Metoda nedělitelných

Metoda nedělitelných je název souboru technik vzniklých na konci 16. století, určených k výpočtu ploch geometrických tvarů nebo objemů geometrických těles [1] . Myšlenkou metody pro rovinné figury bylo rozdělit tyto figury na figury s nulovou šířkou („nedělitelné“, obvykle se jedná o rovnoběžné segmenty), které se pak beze změny délky „složí“ a vytvoří další obrazec, plochu \u200b\u200b který je již znám (viz .příklady níže). Výpočet objemu prostorových těles je obdobný, pouze jsou rozdělena nikoli na segmenty, ale na „nedělitelné“ ploché obrazce [2] . Formalizace těchto technik do značné míry předurčila následný vznik a vývojintegrální počet .

Nejúplnějšího vyjádření a teoretického opodstatnění se metodě nedělitelných dostalo v práci italského matematika Bonaventury Cavalieriho „Geometrie nedělitelné spojité, odvozené novým způsobem“ ( lat . Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota , 1635) [3] [ 4]

Příklad a kritika

Samotná nedělitelná metoda je souborem technik bez jasného popisu. Proto je lepší začít s následujícím příkladem, který již zná Archimedes .

Vypočítejte obsah kruhu o poloměru . Vzorec pro obvod kruhu se považuje za známý. $R$ $L=2\pi R$

Rozbijme kruh na nekonečně malé kroužky. Uvažujme také trojúhelník s délkou a výškou základny , který také rozdělíme na úseky rovnoběžné se základnou. Každý prstenec o poloměru a délce může být spojen s jednou z částí trojúhelníku stejné délky . Potom, podle Cavalieriho principu , jsou obsahy kruhu a trojúhelníku stejné. Plocha trojúhelníku se zjistí jako součin délky jeho základny a poloviny výšky: $L$ $R$ $r$ $L=2\pi r$ $L$

2\pi R\cdot {\frac {R}{2}}=\pi R^{2}.

Cavalieriho paradox

Matematici okamžitě upozornili na možnost chybné aplikace principu nedělitelných; jeden takový příklad uvedl sám Cavalieri v dopise Torricellimu (viz obrázek). Trojúhelníky ABD a BCD se skládají ze svislých nedělitelných částí a každá nedělitelná levého trojúhelníku (EF) může být spojena jedna ku jedné s nedělitelnou stejné délky (GH) pravého trojúhelníku. Odtud lze podle základního principu učinit mylný závěr, že obsahy trojúhelníků jsou stejné [5] . Cavalieri však nedal jasné pravidlo, jak se vyvarovat chyb.

Cavalieriho princip

Cavalieri ve svém pojednání Geometrie nedělitelných spojitých odvozených novým způsobem formuloval teoretické základy metody nedělitelných takto:

Obrazce spolu souvisí, stejně jako všechny jejich přímky, brané podle jakékoli reguláry [základny rovnoběžek], a tělesa – stejně jako všechny jejich roviny, brané podle jakékoli reguláry.

Pokud mají dvě tělesa stejnou výšku a pokud řezy těles, stejně vzdálené a rovnoběžné s rovinou, na které spočívají, zůstanou vždy v daném poměru, pak objemy těles zůstanou v tomto poměru.

V moderní podobě:

Pro letadlo Plochy dvou obrazců s tětivami stejně dlouhými ve všech jejich společných sečnech rovnoběžných s přímkou, na jejímž jedné straně leží, jsou stejné. Pro prostor Objemy dvou těles nad rovinou se stejnými průřezy všech běžných sečných rovin rovnoběžných s danou rovinou jsou stejné.

Cavalieriho princip byl jedním z prvních kroků k integrálnímu počtu . Zejména pomocí infinitezimálního zápisu Cavalieri dokázal teorém ekvivalentní modernímu vzorci

\int _{0}^{a}x^{n}\,dx={\frac {a^{n+1}}{n+1}}.

Moderní teorémy zobecňující Cavalieriho princip jsou coarea formule a Tonelli-Fubini teorém .

Příklad

Myšlenka hledání svazků v tomto příkladu sahá až k Archimedovi .

Vypočítejte objem polokoule o poloměru r . Předpokládá se, že vzorce pro oblast kruhu a také pro objem kužele a válce jsou známé.

Nakreslete řezy polokoulí s rovinami rovnoběžnými s její základnou. Polokoule se rozpadne na nekonečně malé kruhy (viz obrázek). Při výšce h bude plocha průřezu rovna , nebo (podle Pythagorovy věty ) . $\pi (r')^{2}$ $\pi (r^{2}-h^{2})$

Dále uvažujme kruhový válec o výšce r , s poloměrem základny také r , ze kterého je vyříznut kužel špičkou dolů. Toto těleso seřízneme rovnoběžně se základnou. V úseku ve výšce h získáte prstenec s plochou . Všimněte si, že tato oblast je stejná jako u polokoule. $\pi r^{2}-\pi h^{2}$

Proto jsou podle Cavalieriho principu objemy obou těles stejné. Objem tělesa znázorněný vpravo na Obr. 3 se rovná

\pi \cdot r^{2}\cdot r-{\frac {1}{3}}\cdot \pi \cdot r^{2}\cdot r={\frac {2}{3} }\pi \cdot r^{3}.

Závěr: objem plné koule (dvě hemisféry) je $2\cdot {\frac {2}{3}}\pi r^{3}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.$

Historie

Již Archimedes ve svých studiích rozřezal prostorové těleso s rovnoběžnými rovinami a reprezentoval toto těleso jako jakési album, spojení takových úseků ( infinitezimální rozklad , tedy rozklad na nekonečně malé prvky). Zde je možný vliv atomistů s jejich „nedělitelnými“. Archimédes však považoval za nutné znovu dokázat výsledky získané metodou nedělitelných přísnou metodou vyčerpání . Evropští matematici, počínaje 16. stoletím , také používali metodu vyčerpání k provádění kvadratur (výpočet oblastí) a určování těžišť .

Kepler dal nový život metodě nedělitelných ve své knize New Stereometrie of Wine Barrels (17. století). [6] V The New Astronomy Kepler často používá koncept „nedělitelných“, včetně formulování svých tří zákonů pohybu planet; například místo plochy zmínil „součet poloměrových vektorů“.

Tato metoda mohla být vyvinuta nezávisle Robervalem . [7]

Nejvýraznějším a nejvlivnějším představitelem „geometrie nedělitelného“ byl Cavalieri . V jeho prezentaci na sebe Keplerovy infinitezimální reprezentace vzaly podobu obecných výpočetních technik. Síla a relativní jednoduchost nové metody udělala na matematiky extrémně silný dojem. U Cavalieriho studovaly celé generace, od Wallise po Leibnize . Torricelli nazval metodu nedělitelnosti „královskou cestou“ v geometrii.

Galileo byl obeznámen s metodou nedělitelných, ale jasně viděl její slabé a nebezpečné stránky. V korespondenci a novějších dílech se zamýšlí nad podstatou nekonečna, ukazuje, že nekonečná množina se může rovnat své části, která má menší míru, takže úvahy o nedělitelných jsou špatně podložené. Přesto sám ve skutečnosti používal nedělitelná při studiu rovnoměrně zrychleného pohybu [8] .

Vallis , který se seznámil s Cavalieriho metodou z Torricelliho knihy, se rozhodl ji algebraizovat. Místo geometrické transformace sekcí zabuduje číselnou řadu „Aritmetika nekonečna“ ( 1656 ), kterou nyní nazýváme integrální součty , a tyto součty najde.

Bez ohledu na Wallise a o 30 let dříve tyto integrály vypočítali Fermat a Roberval . V posmrtně publikované eseji Fermat mistrovsky aplikoval techniky, jako je integrace po částech a změna proměnných, což mu umožnilo vypočítat mnoho komplexních integrálů zlomkových racionálních funkcí a polynomů se zlomkovými mocninami.

Fermatovy paměti se staly široce známými, protože téměř úplně pokrývají výsledky Cavalieriho, ale prezentované metody jsou mnohem kompaktnější a srozumitelnější. Navíc se integrální součty ukázaly být použitelné pro problémy nepřístupné Cavalieriho metodě - například rovnání ( měření oblouku ) křivky. Roberval ve 40. letech 17. století prozkoumal Archimedovu , Fermatovu a Torricelliho spirálu – paraboly a spirály vyšších řádů. Gilles Roberval (1634-1636) a Christopher Wren ( 1658 ) cykloidu narovnali .

Vzhledem ke zranitelnosti vůči kritice těch objevů, které byly získány pomocí metody nedělitelných, mnozí matematici (Fermat, Pascal , Barrow atd.) ve svých dílech poznamenali, že všechny jejich výsledky lze snadno vyvrátit přísnými metodami starověku. Barrow však k této výhradě ironicky dodal: „ale proč?“. [9]

Descartes používal ve své Optice infinitezimální metody, ale obecně se snažil do této oblasti nezabývat. V pojednání „Geometrie“ vyjádřil názor, že narovnání algebraických čar je nemožné. Toto tvrzení bylo vyvráceno až o dvacet let později: v 50. letech 17. století čtyři matematici najednou, včetně Fermata a Huygense , provedli opravu semikubické paraboly . Sám Descartes však úspěšně narovnal ne algebraickou, ale transcendentální křivku - logaritmickou spirálu , jejíž délka oblouku, počítaná od pólu, je úměrná vektoru poloměru konce oblouku - vlastnost, kterou znal i Torricelli. .

Wallisova myšlenka – algebraizace infinitezimální metody – dosáhla svého nejvyššího rozvoje po objevu matematické analýzy Newtonem a Leibnizem . Newton ve svých „Principech“ podal první nástin obecné teorie limit (11 lemmat), aniž by postuloval analogii Cavalieriho principu, ale důsledně to dokazuje (důsledek z Lemma IV):

Jsou-li obecně dvě veličiny jakéhokoli druhu rozděleny na stejný počet částí a s nekonečným nárůstem jejich počtu a poklesem v každé z nich, jejich vzájemný poměr, tj. první k první, druhý k druhému atd., zůstává konstantní, pak budou samotná množství ve stejném poměru.

Zde jsou nedělitelná nahrazena proměnnými, jejichž velikost tíhne k nule; v tomto případě již nemůže vzniknout „Cavalieriho paradox“, protože poměr veličin porovnávaných v paradoxu (šířky malých čtyřúhelníků v oddíle) není roven jednotě.

Po vytvoření analýzy byla metoda nedělitelných pouze historicky zajímavá. Nicméně, dokonce více než století před prací Cauchy , ospravedlnění pro analýzu infinitesimals byl jak nepřesvědčivý jako to metoda indivisibles.

Viz také

Tonelli-Fubiniho věta

Poznámky

↑ Nedělitelná metoda // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích) . - M . : Sovětská encyklopedie , 1982. - T. 3.
↑ Cavalieriho princip // Kazachstán. Národní encyklopedie . - Almaty: Kazašské encyklopedie , 2005. - T. III. — ISBN 9965-9746-4-0 . (Ruština) (CC BY SA 3.0)
↑ Dějiny matematiky, II. díl, 1970 , str. 175.
↑ Bonaventura Cavalieri (italský matematik) Archivováno 11. června 2015 na Wayback Machine - Encyclopedia Britannica.
↑ Čítanka k dějinám matematiky, 1977 , str. 51.
↑ Kepler, Johannes . Nová stereometrie vinných sudů Archivováno 8. února 2013 na Wayback Machine . - M.-L.: GTTI, 1935. - 360 s.
↑ Florian Cajori , Historie matematiky, 5. vydání, 1991, str. 162.
↑ Čítanka k dějinám matematiky, 1977 .
↑ Bourbaki N. Architektura matematiky. Eseje o historii matematiky. - M . : Zahraniční literatura, 1963. - S. 177.

Literatura

Lurie S. Ya. Teorie infinitezimálů mezi starověkými atomisty. — M. — L .: Ed. Akademie věd SSSR, 1935.
Matematika 17. století // Historie matematiky / Editoval A.P. Juškevič , ve třech svazcích. - M. : Nauka, 1970. - T. II.
Čtenář o historii matematiky. Matematická analýza. Teorie pravděpodobnosti / Ed. A. P. Juškevič . - M . : Vzdělávání, 1977. - 224 s.

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Velký Rus Britannica (online)

Počet infinitezimálů a infinitezimálů
Příběh	Leibnizova notace Integrální znak Metoda nedělitelných
Související destinace	Vlastní analýza
Formalismy	Rozdíl
Koncepty	Standardní část čísla Princip přechodu Hyperinteger Věta o přírůstku Monad Interní sada Field of Levi-Civita Hyperfinite set Zákon kontinuity přetečení Mikrokontinuita Transcendentní zákon homogenity
Vědci	Archimedes Leibniz Robinson Farma Cauchy Euler
Literatura	Analýza infinitezimálů Elementární výpočty Kurz analýzy