Totální derivace funkce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 11. prosince 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Celková derivace funkce je časovou derivací funkce podél trajektorie.

Výpočet celkové derivace funkce vzhledem k času t , (na rozdíl od parciální derivace , ) neznamená, že jiné argumenty (tj. jiné než argument t , s ohledem na které se provádí úplná derivace: x a y ) jsou konstantní , jak se t mění . Celková derivace zahrnuje tyto nepřímé závislosti na t (tj. x(t) a y(t) ), aby popsala závislost f na t . $f=f(t,x(t),y(t))$ ${\frac {{\mathrm {d}}f}{{\mathrm {d}}t}}$ ${\frac {\částečné f}{\částečné t))$

Operátor \ Funkce	$f(x)$	$f(x,y,u(x,y),v(x,y))$
Rozdíl	jeden: $\operatorname {d} \!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x$	2: $\operatorname {d} _{x}\!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x$ 3: $\operatorname {d} \!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x+f'_{ y}\jméno operátora {d} \!y+f'_{u}\jméno operátora {d} \!u+f'_{v}\jméno operátora {d} \!v$
Parciální derivace	$f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!X}}$	$f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(2)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d} _{x}\!f}{\ operatorname {d} \!x}}={\partial f \over \partial x}$
totální derivace	${\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}f '_{X}$	${\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(3)} }{}}{=}}f '_{x}+f'_{u}{\frac {\operatorname {d} \!u}{\operatorname {d} \!x}}+f'_{v}{\frac {\operatorname { d} \!v}{\operatorname {d} \!x));(f'_{y}{\frac {\operatorname {d} \!y}{\operatorname {d} \!x}}= 0)$

Příklad č. 1

Například pro zmíněnou funkci f = f(t, x(t), y(t)) se celková derivace funkce vypočítá podle následujícího pravidla :

{\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}f(t_{0},x(t_{0}),y(t_{0}))=\left. {\frac {\partial f}{\partial t}}\right|_{{t_{0},x(t_{0}),y(t_{0))}}{\frac {{\mathrm { d}}t}{{\mathrm {d}}t}}+\vlevo.{\frac {\částečné f}{\částečné x}}\vpravo|_{{t_{0},x(t_{0 }),y(t_{0})}}{\frac {{\mathrm {d}}x}({\mathrm {d}}t}}+\left.{\frac {\partial f}{\ částečné y}}\right|_{{t_{0},x(t_{0}),y(t_{0})}}{\frac {{\mathrm {d}}y}{{\mathrm { d}}t}},

což zjednodušuje

{\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}f(t,x(t),y(t))={\frac {\částečné f}{\částečné t ))+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac ({\mathrm {d}}x}({\mathrm {d}}t}}+{\frac {\partial f} {\partial y}}{\frac {{\mathrm {d}}y}{{\mathrm {d}}t}},

kde jsou parciální derivace . ${\frac {\partial f}{\partial t)),{\frac {\partial f}{\partial x)),{\frac {\partial f}{\partial y))$

Je třeba poznamenat, že označení je podmíněné a neznamená rozdělení diferenciálů . Celková derivace funkce navíc závisí nejen na funkci samotné, ale také na trajektorii. ${\frac {df}{dt))$

Příklad č. 2

Například celková derivace funkce : $f(x(t),y(t))$

{\displaystyle {df \over dt}={\partial f \over \over dt))

Není zde žádný , protože sám o sobě („explicitně“) nezávisí na . ${\partial f \over \partial t}$ $F$ $t$

Aplikace

Liouvilleova věta zachování fázového objemu

Viz také

Diferenciální počet

Hlavní

soukromé pohledy

Diferenční operátory
( v různých souřadnicích )

První objednávka	Operátor Nabla Spád Divergence Rotor Helmholtzian
druhá objednávka	Eliptický operátor Laplaceův operátor Laplaceův vektorový operátor Operátor D'Alembert Operátor Laplace-Beltrami
vyšší řády	Hypoeliptický operátor

související témata