Podprsenka a kočka

⟨	∣	⟩
podprsenka		ket
šikovnost		ket
již brzy		bka

Bra a ket ( anglicky bra-ket < bracket bracket ) je algebraický formalismus (notační systém) určený k popisu kvantových stavů . Také nazývaná Diracova notace . V maticové mechanice je tato notace obecně přijímána. Tato notace není nic jiného než jiná textová notace pro vektory, kovektory, bilineární formy a vnitřní součiny, a je proto použitelná (ačkoli ne tak běžně používaná) v lineární algebře obecně. Když je tento zápis použit v lineární algebře, jde obvykle o nekonečněrozměrné prostory a/nebo o lineární alegbru přes komplexní čísla.

Definice a použití

V kvantové mechanice je stav systému popsán paprskem v oddělitelném Hilbertově prostoru nebo ekvivalentně prvkem projektivního Hilbertova prostoru, jehož prvky se nazývají " stavové vektory " ( "ket-vektory" ) a označují se symbol . ${\mathcal {H}),$ $|\psi\rangle$

Každému ket-vektoru je přiřazen bra-vektor z prostorového konjugátu do, tedy od $|\psi\rangle$ ${\mathcal {H}),$ ${\mathcal {H}}^{*}.$

Bra-vektor z prostoru je definován vztahem: $\langle \psi |$ ${\mathcal {H}}^{*}$

$\langle \psi |\colon {\mathcal {H}}\to \mathbb {C} \colon \langle \psi |\left(|\rho \rangle \right)\rangle =\left(|\ psi \rangle ,\;|\rho \rangle \right)$ , pro jakýkoli ket vektor $|\rho \rangle .$

S určitými svobodami projevu se někdy říká, že vektory podprsenky „se shodují“ s jejich odpovídajícími komplexně konjugovanými ket vektory. V tomto případě jsou vektory a funkcionály nad vektory obvykle identifikovány se sloupci nebo řadami souřadnic jejich expanze v odpovídající bázi resp . ${\mathcal {H}}^{*}$ ${\mathcal {H}).$

Skalární součin vektoru podprsenky s vektorem ket (přesněji působení vektoru podprsenky na vektor ket) je zapsán tak, že se dva svislé pruhy „splývají“ a závorky jsou vynechány. Druhá mocnina vektoru je podle definice Hilbertova prostoru nezáporná: Kdykoli je to možné, je na vektory popisující stavy systému kladena podmínka normalizace. $\langle \varphi |\psi \rangle ;$ $\langle \psi |\psi \rangle \geqslant 0.$ $\langle \psi |\psi \rangle =1.$

Lineární operátory

Jestliže je lineární operátor od do , pak se působení operátoru na vektor ket zapíše jako $A\dvojtečka H\to H$ $H$ $H$ $A$ $|\psi\rangle$ $A|\psi \rangle .$

Pro každý operátor a bra-vector je zaveden funkcionál z prostoru , tedy bra-vektor vynásobený operátorem , který je definován rovností: $A$ $\langle \varphi |$ $(\langle \varphi |A)$ ${\mathcal {H}}^{*},$ $A$

{\bigg (}\langle \varphi |A{\bigg )}\;|\psi \rangle =\langle \varphi |\;{\bigg (}A|\psi \rangle {\bigg )} ,

pro jakýkoli vektor

|\psi\rangle .

Vzhledem k tomu, že na poloze závorek nezáleží, jsou obvykle vynechány a psány jednoduše $\langle \varphi |A|\psi \rangle .$

Tento výraz se nazývá operátorová konvoluce s vektorem podprsenka a vektorem ket. Hodnota tohoto výrazu je skalární ( komplexní číslo ). $A$ $\langle \varphi |$ $|\psi\rangle .$

Zejména maticový prvek operátoru na určité bázi (v tensorové notaci - ) je zapsán v Diracově notaci jako a průměrná hodnota pozorovatelného (bilineárního tvaru) na stavu - jako $A$ ${\displaystyle A_{kl))$ $\langle k|A|l\rangle ,$ $\psi$ $\langle \psi |A|\psi \rangle .$

Násobení vektorů operátorem (vektory ket vlevo, vektory podprsenky vpravo) dává vektory stejného typu a zapisuje se stejným způsobem jako v lineární algebře (tedy pokud jsou vektory bra a ket identifikovány s vektory - řádky a sloupce a operátory - se čtvercovými maticemi):

|{\tilde {\psi }}\rangle =A|\psi \rangle ,

\langle {\tilde {\varphi }}|=\langle \varphi |A.

Schrodingerova rovnice (pro stacionární stav) bude mít tvar:

H|\psi \rangle =E|\psi \rangle ,

kde je Hamiltonián a je skalární ( úroveň energie ).

H

E

Rozdíly mezi bra-ketovou notací a tradiční notací

V matematice se používá označení " hermitovský " skalární součin v Hilbertově prostoru, který má stejný význam jako násobení podprsenky ket. Matematici však obvykle považují lomené závorky za znak operace a nikoli za součást označení vektoru. Tradiční matematická notace, na rozdíl od Diracovy, není symetrická - předpokládá se, že oba vektory jsou hodnoty stejného typu a operace je antilineární v prvním argumentu z těchto dvou. $\langle \varphi ,\;\psi \rangle$

Na druhou stranu, součin podprsenky a ketu je bilineární , ale se dvěma argumenty různých typů. Konjugátem k vektoru ket bude vektor podprsenky (kde je imaginární jednotka ). V kvantové mechanice však lze tuto zvláštnost zápisu ignorovat, protože kvantový stav reprezentovaný vektorem nezávisí na jeho násobení žádnými komplexními čísly modulo one . $i|\psi\rangle$ $-i\langle \psi |$ $i$

Kromě toho použití podprsenky a ketu umožňuje zdůraznit rozdíl mezi stavem (psaným bez závorek a tyčinek) a konkrétními vektory, které jej reprezentují. $\psi$

Na rozdíl od algebraické notace, kde se prvky báze označují jako v notaci bra-ket, lze uvést pouze index základního prvku: V tomto jsou podobné tensorové notaci , ale na rozdíl od druhé umožňují zápis součinů operátorů. s vektory bez použití dalších (dolní nebo horní index) písmen. $e_{k},$ $\langle k|\;,\;|l\rangle .$

Matematické vlastnosti

Podprsenku a ket lze také použít v čisté matematice k označení prvků lineárních prostorů konjugovaných k sobě navzájem. Pokud jsou například ket-vektory považovány za "sloupcové vektory" a bra-vektory - "řádkové vektory". ${\mathcal {H}}=R^{n},$

Násobení bra- a ket-vektorů navzájem a operátory lze považovat za speciální případ maticového formalismu "řádek po sloupci" . Konkrétně je potřeba dát ket-vektory jako matice size , bra-vectors - of size , operátory - of size , kde je počet stavů kvantového systému ( dimenze prostoru ). Matice 1 × 1 mají jeden prvek a jsou identifikovány skaláry. V případě nekonečně-dimenzionálního prostoru stavů musí být na "matice" (ve skutečnosti řady ) uloženy další podmínky konvergence. $N\times 1$ $1\times N$ $N\times N$ $N$ ${\mathcal {H}}$

Vzorec pro konjugovaný vektor vypadá takto:

\langle \psi |={\begin{pmatrix}{\overline {c}}_{1},{\overline {c}}_{2},\ldots ,{\overline {c}}_ {N}\end{pmatrix}},

kde

|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{N}\end{pmatrix}}

Zadání typu vždy znamená skalár. Bra-vektor má vždy závorku vlevo ket-vektor - závorku vpravo Zavádí se také součin v "nepřirozeném" pořadí - (podobně jako maticové násobení sloupcového vektoru řádkovým vektorem), což dává tzv. ket-bra-operátor . Operátor má hodnost 1 a je produktem tenzoru . Takové operátory jsou často považovány za operátorovou teorii a kvantové výpočty . Operátor (když je normalizován ) je zejména projekce do stavu , přesněji do odpovídajícího jednorozměrného lineárního podprostoru v $\langle \ldots \rangle$ $\langle,$ $\rangle .$ $|\varphi \rangle \langle \psi |$ $|\psi \rangle \langle \varphi |$ $|\psi\rangle$ $\langle \varphi |.$ $|\psi \rangle \langle \psi |$ $\langle \psi |\psi \rangle =1$ $\psi$ ${\mathcal {H}).$

Asociativnost probíhá :

\langle \varphi |\cdot A|\psi \rangle \ =\ \langle \varphi |A|\psi \rangle \ =\ \langle \varphi |A\cdot |\psi \rangle ,

|\psi \rangle \cdot \langle \varphi |{\tilde {\psi }}\rangle \ =\ (|\psi \rangle \langle \varphi |)\cdot |{\tilde {\psi } }\rangle

atd.

Literatura

Belousov Yu.M. Kurz kvantové mechaniky. nerelativistická teorie. - M. : MIPT, 2006. - 408 s.
Davydov A. S. Kvantová mechanika. — M .: Nauka, 1973. — 704 s.
Dirac P.A.M. Principy kvantové mechaniky. — M .: Nauka, 1979. — 440 s.
Messiah A. Kvantová mechanika. - M. : Nauka, 1978. - T. 1. - 478 s.
Shpolsky E.V. Atomová fyzika. - M. : Nauka, 1974. - T. 2. - 448 s.
Yariv A. Úvod do teorie a aplikací kvantové mechaniky. — M .: Mir, 1984. — 360 s.