Nejjednodušší mechanismus

Nejjednodušším mechanismem je mechanické zařízení, které mění směr nebo velikost síly . [2] Obecně je lze definovat jako nejjednodušší nástroje, které ke zvýšení síly využívají mechanický zisk (také nazývaný pákový efekt ). [3] Termín obvykle odkazuje na šest klasických nejjednodušších mechanismů, které našli renesanční vědci : [4] [5] [6]

Nejjednodušší mechanismus využívá jednu působící sílu k práci proti jedné zátěžové síle. Bez zohlednění ztrát třením se práce vykonaná na zátěži rovná práci vykonané aplikovanou silou. Mechanismus může zvýšit výstupní sílu proporcionálním snížením vzdálenosti, kterou náklad urazí. Poměr výstupní síly k aplikované síle se nazývá mechanické zesílení .

Nejjednoduššími mechanismy lze dosáhnout zvýšení rychlosti pohybu. V těchto případech je pohyblivá část spojena s dlouhým koncem páky (např. píst parního stroje parní lokomotivy přenáší velkou sílu přes ojnici na krátké rameno kliky a v důsledku toho ráfek kola získá větší rychlost), volný konec kladkostrojů atd. a k pohonu mechanismu je nutné vyvinout sílu odpovídající počtukrát větší, než je reakční síla. [7]

Nejjednodušší stroje lze považovat za základní „stavební bloky“, které tvoří stále složitější stroje (někdy nazývané „složené stroje“ [8] [9] ). [3] [10] Například kola, páky a bloky se používají v mechanismu jízdního kola . [11] [12] Mechanické zisky složeného mechanismu jsou jednoduše součinem mechanických zisků těch nejjednodušších mechanismů, ze kterých se skládá.

Ačkoli mají stále velký význam v mechanice a aplikované vědě, moderní mechanika se posunula za představu nejjednodušších mechanismů jako minimálních stavebních bloků, které tvoří všechny stroje , které se objevily během renesance jako neoklasické rozšíření starověkých řeckých textů. Těchto šest kategorií dostatečně nepopisuje obrovskou rozmanitost a sofistikovanost moderních mechanických spojení, která se objevila během průmyslové revoluce . Různí porenesanční autoři sestavili rozšířené seznamy „primitivních mechanismů“, přičemž často používali termíny jako základní stroje , [11] složené stroje [8] nebo strojové prvky , aby je odlišili od výše popsaných klasických primitivních mechanismů. Do konce 19. století identifikoval Franz Reuleaux [13] stovky strojních prvků a nazval je jednoduchými stroji . [14] Moderní teorie strojů analyzuje stroje jako kinematické řetězce sestávající z elementárních článků nazývaných kinematické dvojice .

Historie

Myšlenka nejjednoduššího mechanismu vznikla u řeckého filozofa Archiméda kolem třetího století před naším letopočtem, který studoval archimedovské nejjednodušší mechanismy: páku, blok a šroub . Objevil princip mechanického zisku pro páku. [15] Slavná Archimédova poznámka o páce: „Dejte mi místo, na kterém bych mohl stát, a já pohnu Zemí“ ( řecky δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω ) [16] vyjadřuje pochopení, že neexistuje žádná hranice koeficient přenosu, kterého lze dosáhnout pomocí mechanického zesílení. Pozdější řečtí filozofové identifikovali klasických pět nejjednodušších mechanismů (s výjimkou nakloněné roviny ) a byli schopni vypočítat jejich (ideální) mechanický zisk. [9] Například Hrdina Alexandrie (asi 10–75 n. l.) ve svém díle Mechanika uvádí pět mechanismů, které dokážou „uvést zátěž do pohybu“; páky , vrátku, špalíku , klínu a šroubu a popisuje jejich výrobu a použití. Chápání Řeků se však omezovalo na statiku nejjednodušších mechanismů (rovnováhu sil) a nezahrnovalo dynamiku , kompromis mezi silou a vzdáleností nebo koncept práce .

Během renesance se začalo uvažovat o dynamice mechanických sil , jak se nejjednodušším strojům říkalo, z hlediska toho, jak daleko dokážou zvednout břemeno, kromě síly, kterou mohou vyvinout, což nakonec vedlo k novému pojetí mechanické práce . . V roce 1586 získal vlámský inženýr Simon Stevin mechanickou výhodu nakloněné roviny a byla začleněna do dalších jednoduchých strojů. Kompletní dynamickou teorii nejjednodušších mechanismů vyvinul italský vědec Galileo Galilei v roce 1600 v pojednání Le Meccaniche ( O mechanice ), ve kterém ukázal, že nárůst síly je základem matematické podobnosti těchto mechanismů. [17] [18] Jako první vysvětlil, že nejjednodušší stroje energii nevytvářejí , ale pouze přeměňují.

Klasická pravidla pro posuvné tření ve strojích objevil Leonardo da Vinci (1452-1519), ale nebyla publikována a jednoduše zdokumentována v jeho sešitech a byla založena na přednewtonské vědě, jako je víra ve tření jako éterickou tekutinu. Znovu je objevil Guillaume Amonton (1699) a dále je rozvinul Charles-Augustin de Coulomb (1785). [19]

Typy nejjednodušších mechanismů

Je obvyklé rozlišovat osm jednoduchých mechanismů, z nichž čtyři jsou variací dvou hlavních:

Nakloněná rovina je jednoduchý mechanismus ve formě roviny nastavené v ostrém úhlu k vodorovné ploše.
- Klín - umožňuje zvýšit tlak díky koncentraci síly na malé ploše. Používá se v oštěpu , lopatě , kulce atd.
- Šroub - používá se do šroubů a ke zvedání vody ( Archimédův šroub ), jako vrták do vrtáků atd.
Páka - popsal Archimedes . Používá se zejména ke zvedání závaží, jako spínače a spouště ( ojnice-klika - používá se ve stavu, parní stroj , spalovací motory ).
- Brána - používá se pro zvedání vody ve studních a pro řemenový převod atd.
- Blok - kolo s drážkou, kterou prochází lano, kabel nebo řetěz. Používá se ke změně velikosti nebo směru síly.
Kolo - používané ve vozidlech a převodech . Nejstarší nálezy kol se nacházejí na území moderního Rumunska (neolitická kultura Cucuteni - Tripolis ) a pocházejí z poslední čtvrtiny 5. tisíciletí před naším letopočtem. E. [dvacet]
Píst - umožňuje využít energii expandujících zahřátých plynů nebo páry . Aplikuje se zejména na střelné zbraně , spalovací motor a parní stroj .

Ideální jednoduchý mechanismus

Pokud nejjednodušší mechanismus neztrácí energii v důsledku tření, opotřebení nebo deformace, pak se energie šetří a nazývá se ideální nejjednodušší mechanismus. V tomto případě se výkon dodávaný do stroje rovná výstupnímu výkonu a mechanické zesílení lze vypočítat na základě jeho geometrických rozměrů.

I když každý stroj pracuje mechanicky jinak, matematicky fungují stejně. [21] V každém stroji síla působící na zařízení v jednom bodě vede k provedení práce přesunu břemene silou v jiném bodě. [22] Ačkoli některé stroje pouze mění směr síly, jako například pevný blok, většina strojů zvyšuje sílu o faktor rovný mechanickému zesílení. $F_{\text{in}}\,$ $F_{\text{out}}\,$

\mathrm {MA} =F_{\text{out}}/F_{\text{in}}\,

které lze vypočítat z geometrie stroje a tření.

Nejjednodušší mechanismy neobsahují zdroj energie [23] , takže nemohou vykonat více práce , než dostanou z přicházející síly. [22] Nejjednodušší mechanismus bez tření a pružnosti se nazývá ideální nejjednodušší mechanismus . [24] [25] [26] Díky zachování mechanické energie v ideálním jednoduchém mechanismu je výstupní výkon (rychlost změny energie) v každém okamžiku roven příkonu $P_{\text{out}}\,$ $P_{\text{in}}\,$

P_{\text{out}}=P_{\text{in}}\!

Výstupní výkon se rovná rychlosti zatížení vynásobené zatěžovací silou . Podobně je příkon z aplikované síly roven rychlosti vstupního bodu krát aplikovaná síla . Tudíž, $v_{\text{out}}\,$ $P_{\text{out}}=F_{\text{out}}v_{\text{out}}\!$ $v_{\text{in}}\,$ $P_{\text{in}}=F_{\text{in}}v_{\text{in}}\!$

F_{\text{out}}v_{\text{out}}=F_{\text{in}}v_{\text{in}}\,

Mechanický zisk ideálního stroje se tedy rovná poměru otáček , poměru vstupních a výstupních otáček $\mathrm {MA} _{\text{ideal}}\,$

\mathrm {MA} _{\text{ideal}}={F_{\text{out}} \over F_{\text{in}}}={v_{\text{in}} \over v_ {\text{out}}}\,

Poměr rychlostí se také rovná poměru ujetých vzdáleností v daném časovém období [27] [28] [29]

{v_{\text{out}} \over v_{\text{in}}}={d_{\text{out}} \over d_{\text{in}}}\,

Mechanické zesílení ideálního mechanismu se tedy také rovná poměru ujeté vzdálenosti na vstupu ke vzdálenosti ujeté na výstupu.

$\mathrm {MA} _{\text{ideal}}={F_{\text{out}} \over F_{\text{in}}}={d_{\text{in}} \over d_ {\text{out}}}\,$

Lze jej vypočítat na základě geometrie mechanismu. Například poměr mechanického zisku a vzdálenosti pro páku se rovná poměru ramen páky .

Mechanický zisk může být větší nebo menší než jedna:

Pokud je výstupní síla větší než vstupní, stroj funguje jako zesilovač, ale vzdálenost, kterou urazí zátěž, je menší než vzdálenost, kterou urazí vstupní síla . $\mathrm {MA} >1\,$ $d_{\text{out}}\,$ $d_{\text{in}}\,$
Pokud je výstupní síla menší než vstupní síla, ale vzdálenost, o kterou se náklad přesune, je větší než vzdálenost, kterou posune vstupní síla. $\mathrm {MA} <1\,$

U vrtule , která využívá rotační pohyb, musí být vstupní síla nahrazena momentem a otáčky úhlovou rychlostí hřídele.

Tření a účinnost

Všechny skutečné stroje jsou vystaveny tření, které rozptyluje část vstupní energie ve formě tepla. Označíme-li výkon ztracený třením v důsledku zákona zachování energie $P_{\text{fric}}\,$

P_{\text{in}}=P_{\text{out}}+P_{\text{fric}}\,

Mechanická účinnost stroje (kde ) je definována jako poměr výstupního výkonu ke vstupnímu výkonu a je mírou ztráty energie třením. $\eta \,$ $0<\eta \ <1$

\eta \equiv {P_{\text{out}} \over P_{\text{in}}}\,

P_{\text{out}}=\eta P_{\text{in}}\,

Jak je uvedeno výše, síla je produktem síly a rychlosti

F_{\text{out}}v_{\text{out}}=\eta F_{\text{in}}v_{\text{in}}\,

Tudíž,

$\mathrm {MA} ={F_{\text{out}} \over F_{\text{in}}}=\eta {v_{\text{in}} \over v_{\text{out} }}\,$

U neideálních strojů je tedy mechanický zisk vždy menší než poměr otáček ke koeficientu η . Mechanismus s třením tedy nebude schopen přemístit tak velké zatížení jako odpovídající ideální mechanismus za použití stejné vstupní síly.

Kompozitní mechanismy

Složený mechanismus je stroj složený ze sady jednoduchých mechanismů zapojených do série, přičemž výstupní síla jednoho zajišťuje vstupní sílu dalšího. Například stolní svěrák se skládá z páky (rukojeť svěráku) zapojené do série se šroubem, zatímco jednoduché ozubené soukolí se skládá z řady ozubených kol ( kol a náprav ) zapojených do série.

Mechanický vrchol složeného mechanismu je poměr výstupní síly aplikované na poslední mechanismus v sérii ke vstupní síle aplikované na první mechanismus, tzn.

\mathrm {MA} _{\text{compound}}={F_{\text{outN}} \over F_{\text{in1}}}\,

Vzhledem k tomu, že výstupní síla každého mechanismu hraje roli vstupní síly pro následující , je tento mechanický zisk také poskytován působením celého řetězce mechanismů. $F_{\text{out1))=F_{\text{in2)),\;F_{\text{out2))=F_{\text{in3)),\ldots \;F_{\text{ outK}}=F_{\text{inK+1}}$

\mathrm {MA} _{\text{compound}}={F_{\text{out1}} \over F_{\text{in1}}}{F_{\text{out2}} \over F_{ \text{in2}}}{F_{\text{out3}} \over F_{\text{in3}}}\ldots {F_{\text{outN}} \over F_{\text{inN}}}\ ,

Mechanický zisk složeného mechanismu se tedy rovná součinu mechanických zisků řady jednoduchých mechanismů, které jej tvoří.

\mathrm {MA} _{\text{compound}}=\mathrm {MA} _{1}\mathrm {MA} _{2}\ldots \mathrm {MA} _{\text{N}} \,

Podobně je účinnost složeného mechanismu také součinem účinnosti počtu jednoduchých mechanismů, které jej tvoří.

\eta _{\text{compound}}=\eta _{1}\eta _{2}\ldots \;\eta _{\text{N}}.\,

Samosvorné mechanismy

V mnoha jednoduchých mechanismech, pokud je zatěžovací síla F out na mechanismu dostatečně velká ve vztahu ke vstupní síle F in , pak se mechanismus posune dozadu, zatímco zatěžovací síla vytvoří práci s příchozí silou. [30] Tyto mechanismy lze tedy použít v libovolném směru, přičemž hnací síla působí v libovolném bodě. Pokud je například zátěžová síla na páku dostatečně velká, páka se posune dozadu a posune vstupní páku v opačném směru než je vstupní síla (převážení). Říká se jim „ reverzibilní “ nebo „ neblokující “ mechanismy.

U některých mechanismů, pokud jsou třecí síly dostatečně velké, je však žádná zatěžovací síla nemůže posunout zpět, i když je vstupní síla nulová. Toto se nazývá „samouzamykací“, „nevratný“ mechanismus . [30] Tyto mechanismy lze uvést do pohybu pouze vstupní silou, a když je vstupní síla odstraněna, zůstanou nehybné, „uzamčené“ třením, v jakékoli poloze, ve které jsou zastaveny.

K samosvornosti dochází především u mechanismů s velkými plochami kluzného kontaktu pohyblivých částí: šroub , nakloněná rovina a klín :

Nejběžnějším příkladem je šroub. U většiny vrtulí může aplikace krouticího momentu na hřídel způsobit jeho otáčení, lineární pohyb hřídele, aby pracoval proti zatížení, ale žádné axiální zatížení hřídele nezpůsobí jeho otočení zpět.
V nakloněné rovině může být břemeno zvednuto do roviny boční vstupní silou, ale pokud rovina není příliš strmá a existuje dostatečné tření mezi zátěží a rovinou, pak když je vstupní síla odstraněna, zátěž bude zůstanou nehybné a nebudou klouzat po povrchu, bez ohledu na jeho hmotnost.
Klín lze zarazit do dřevěného bloku silou na konci, například úderem perlíkem, odtlačením bloku od sebe, ale žádné stlačení dřevěných stěn ho nepřinutí vyskočit z bloku zpět.

Stroj bude samosvorný právě tehdy, když jeho účinnost η bude nižší než 50 %: [30]

\eta \equiv {\frac {F_{out}/F_{in}}{d_{in}/d_{out}}}<0,50\,

Zda bude mechanismus samosvorný, závisí jak na silách tření ( koeficient statického tření ) mezi jeho částmi, tak na poměru vzdálenosti din / dout ( ideální mechanický zisk). Pokud je tření i ideální mechanické zesílení dostatečně velké, pak dojde k samosvornosti.

Důkaz

Když se mechanismus pohybuje v dopředném směru z bodu 1 do bodu 2, zatímco přicházející síla pracuje se zatěžovací silou, pak ze zákona zachování energie [31] [32] bude vstupní práce rovna součtu práce vykonaná se zatěžovací silou a práce ztracená v důsledku tření $W_{\text{1,2}}\,$ $W_{\text{load}}\,$ $W_{\text{fric}}\,$

W_{\text{1,2}}=W_{\text{load}}+W_{\text{fric}}

Pokud je účinnost nižší než 50% $\eta =W_{\text{load}}/W_{\text{1,2}}<1/2\,$

2W_{\text{load}}<W_{\text{1,2}}\,

Z rov. jeden

2W_{\text{load}}<W_{\text{load}}+W_{\text{fric}}\,

W_{\text{load}}<W_{\text{fric}}\,

Když se mechanismus pohybuje zpět z bodu 2 do bodu 1, nebo když zatěžovací síla působí na přicházející sílu, dochází ke ztrátě energie v důsledku tření. . Podobně $W_{\text{fric}}\,$

W_{\text{load}}=W_{\text{2,1}}+W_{\text{fric}}\,

Tedy výstupní práce

W_{\text{2,1}}=W_{\text{load}}-W_{\text{fric}}<0\,

Mechanismus je tedy samosvorný, protože práce rozptýlená třením je větší než práce vykonaná zatěžovací silou pohybující se zpět, a to i při absenci vstupní síly.

Moderní teorie mechanismů

Stroje jsou považovány za mechanické systémy, skládající se z pohonů a jednoduchých mechanismů , které přenášejí síly a pohyb, ovládané senzory a ovladači. Komponenty aktuátorů a mechanismů se skládají z článků a závěsů, které tvoří kinematické řetězce.

Kinematické řetězce

Nejjednoduššími mechanismy jsou základní příklady kinematických řetězců , které se používají k modelování mechanických systémů od parních strojů po robotická ramena. Ložiska, která tvoří osu ramene a umožňují otáčení kola, nápravy a bloků, jsou příklady kinematické dvojice zvané otočná. Stejně tak rovná plocha nakloněné roviny a klín by byly příklady kinematické dvojice zvané posuvný spoj. Šroub je obvykle označován jako vlastní kinematická dvojice, nazývaná šroubovitý kloub.

Dvě páky nebo kliky jsou spojeny do plochého čtyřtyčového spojovacího systému připojením páky , která spojuje výstup jedné kliky se vstupem druhé. Další články mohou být připojeny k vytvoření šestičlánkového článku nebo v sérii k vytvoření robota. [25]

Klasifikace mechanismů

Identifikace nejjednodušších mechanismů vychází z touhy vytvořit systematickou metodu pro vynalézání nových strojů. Důležitou otázkou tedy je, jak jsou jednoduché mechanismy kombinovány za účelem vytvoření složitějších mechanismů. Jedním z přístupů je zapojit jednoduché mechanismy do série za účelem získání složitých strojů.

Úspěšnější nápad však představil Franz Reuleaux , který shromáždil a prostudoval přes 800 základních strojů. Uvědomil si, že páka, kladka, kolo a náprava jsou ve skutečnosti jedno a totéž zařízení: tělo otáčející se kolem závěsu. Podobně nakloněná rovina, klín a šroub jsou blokem klouzajícím po rovném povrchu. [33]

Tato implementace ukazuje, že jsou to klouby nebo klouby, které zajišťují pohyb, které jsou hlavními prvky stroje. Počínaje čtyřmi typy závěsů, otočným kloubem , posuvným kloubem , vačkovým kloubem a ozubeným kloubem , jakož i souvisejícími spoji, jako jsou kabely a řemeny, lze stroj chápat jako sestavu pevných částí, které tyto spoje spojují. [25]

Kinematická syntéza

Návrh mechanismů k provedení potřebného pohybu a přenosu síly je známý jako kinematická syntéza. Jedná se o soubor geometrických metod pro mechanické navrhování pák , vaček a hnaných mechanismů, ozubených kol a ozubených kol .

Poznámky

↑ Chambers, Ephraim (1728), Table of Mechanicks , sv. 2, Londýn, Anglie, str. 528, deska 11
↑ Mechanické vědy: inženýrská mechanika a pevnost materiálů , Prentice Hall of India
↑ 1 2 Understanding Physics , Barnes & Noble , < https://books.google.com/books?id=pSKvaLV6zkcC&q=Asimov+simple+machine&pg=PA88 > Archivováno 14. ledna 2022 na Wayback Machine
↑ Fyzika pro technické studenty: Mechanika a teplo . — McGraw Hill. — str. 112.
↑ Mechanika , Encyclopaedia Britannica , sv. 3, John Donaldson, 1773, str. 44 , < https://books.google.com/books?id=Ow8UAAAAQAAJ&q=%22simple+machine%22+%22mechanical+powers%22+lever+screw+inklined+plane+wedge+wheel+pulley&pg=PA44 > . Staženo 5. dubna 2020. . Archivováno 10. července 2021 na Wayback Machine
↑ Akademický tiskový slovník vědy a techniky . - Gulf Professional Publishing, 1992. - S. 1993. - ISBN 9780122004001 . Archivováno 14. ledna 2022 na Wayback Machine
↑ Landsberg G.S. Základní učebnice fyziky. Svazek 1. - M. , Nauka , 1964. - str. 162
↑ 1 2 Compound machines , University of Virginia Physics Department , < http://galileo.phys.virginia.edu/outreach/8thgradesol/compoundmachine.htm > Archivováno 3. srpna 2019 na Wayback Machine
↑ 1 2 Usher, Abbott Payson. Historie mechanických vynálezů . - US : Courier Dover Publications, 1988. - S. 98. - ISBN 978-0-486-25593-4 . Archivováno 14. ledna 2022 na Wayback Machine
↑ Valdštejn, Ondřej. Základy kognitivní podpory: Směrem k abstraktním vzorcům užitečnosti . Springer. Archivováno z originálu dne 2022-01-14 . Staženo 2020-12-08 . Použitý zastaralý parametr |deadlink=( nápověda )
↑ 1 2 Prater, Edward L. (1994), Základní stroje , Profesionální rozvojové a technologické centrum námořnictva USA, NAVEDTRA 14037 , < http://www.constructionknowledge.net/public_domain_documents/Div_1_General/Basic_Skills/Machines%20 %20NAVEDTRA%2014037%201994.pdf > Archivováno 6. listopadu 2020 na Wayback Machine
↑ US Navy Bureau of Naval Personnel (1971), Základní stroje a jak fungují , Dover Publications , < http://www.webpal.org/SAFE/aaarecovery/5_simple_technology/basic_machines.pdf > Archivováno 22. září 2016 na stroji Wayback
↑ Reuleaux, F. (1963), Kinematika strojního zařízení (přeložil a anotoval ABW Kennedy) , přetiskl Dover
↑ Cornell University, Reuleaux Collection of Mechanisms and Machines na Cornell University , Cornell University , < http://kmoddl.library.cornell.edu/rx_collection.php > Archivováno 11. března 2016 ve Wayback Machine
↑ Chiu, YC (2010), Úvod do historie projektového řízení , Delft: Eburon Academic Publishers, str. 42, ISBN 978-90-5972-437-2 , < https://books.google.com/books?id=osNrPO3ivZoC&q=%22heron+of+alexandria%22++load+motion&pg=PA42 > Archivováno od 14. ledna 2022 na Wayback Machine
↑ Citováno Pappusem z Alexandrie v synagoze , kniha VIII
↑ Krebs, Robert E. Přelomové experimenty, vynálezy a objevy středověku . - Greenwood Publishing Group, 2004. - S. 163. - ISBN 978-0-313-32433-8 . Archivováno 28. května 2013 na Wayback Machine
↑ Stephen, Donald. Kola, hodiny a rakety: historie technologie . - W. W. Norton & Company, 2001. - ISBN 978-0-393-32175-3 . Archivováno 18. srpna 2016 na Wayback Machine
↑ Armstrong-Hélouvry, Brian. Řízení strojů s třením . - Springer, 1991. - S. 10. - ISBN 978-0-7923-9133-3 . Archivováno 14. ledna 2022 na Wayback Machine
↑ Kolo nebylo vynalezeno na východě. Archivováno 12. prosince 2013 na Wayback Machine - Interview with. n. S. Ústav dějin hmotné kultury Ruské akademie věd A. D. Rezepkin do novin " Moskovsky Komsomolets ".
↑ Tento základní pohled byl předmětem díla Galilea Galileiho z roku 1600 Le Meccaniche (O mechanice)
↑ 1 2 Bhatnagar, VP Kompletní kurz certifikační fyziky . - Indie : Pitambar Publishing, 1996. - S. 28–30. - ISBN 978-81-209-0868-0 . Archivováno 14. ledna 2022 na Wayback Machine
↑ Simmons, Ron. Objevit! Práce a stroje / Ron Simmons, Cindy Barden. - US : Milliken Publishing, 2008. - ISBN 978-1-4291-0947-5 .
↑ Gujral, IS Inženýrská mechanika. - Firewall Media, 2005. - ISBN 978-81-7008-636-9 .
↑ 1 2 3 Uicker, Jr., John J.; Pennock, Gordon R. & Shigley, Joseph E. (2003), Teorie strojů a mechanismů (třetí vydání), New York: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-515598-3
↑ Paul, Burton (1979), Kinematika a dynamika rovinných strojů , Prentice Hall, ISBN 978-0-13-516062-6
↑ Rao, S. Inženýrská mechanika / S. Rao, R. Durgaiah. - Universities Press, 2005. - S. 80. - ISBN 978-81-7371-543-3 . Archivováno 14. ledna 2022 na Wayback Machine
↑ Goyal, MC inženýrská mechanika / MC Goyal, GS Raghuvanshee. - PHI Learning, 2011. - S. 212. - ISBN 978-81-203-4327-6 . Archivováno 14. ledna 2022 na Wayback Machine
↑ Avison, John. Svět fyziky . - Nelson Thornes, 2014. - S. 110. - ISBN 978-0-17-438733-6 . Archivováno 14. ledna 2022 na Wayback Machine
↑ 1 2 3 Gujral, I.S. Inženýrská mechanika . - Firewall Media, 2005. - S. 382. - ISBN 978-81-7008-636-9 . Archivováno 30. září 2021 na Wayback Machine
↑ Rao, S. Inženýrská mechanika / S. Rao, R. Durgaiah. - Universities Press, 2005. - S. 82. - ISBN 978-81-7371-543-3 . Archivováno 14. ledna 2022 na Wayback Machine
↑ Goyal, MC inženýrská mechanika / MC Goyal, GS Raghuvanshi. - PHI Learning Private Ltd., 2009. - S. 202. - ISBN 978-81-203-3789-3 . Archivováno 15. ledna 2022 na Wayback Machine
↑ Hartenberg, RS & J. Denavit (1964) Kinematická syntéza vazeb Archivováno 19. května 2011 na Wayback Machine , New York: McGraw-Hill, online odkaz z Cornell University .

Slovníky a encyklopedie	Britannica (online) Universalis Granátové jablko
V bibliografických katalozích	BNF : 13336090z J9U : 987007546249205171 LCCN : sh85122744 LNB : 000301032