prvků (8 permutací): , "8A" nebo "(3)"; $\{\{1,3,4,2\},\{1,4,2,3\},\{3,2,4,1\},\{4,2,1,3\}, \{4,1,3,2\},\{2,4,3,1\},\{3,1,2,4\},\{2,3,1,4\}\}$
- cyklická permutace všech čtyř prvků (6 permutací): , "6B" nebo "(4)"; $\{\{2,3,4,1\},\{2,4,1,3\},\{3,1,4,2\},\{3,4,2,1\}, \{4,1,2,3\},\{4,3,1,2\}\}$
- párová permutace (3 permutace): , "3A" nebo "(2)(2)". $\{\{2,1,4,3\},\{4,3,2,1\},\{3,4,1,2\}\}$

V obecném případě je počet tříd konjugace v symetrické skupině roven počtu oddílů čísla , protože každá třída konjugace odpovídá přesně jednomu rozdělení permutace do cyklů . $S_{n}$ $n$ $\{1,2,\tečky ,n\}$

Vlastnosti

Neutrální prvek vždy tvoří svou vlastní třídu $[e]=\{e\}$
Jestliže je Abelian , pak , tedy pro všechny prvky skupiny. $G$ $\forall {g,h\in G}\ghg^{-1}=h$ $[g]=\{g\}$
Pokud dva prvky a skupiny patří do stejné třídy konjugace, pak mají stejné pořadí . $g_{1}$ $g_{2}$ $G$
- Obecněji platí, že jakékoli skupinově teoretické tvrzení o prvku je ekvivalentní prohlášení o prvku , protože konjugace je
automorfismus skupiny . $\pi (g)$ $g\in G$ $h\in[g]$ $x\to xgx^{{-1}}$ $G$

Prvek leží ve středu právě tehdy, když jeho třída konjugace sestává z jediného prvku: .

g\in G

Z(G)

[g]=\{g\}

Obecněji: index podskupiny (

centralizátor daného prvku ) je roven počtu prvků ve třídě konjugace (podle teorému o stabilizaci oběžné dráhy ).

Z_{G}(g)

G

[G]

Jestliže a jsou sdružené, pak jejich síly a jsou také sdružené .

g_{1}

g_{2}

g_{1}^{k}

g_{2}^{k}

Pro jakýkoli prvek skupiny odpovídají prvky v konjugační třídě jedna ku jedné konjugačním třídám centralizátoru , skutečně, jestliže , pak pro některé , což vede ke stejnému konjugovanému prvku: . Zejména: $g\in G$ $[G]$ $Z_{G}(g)$ $h_{1}\za [h_{2}]$ $h_{1}=h_{2}z$ $z\in Z_{G}(g)$ $h_{1}gh_{1}^{-1}=h_{2}zg(h_{2}z)^{-1}=h_{2}zgz^{-1}h_{2}^ {-1}=h_{2}zz^{-1}gh_{2}^{-1}=h_{2}gh_{2}^{-1}$
- Jestliže je
konečná skupina , pak počet prvků ve třídě konjugace je index centralizátoru . $G$ $[G]$ $[G:Z_{G}(g)]$
Pořadí každé třídy konjugace je dělitelem pořadí skupiny.

Pořadí skupiny je součtem indexů centralizátorů pro zvoleného zástupce z každé třídy konjugace: . Vezmeme-li v úvahu skutečnost, že centralizátor skupiny tvoří konjugační třídu z jediného prvku (samotného), je tento vztah, nazývaný rovnice konjugačních tříd [2] , zapsán následovně:

g_i

|G|=\Sigma {_{i}}[G:Z_{G}(g_{i})]

Z(G)

|G|=|Z(G)|+\Sigma {_{i}}[G:Z_{G}(g_{i})]

kde součet převezme všechny zástupce každé třídy konjugace, kteří nepatří do centra.

Nechť je například dána konečná -grupa (tj. grupa s pořadím , kde je prvočíslo a ). Protože pořadí jakékoli třídy konjugace musí dělit pořadí skupiny, každá třída konjugace má také pořadí rovné nějaké mocnině ( ), a pak z rovnice tříd konjugace vyplývá, že: $p$ $G$ $p^{n}$ $p$ $n>0$ $Ahoj$ $p^{{k_{i}}}$ $0<k_{i}<n$

|G|=p^{n}=|Z(G)|+\Sigma {_{i}}p^{{k_{i}}}

, to zase znamená, že číslo se musí dělit , takže pro všechny konečné grupy, tedy rovnice tříd konjugace, nám umožňuje stanovit, že jakákoli konečná grupa má netriviální centrum.

p

|Z(G)|

|Z(G)|>1

p

p

Třídy konjugace v základní skupině topologického prostoru spojeného s cestami lze považovat za třídy ekvivalence volných smyček pod volnou homotopií.

Variace a zobecnění

Pro libovolnou podmnožinu (ne nutně podskupinu) se podmnožina nazývá konjugovat k, pokud existuje nějaký prvek takový, že . V tomto případě je třída konjugace množinou všech podmnožin tak, že každá je konjugovaná . $S\subseteq G$ $T\subseteq G$ $S$ $g\in G$ $T=gSg^{{-1}}$ $[S]$ $T\subseteq G$ $T$ $S$

Široce používaná věta je, že pro jakoukoli danou podmnožinu skupiny je index množiny jejího normalizátoru roven řádu její třídy konjugace : $S$ $G$ $N(S)$ $[S]$

|[S]|=[G:N(S)]

To vyplývá ze skutečnosti, že for platí: if and only if , tedy a je obsaženo ve stejné třídě sousedství normalizátoru . $g,h\v G$ $gSg^{{-1}}=hSh^{{-1}}$ $g^{{-1}}h\in N(S)$ $G$ $h$ $N(S)$

Podskupiny lze rozdělit do konjugovaných tříd tak, že dvě podskupiny patří do stejné třídy tehdy a pouze tehdy, jsou-li konjugované. Konjugované podskupiny jsou izomorfní , ale izomorfní podskupiny nemusí být konjugované. Například abelovská skupina může obsahovat dvě odlišné izomorfní podskupiny, ale nikdy nebudou konjugované.

Viz také

Poznámky

↑ Gril, 2007 , str. 56.
↑ Gril, 2007 , str. 57.

Literatura

Pierre Antoine Grillet. abstraktní algebra. - 2. - Springer, 2007. - T. 242. - (Absolventské texty z matematiky). — ISBN 978-0-387-71567-4 .