Poruchová teorie

Poruchová teorie je metoda pro přibližné řešení problémů teoretické fyziky , použitelná v případě, kdy úloha obsahuje malý parametr a při zanedbání tohoto parametru má problém přesné řešení.

Fyzikální veličiny vypočítané poruchovou teorií mají tvar řady

A=A^{{(0)}}+\varepsilon A^{{(1)}}+\varepsilon ^{2}A^{{(2)}}+...

kde je řešení nerušeného problému a je malý parametr. Koeficienty se nacházejí postupnými aproximacemi, to znamená, že jsou vyjádřeny pomocí . Aplikováno na nebeskou mechaniku , kvantovou mechaniku , kvantovou teorii pole atd. $A^{{(0)}}$ $\varepsilon$ $A^{{(n)}}$ $A^{{(n)}}$ $A^{{(0)}},...,A^{{(n-1)}}$

V nebeské mechanice

Historicky první disciplínou, ve které byla vyvinuta teorie poruch, byla nebeská mechanika. Problémem zjištění pohybu planet sluneční soustavy je problém těles $N$ , který na rozdíl od problému dvou těles nemá přesné analytické řešení. Jeho řešení ale usnadňuje fakt, že díky malé hmotnosti planet je vzájemná přitažlivost planet mnohem slabší než jejich přitažlivost ke Slunci. Při zanedbání hmotností planet se problém redukuje na nezávislé problémy dvou těles, které jsou přesně vyřešeny; každá planeta se pohybuje v gravitačním poli Slunce po eliptické dráze podle Keplerových zákonů . Toto je řešení nerušeného problému nebo nulové aproximace . Síly z jiných planet deformují nebo narušují tyto eliptické dráhy. Následující metoda se používá k výpočtu trajektorie planety s přihlédnutím k poruchám. $N-1$

Polohu planety ve vesmíru a její rychlost lze nastavit pomocí šesti veličin (podle počtu stupňů volnosti ): polohlavní osa a excentricita oběžné dráhy, sklon její dráhy k rovině ekliptiky, zeměpisná délka . ascendentního uzlu , argument periapsis a okamžik průchodu perihéliem. Tyto veličiny (pro jednoduchost je označujeme ) jsou příznivě srovnatelné s kartézskými souřadnicemi a složkami rychlosti v tom, že jsou konstantní pro nerušený pohyb: $a_{i}$

a_{i}(t)=a_{i}^{{(0)}}={{\rm {const}}},

proto pohybové rovnice planety zapsané v nich obsahují malý parametr na pravé straně:

{\frac {da_{i}}{dt}}=\varepsilon f_{i}(a_{1},a_{2},...a_{6},t)\qquad \qquad (*)

Vzhledem k tomu je vhodné řešit pohybové rovnice metodou postupných aproximací. V první aproximaci dosadíme do pravé strany řešení nerušené rovnice a zjistíme:

a_{i}(t)=a_{i}^{{(0)}}+\varepsilon a_{i}^{{(1)}}(t)=a_{i}^{{(0)} }+\varepsilon \int _{0}^{t}f_{i}(a_{i}^{{(0)}},\tau )d\tau .

Pro nalezení druhé aproximace dosadíme nalezené řešení na pravou stranu (*) a vyřešíme výsledné rovnice atd.

V kvantové mechanice

Poruchová teorie v kvantové mechanice je aplikována, když Hamiltonian systému může být reprezentován ve formě

H=H^{{(0)}}+V

kde je neporušený Hamiltonián (navíc řešení odpovídající Schrödingerovy rovnice je přesně známo) a je malým sčítáním ( perturbace ). $H^{{(0)}}$ $PROTI$

Teorie stacionárních poruch

Problém je najít vlastní funkce Hamiltoniánu ( stacionární stavy ) a odpovídající energetické hladiny. Budeme hledat řešení Schrödingerovy rovnice pro náš systém

H|\psi _{n}\rangle =E_{n}|\psi _{n}\rangle \qquad \qquad (**)

ve formě sériového rozšíření

\psi _{n}=\psi _{n}^{{(0)}}+\psi _{n}^{{(1)}}+\psi _{n}^{{(2)} }+...

E_{n}=E_{n}^{{(0)}}+E_{n}^{{(1)}}+E_{n}^{{(2)}}+...\qquad \ qquad (***)

kde a jsou vlnové funkce a energetické hladiny nerušeného problému $\psi _{n}^{{(0)}}$ $E_{n}^{{(0)}}$

H^{{(0)}}|\psi _{n}^{{(0)}}\rangle =E_{n}^{{(0)}}|\psi _{n}^{{( 0)}}\rangle ,

a číslo vyjmenovává energetické hladiny. $n$

Dosazením (***) do (**) až do členů prvního řádu v poruchách získáme

(V-E_{n}^{{(1)}})|\psi _{n}^{{(0)}}\rangle =(E_{n}^{{(0)}}-H^ {{(0)}})|\psi _{n}^{{(1)}}\rangle

Vynásobením zleva a s přihlédnutím k tomu, že se jedná o ( ortonormální ) vlastní funkce nerušeného Hamiltoniánu, získáme $\psi _{m}^{{(0)}}$ $\psi _{m}^{{(0)}}$

E_{n}^{{(1)}}=V_{{nn}}

\psi _{n}^{{(1)}}=\sum _{{m\neq n}}{\frac {V_{{mn}}}{E_{n}^{{(0))) -E_{m}^{{(0)}}}}\psi _{m}^{{(0)}},

kde jsou maticové prvky poruchy. $V_{{mn}}\equiv \langle \psi _{m}^{{(0)}}|V|\psi _{n}^{{(0)}}\rangle$

Výše uvedený postup funguje, pokud nerušená hladina není degenerovaná . V opačném případě je pro nalezení korekcí prvního řádu nutné vyřešit sekulární rovnici . $E_{n}^{{(0)}}$

Opravy dalších řádů se nacházejí podobným způsobem, i když vzorce jsou mnohem složitější.

Nestacionární poruchová teorie

V kvantové teorii pole

Většina výpočtů v kvantové teorii pole, zejména v kvantové elektrodynamice (QED), se také provádí z hlediska teorie poruch. Nerušeným řešením jsou volná pole a malým parametrem je interakční konstanta (v elektrodynamice konstanta jemné struktury ). Feynmanovy diagramy jsou používány k reprezentaci podmínek série poruchových teorií ve vizuální formě . $\alpha = 1/137$

V dnešní době se mnoho výpočtů v QED neomezuje na první nebo druhý řád teorie poruch. Takže anomální magnetický moment elektronu se aktuálně (2015) počítá až do 5. řádu podle [1] . $\alpha$

Existuje však teorém, že řada poruch v QED není konvergentní, ale pouze asymptotická . To znamená, že od určitého (v praxi velmi velkého) řádu poruchové teorie se shoda mezi přibližným a přesným řešením již nezlepší, ale zhorší [2] .

Příklady neaplikovatelnosti poruchové teorie

Přes svou zdánlivou univerzálnost metoda teorie poruch nefunguje v určité třídě problémů. Příklady jsou okamžité efekty v řadě problémů v kvantové mechanice a kvantové teorii pole. Instantní příspěvky mají podstatné singularity v bodě expanze. Typický příklad okamžitého příspěvku má tvar:

T_{{inst}}=A\exp(-1/g)

, kde je malý parametr.

G

Tato funkce je v tuto chvíli neanalytická , a proto ji nelze rozšířit v řadě Maclaurin v . $g = 0$ $G$

Poznámky

↑ E. de Rafael. Aktualizace elektronových a mionových g-faktorů // [https://web.archive.org/web/20220120021627/http://www.arxiv.org/abs/1210.4705 Archivováno 20. ledna 2022 na Wayback Machine arXiv: 1210,4705 [hep-ph]]
↑ Akhiezer A.I., Berestetsky V.B. Kvantová elektrodynamika. - M .: Nauka, 1981. - S. 210-212.

Literatura

Fyzická encyklopedie / A.M. Prochorov (šéfredaktor). - M .: Velká ruská encyklopedie, 1988-99.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Kvantová mechanika (nerelativistická teorie). — Vydání 4. — M .: Nauka , 1989. — 768 s. - (" Teoretická fyzika ", svazek III). - ISBN 5-02-014421-5 .
Messiah A. Kvantová mechanika: Per. od fr. - V.2, 1979. - 584 s.
J. Zinn-Justin a UD Jentschura. Multi-instantony a přesné výsledky I: Dohady, rozšíření WKB a interakce Instanton // Ann. Phys. - 2004. - Sv. 313. - S. 197-267.
J. Zinn-Justin a UD Jentschura. Multi-instantony a přesné výsledky II: Specifické případy, efekty vyššího řádu a numerické výpočty // Ann. Phys. - 2004. - Sv. 313. - S. 269-325.
Dzhakalya G. E. O. Metody teorie poruch pro nelineární systémy. - M., Nauka, 1979. - 320 s.