Heine-Borel Lemma

Heine-Borelovo lemma [1] (a také Borel-Lebesgueovo lemma [2] nebo lemma konečného krytu ) je následující skutečnost, která hraje zásadní roli v analýze :

Z libovolného nekonečného systému intervalů pokrývajících segment reálné čáry lze vybrat konečný podsystém, který také pokrývá tento segment.

Zobecnění tohoto tvrzení na vícerozměrný případ se také nazývá Heine-Borelovo lemma (nebo Borel-Lebesgueovo lemma) [3] .

Formulace

Pro formulaci Heine-Borelova lemmatu v obecném případě zavedeme pojem krytu [3] . Nastavit systém

{\mathfrak {S}}=\lbrace S_{{\alpha }}\rbrace

kde index prochází nějakou množinou, se nazývá obal množiny if $\alpha$ ${\mathfrak {A}}$ $X$

X\subset \bigcup _{{\alpha \in {\mathfrak {A}}}}S_{{\alpha }}

Pokud nějaká část obalu , řekněme , kde je podmnožina , sama o sobě tvoří obal množiny , pak se nazývá podobal obálky množiny . ${\mathfrak {S}}$ ${\mathfrak {S}}'=\lbrace S_{{\alpha }}\mid \alpha \in {\mathfrak {A'}}\rbrace$ ${\mathfrak {A'))$ ${\mathfrak {A}}$ $X$ ${\mathfrak {S))'$ ${\mathfrak {S}}$ $X$

Zformulujme nyní Heine-Borelovo lemma v obecné podobě.

Dovolit být uzavřený omezený soubor v prostoru . Potom lze z libovolného systému otevřených množin pokrývajících množinu vybrat konečný subsystém, který rovněž pokrývá množinu . $X$ $\mathbb{R}^n$ $X$ $X$

Stručně říkají toto: každý otevřený kryt uzavřeného ohraničeného souboru v prostoru obsahuje konečný podkryt. $\mathbb{R}^n$ Kryt se nazývá otevřený , pokud se skládá z otevřených sad.

Existuje i opačná teze: aby každý otevřený obal množiny obsahoval konečný podkryt, je nutné, aby množina byla uzavřená a ohraničená. $X\subset {\mathbb {R}}^{n}$ $X$ Heine-Borelovo lemma je však pouze přímým tvrzením, tedy dostatečnými podmínkami pro existenci konečného podpokryvu.

Důkaz

Důkaz Heine-Borelova lemmatu lze provést různými způsoby. Níže jsou uvedeny dva důkazy.

První důkaz

Tento důkaz je proveden Bolzanovou metodou (bisekce) a je založen na Cauchyho-Cantorově vnořených segmentech . V mnoha ohledech je podobný důkazu Bolzano-Weierstrassova limitního bodu lemmatu .

Nechť segment pokrývá nekonečný systém intervalů. Předpokládejme, že žádný konečný počet intervalů z nepokrývá daný segment. Rozdělte segment na polovinu na dva stejné segmenty: a . Alespoň jeden z nich nemůže být pokryt konečným podsystémem intervalů od . Označíme a zopakujeme postup při dělení napůl. $[a,b]$ $\Sigma$ $\Sigma$ $[a,b]$ $\left[a,{\frac {a+b}{2}}\right]$ $\left[{\frac {a+b}{2}},b\right]$ $\Sigma$ $[a_{1},b_{1}]$

Pokračováním v dělení segmentů na polovinu v každém kroku získáme sekvenci vnořených segmentů s nulovou délkou, takže každý segment této sekvence nemůže být pokryt konečným počtem intervalů od . Ale pokud je bod, ke kterému se segmenty smršťují, pak, protože leží na segmentu , musí být zahrnut do nějakého intervalu systému . Pak všechny segmenty posloupnosti počínaje nějakým číslem budou pokryty intervalem , což je v rozporu se samotnou volbou těchto segmentů. Výsledný rozpor dokazuje platnost Heine-Borelova lemmatu. $\Sigma$ $\xi$ $\xi$ $[a,b]$ $\sigma$ $\Sigma$ $[a_{k},b_{k}]$ $\sigma$

Tento důkaz se zřejmými modifikacemi je také proveden pro prostor libovolného rozměru. Tento důkaz lze nalézt v [3] a v [2] (v poslední knize ihned pro případ libovolného metrického prostoru ). $\mathbb{R}^n$

Druhý důkaz

Dalším důkazem Heine-Borelova lemmatu je Lebesgue [2] . Nevyužívá lemma vnořených segmentů , ale spoléhá na vlastnost úplnosti množiny reálných čísel v podobě principu existence nejmenšího supremu .

Nechť systém intervalů pokrývá segment . Označme množinou všech bodů , pro které může být segment pokryt konečným počtem intervalů od . Je jasné, že pokud může být libovolný segment ve tvaru (kde x - sup M) pokryt konečným počtem intervalů od , pak totéž platí pro segment : k tomu vezmeme interval pokrývající bod a přidáme jej ke konečnému pokrytí nějakého segmentu , kde získáme konečné pokrytí segmentu . Výsledný konečný subsystém intervalů navíc pokrývá nejen segment , ale také nějaký segment tvaru , kde . $\Sigma$ $[a,b]$ $M$ $x\in[a,b]$ $[sekera]$ $\Sigma$ $[a,x'],\;x'<x$ $\Sigma$ $[sekera]$ $\sigma \in \Sigma$ $X$ $[sekera']$ $x'<x,x'\in \sigma$ $[sekera]$ $[sekera]$ $[sekera'']$ $x''>x$

Z prvního vyplývá, že nejmenší horní mez množiny patří množině . Od druhého, že by se mělo rovnat . Tedy , to znamená, že segment může být pokryt konečným počtem intervalů od . $M$ $M$ $b$ $b\in M$ $[a,b]$ $\Sigma$

Aplikace v analýze

Spolu s Cauchy-Cantorovým vnořeným intervalovým lemmatem a Bolzano-Weierstrassovým limitním bodem je Heine-Borelovo lemma konečného pokrytí jedním ze základních výroků analýzy. Může být použit k prokázání řady důležitých výsledků.

Heine-Borelovo lemma lze s úspěchem aplikovat v případech, kdy je potřeba rozšířit nějakou lokální vlastnost na celý soubor. Ukažme si, co bylo řečeno, na příkladu důkazu věty o jednotné kontinuitě .

Spojitost funkce na intervalu znamená, že pro libovolný bod intervalu a libovolné existuje takové okolí bodu, ve kterém se libovolné dvě hodnoty funkce neliší o více než : $F$ $(a,b)$ $X$ $(a,b)$ $\varepsilon > 0$ $U_{{\delta }} (x)$ $X$ $\varepsilon$

x',x''\in U_{{\delta }}(x)\Rightarrow |f(x')-f(x'')|\leqslant \varepsilon

Opravíme a pro každý bod segmentu vybereme naznačené okolí (každý bude mít své ). Výsledný systém intervalů tvoří otevřený kryt segmentu, z něhož podle Heine-Borelova lemmatu vybereme konečnou podpovrchovou . Je snadné vidět, že je možné zvolit tak, že každý úsek délky je zcela obsažen v jednom z intervalů pokrytí . Z toho vyplývá, že pokud se neliší o více než , pak jsou obsaženy ve stejném intervalu pokrytí, což znamená, že hodnoty funkce se v těchto bodech neliší o více než . $\varepsilon > 0$ $X$ $[a,b]$ $U_{{\delta }} (x)$ $X$ $\delta=\delta(x)$ $\Sigma$ $\delta>0$ $\delta$ $\Sigma$ $x',x''$ $\delta$ $\varepsilon$

Tak, pro libovolně přijato , je zjištěno , takové, že $\varepsilon > 0$ $\delta>0$

x',x''\in [a,b]\quad |x'-x''|\leqslant \delta \Rightarrow |f(x')-f(x'')|\leqslant \varepsilon

To znamená, že funkce je na segmentu rovnoměrně spojitá . $F$ $[a,b]$

Zobecnění

Heine-Borelovo lemma je zobecněno na libovolný metrický prostor takto:

Aby jakýkoli otevřený kryt metrického prostoru obsahoval konečný podkryt, je nutné a postačující, aby byl prostor úplný a zcela ohraničený . ${\mathcal {M}}$ ${\mathcal {M}}$

Stejně jako v případě prostoru se pouze druhá část tohoto tvrzení o dostatečnosti podmínek pro existenci konečného podpokryvu nazývá Heine-Borelovo lemma. $\mathbb{R}^n$

Ukazuje se, že metrický prostor má Heine-Borelovu vlastnost právě tehdy, když se jedná o kompaktní prostor , to znamená, že každá jeho nekonečná podmnožina má limitní bod patřící do . Kompaktní metrický prostor by tedy mohl být definován jako prostor, jehož každá otevřená obálka obsahuje konečný podkryt. ${\mathcal {M}}$ ${\mathcal {M}}$

Při přechodu od metrických prostorů k obecnějšímu pojetí topologických prostorů se ukázalo, že tyto dvě podmínky nejsou ekvivalentní: pokud má topologický prostor vlastnost Heine-Borel, pak každá jeho nekonečná podmnožina má limitní bod, ale naopak není vždy pravda. Silnější Heine-Borelova vlastnost byla vzata jako definice kompaktního topologického prostoru . Navíc se ukázalo, že stará podmínka kompaktnosti, totiž existence limitního bodu pro libovolnou nekonečnou podmnožinu, je ekvivalentní následující podmínce: každý spočetný otevřený kryt obsahuje konečný podkryt. Takovým prostorům se začalo říkat spočetně kompaktní .

Historické pozadí

Historie matematické propozice, dnes známé jako Heine-Borelovo lemma, začala ve druhé polovině 19. století, kdy matematici byli zaneprázdněni hledáním spolehlivých základů pro rigorózní konstrukci kalkulu . Jedním ze základních výsledků analýzy, která vyžadovala rigorózní důkaz, byla mimo jiné věta o tom, že jakákoli funkce spojitá na segmentu je na něm rovnoměrně spojitá. Dirichlet byl první, kdo dokázal tuto větu ve svých přednáškách z roku 1862, které byly zveřejněny až v roce 1904. Implicitně přitom využil toho, že pokud je segment pokryt nekonečným počtem intervalů, lze mezi nimi vybrat konečné číslo, které daný segment také pokrývá. Později podobnou úvahu použili E. Heine , K. Weierstrass , S. Pinkerle . První, kdo formuloval a dokázal Heine-Borelovo lemma v podobě blízké té moderní, byl v roce 1895 E. Borel . Jeho formulace se však omezila na krytiny sestávající z počitatelného počtu intervalů. Na libovolné nekonečné pokrytí ji zobecnil student E. Borela A. Lebesgue v roce 1898.

V matematické literatuře lze tento návrh nalézt pod různými názvy. Nejčastějším názvem je Heine-Borelovo lemma [1] [3] [4] , které bylo umístěno v názvu tohoto článku. Často se však používají: Borel-Lebesgue lemma [5] , Borel lemma [6] . V některých knihách se tomuto tvrzení neříká lemma, ale věta: Heine-Borelova věta [7] , Borel-Lebesgueova věta [2] . Také se vyskytuje název lemmatu konečného krytu [5] .

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Základy teorie funkcí a funkcionální analýza. - S. 107.
↑ 1 2 3 4 Aleksandrov PS Úvod do teorie množin a obecné topologie. — S. 183-184, 193-195.
↑ 1 2 3 4 Kudryavtsev L. D. Kurz matematické analýzy. - T. 2. - S. 195-196.
↑ Ilyin V. A., Poznyak E. G. Základy matematické analýzy: Za 2 hodiny, část I.
↑ 1 2 Zorich V. A. Matematická analýza. Část I
↑ Fikhtengolts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu ve 3 svazcích. - T. 1.
↑ Rudin U. Základy matematické analýzy.

Literatura

Aleksandrov PS Úvod do teorie množin a obecné topologie. - M .: "Nauka", 1977. - 368 s.

Zorich V. A. Matematická analýza. Část I. - 4. vydání, Rev. - M. : MTSNMO, 2002. - XVI + 664 s. — ISBN 5-94057-056-9 .

Iljin V. A., Poznak E. G. Základy matematické analýzy: Za 2 hodiny Část I. - 7. vyd. - M : FIZMATLIT, 2005. - 648 s. - ISBN 5-9221-0536-1 .

Kolmogorov AN, Fomin SV Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy. - 7. vyd. - M .: "Fizmatlit", 2004. - 572 s. — ISBN 5-9221-0266-4 .

Kudryavtsev L. D. Kurz matematické analýzy. - 5. vyd. - M. : "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 s. - ISBN 5-7107-4119-1 .

Rudin U. Základy matematické analýzy = Principy matematické analýzy / per. z angličtiny. Havin. — 2. vyd. stereotypní. - M .: "Mir", 1976.

Fikhtengol'ts G.M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu ve 3 svazcích. - T. 1.