Soukromý prsten

Okruh kvocientů S −1 R komutativního kruhu R (s jednotkou) podle multiplikativního systému je prostor zlomků s čitateli z R a jmenovateli z S s aritmetickými operacemi a identifikacemi obvyklými pro zlomky. $S\subset R$

Používá se také termín lokalizace prstence R vzhledem k množině S . Tento termín pochází z algebraické geometrie : je-li R okruh funkcí na algebraické variety V , pak za účelem studia lokálních vlastností této variety v bodě p se obvykle uvažuje množina funkcí, které se v bodě p nerovnají nule. tento bod a lokalizuje R podél této množiny .

Obvyklý zápis pro lokalizaci (nebo okruh kvocientů) je S −1 R , ale v některých případech se častěji používají jiné zápisy. Je-li tedy S doplňkem prvočíselného ideálu I , označíme lokalizaci R jako R I (a nazýváme lokalizací kruhu podle prvočíselného ideálu), a je-li S množinou všech mocnin prvku f , používá se označení R f . Poslední dva případy jsou základem teorie obvodů .

Definice

Multiplikativní systém v kruhu R je podmnožina S v R , která obsahuje 1, neobsahuje nulu a je uzavřená násobením (v kruhu R ). Pro multiplikativní systém S tvoří množina ideál v kruhu R . V případě, že množina S neobsahuje nulové dělitele kruhu R , je ideál tvořen pouze nulou a soustava S se nazývá regulární. Jestliže R je celistvý kruh , pak každý multiplikativní systém v něm je pravidelný. $I_{S}=\{a\in R:\,\existuje s\in S,\,as=0\}$ $I_{S}$

Prvky kruhu zlomků kruhu R u multiplikativního systému S jsou formální zlomky tvaru r/s , kde r je libovolný prvek R a s je prvek množiny S . Dva zlomky a jsou považovány za ekvivalentní (představují stejný prvek podílového kruhu), pokud . Operace sčítání a násobení jsou definovány jako obvykle: ${\displaystyle r_{1}/s_{1))$ ${\displaystyle r_{2}/s_{2))$ ${\displaystyle r_{1}s_{2}-r_{2}s_{1}\in I_{S))$

r_{1}/s_{1}+r_{2}/s_{2}=(r_{1}s_{2}+r_{2}s_{1})/s_{1}s_{2 }

{\displaystyle r_{1}/s_{1}*r_{2}/s_{2}=r_{1}r_{2}/s_{1}s_{2))

Kontroluje se, že pokud jsou v součtu nebo součinu zlomky nahrazeny ekvivalentními, bude nový výsledek vyjádřen zlomkem ekvivalentním předchozímu. Takovými operacemi množina získává strukturu komutativního kruhu s jednotkou. Nula v něm je zlomek 0/1 , jednotka je zlomek 1/1 . $S^{-1}R$

Soukromé pole

Jestliže R je doména integrity , pak množina všech jejích nenulových prvků tvoří multiplikativní systém. Okruh kvocientů podle tohoto systému je pole a nazývá se pole kvocientů nebo pole vztahů , obvykle se označuje Frac(R) nebo Quot(R) . Všechny prvky podílového pole mají tvar a/b , kde a, b jsou prvky R a b ≠ 0, s obvyklými aritmetickými pravidly pro redukci, sčítání a násobení v čitateli a jmenovateli. Je snadné vidět, že pole kvocientů je nejmenší pole, do kterého lze vložit R. Například pole kvocientů pole je izomorfní s polem samotným.

Dochází k přirozenému vnoření prstence do jeho podílového pole, odesílání a až a/1 . Pole zlomků kruhu R splňuje následující univerzální vlastnost : jestliže h : R → F je injektivní homomorfismus kruhů z R do pole F , pak existuje jedinečný kruhový homomorfismus g : Quot( R ) → F , který se shoduje . s h na prvcích R . Tuto univerzální vlastnost lze vyjádřit následujícími slovy: pole kvocientů je standardní způsob, jak učinit prvky prstenu invertovatelnými , respektive prstenec kvocientů je standardní způsob, jak učinit některou podmnožinu prvků prstence invertovatelnými .

Z hlediska teorie kategorií lze konstrukci kvocientového pole popsat následovně. Uvažujme kategorii, jejíž objekty jsou integrální kruhy a jejichž morfismy jsou injektivní kruhové homomorfismy. Do této kategorie je zařazen funktor zapomnění z kategorie polí (protože všechny homomorfismy polí jsou injektivní). Ukazuje se, že tento funktor má levé adjunkt a integrálnímu kruhu přiřazuje jeho obor zlomků.

Vlastnosti

Okruh zlomků má kanonickou strukturu algebry nad kruhem R, protože spolu s kruhem S −1 R je okamžitě definován kanonický homomorfismus kruhu R na S −1 R (každý prvek r z R odpovídá zlomku r/1 ). Jádro tohoto homomorfismu je ideální . Je-li systém S regulární (neobsahuje nulové dělitele), je tento homomorfismus injektivní a kruh R je tak vnořen do jeho okruhu kvocientů vzhledem k systému S . V tomto případě je zlomek r/s jediným řešením rovnice sx = r . $I_{S}$
Jestliže oba prvky r a s patří k S , pak kruh S −1 R obsahuje zlomky r/s a s/r . Jejich součin je 1, takže jsou invertibilní. Naopak každý invertibilní prvek kruhu S −1 R má tvar er/s , kde r a s patří S a e je invertibilní prvek kruhu R .
Jestliže R je euklidovský kruh , pak jakýkoli kruh mezi R a jeho polem zlomků je kruhem zlomků kruhu R nějakým multiplikativním systémem S.
Pokud se systém S skládá pouze z invertibilních prvků kruhu R , pak se kanonický homomorfismus kruhu R na S −1 R změní v izomorfismus , protože každý zlomek r/s se ukáže být v kruhu R zrušitelný .
Mezi množinou prvočísel S −1 R a množinou prvočísel R , které množinu S neprotínají, existuje bijekce (indukovaná homomorfismem R → S −1 R ). Důležitý speciální případ této vlastnosti: lokalizace kruhu pomocí prvočísla p dává lokální kruh, jehož jediný prvočíslo je generováno obrazy prvků p .

Příklady

Pole kvocientů kruhu celých čísel je pole racionálních čísel . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$
Mocniny 10 tvoří multiplikativní systém. Kruh kvocientů s ohledem na něj bude prstencem konečných desetinných zlomků. $\mathbb {Z}$
Pole kvocientů polynomického kruhu nad polem k bude polem racionálních funkcí . $k[X_{1},X_{2},...,X_{n}]$ $k(X_{1},X_{2},...,X_{n})$
Sudá čísla ve tvaru prvočísla. Lokalizací kruhu podle něj bude kruh racionálních zlomků, ve kterých je jmenovatelem v neredukovatelném tvaru liché číslo. $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$
Uvažujme polynomický kruh k [ x ] a f = x . Pak R f je okruh Laurentových polynomů k [ x, x −1 ].

Soukromé moduly

Přibližně stejnou konstrukci lze aplikovat na moduly a pro libovolný A -modul M uvažovat modul podílů S −1 M . Pokud totiž množinu modulových prvků anihilujeme násobením některým prvkem multiplikativního systému S , lze snadno ověřit, že je tato množina uzavřena při sčítání a násobení prvkem prstence. Modul zlomků S −1 M je množina formálních zlomků tvaru m/s se vztahem ekvivalence , jestliže , s obvyklou operací sčítání zlomků a také s operací násobení prvky kruhu S − 1 A ve tvaru m/s * a/s' = am /ss' . $I_{S}$ ${\displaystyle r_{1}/s_{1}\equiv r_{2}/s_{2))$ ${\displaystyle r_{1}s_{2}-r_{2}s_{1}\in I_{S))$

Nechť je homomorfismus A -modulů, indukuje homomorfismus S −1 A -modulů mapujících m/s na u(m)/s . Je zřejmé , že , tedy operace S −1 je funktor . Navíc je tento funktor přesný . [1] Z toho vyplývá, že jestliže je podmodulem , pak je podmodulem . Uvažujeme -li dva podmoduly daného modulu, pak aplikace S −1 na ně permutuje se součtem modulů, průsečíkem modulů a s podílovým modulem. $u:M\to N$ $S^{-1}u:S^{-1}M\to S^{-1}N$ $S^{-1}(u\circ v):S^{-1}u\circ S^{-1}v$ $M'$ $M$ $S^{-1}M'$ $S^{-1}M$

Existuje reprezentace modulu kvocientů pomocí tenzorového součinu: Z tohoto zobrazení az přesnosti lokalizačního funktoru vyplývá, že modul je plochý . $S^{-1}M\cong S^{-1}A\otimes _{A}M.$ $S^{-1}M$

Místní vlastnosti

Vlastnost P kruhu A (nebo A -modulu M ) se nazývá lokální , pokud jsou následující příkazy ekvivalentní:

A (resp. M ) má vlastnost P ,
A I (resp. M I ) má vlastnost P pro všechny prvoideály I kruhu A .

Lze uvést následující příklady lokálních vlastností: vlastnost modulu být roven nule, vlastnost homomorfismu být injektivní nebo surjektivní (je třeba uvažovat homomorfismy vyvolané lokalizací), vlastnost modulu být plochý .

Poznámky

↑ Atiyah M., McDonald I. Úvod do komutativní algebry. — 2003.

Odkazy

Atiyah M., McDonald I. Úvod do komutativní algebry. - Factorial Press, 2003. - ISBN 5-88688-067-4 .
Zarissky O., Samuel P. Komutativní algebra. - T.1. — M .: IL, 1963.