Stretch (geometrie)
Protahování je operace na mnohostěnu (v libovolné dimenzi, nejen v trojrozměrném prostoru), při které se oddělují fasety a posouvají se radiálně ve směru od středu, na oddělených prvcích (vrcholy, hrany atd.) se tvoří fasety nové. .). Tyto stejné operace lze chápat jako operace, které udržují fasety na místě, ale zmenšují jejich velikost.
Polytop je chápán jako vícerozměrný mnohostěn a dále v článku jsou tyto pojmy používány jako synonyma (slovo „multidimenzionální“ lze vynechat, pokud je významově předpokládáno) [1] .
Natažením pravidelného vícerozměrného polytopu vznikne jednotný polytop , ale operaci lze aplikovat na jakýkoli konvexní polytop , jak je ukázáno pro polytopy v článku „ Conwayova notace pro polytopy “. V případě 3D polytopů má natažený polytop všechny plochy původního polytopu, všechny plochy duálního polytopu a další čtvercové plochy na místě původních hran.
Protahování pravidelných polytopů
Podle Coxetera definovala tento termín pro vysokorozměrná tělesa Alicia Buhl Stott [2] za účelem vytvoření nových vysokorozměrných mnohostěnů. Přesněji, vytvořit jednotné vícerozměrné mnohostěny z pravidelných vícerozměrných mnohostěnů .
Operace natahování je symetrická pro pravidelné polytopy a jejich dvojité mnohostěny. Výsledné těleso obsahuje fasety jak pravidelného mnohostěnu, tak jeho duálního mnohostěnu, stejně jako další prizmatické fasety, které vyplňují prostor mezi prvky nižší dimenze.
Protažení má do určité míry různý význam pro různé dimenze . Ve Wythoffově konstrukci je protažení generováno odrazem od prvního a posledního zrcadla. Ve vyšších dimenzích lze úsek zapsat pomocí (dolního) indexu, takže e 2 je stejné jako t 0,2 v libovolné dimenzi.
Poznámka : Názvy operací na mnohostěnech v ruskojazyčné literatuře se neustálily, takže anglické názvy s překladem jsou uvedeny níže .
Podle rozměrů:
- Běžný mnohoúhelník {p} se rozšíří na pravidelný 2p-úhelník.
- Pro polygony je operace totožná s operací zkrácení , e{p} = e 1 {p} = t 0,1 {p} = t{p} a má Coxeter-Dynkinův diagram
.
- Pro polygony je operace totožná s operací zkrácení , e{p} = e 1 {p} = t 0,1 {p} = t{p} a má Coxeter-Dynkinův diagram
- Pravidelný polytop {p,q} ( 3-rozměrný polytop) expanduje do polytopu s vrcholovým obrazcem p.4.q.4 .
- Pro mnohostěny se tato operace nazývá "kantelace" , e{p,q} = e 2 {p,q} = t 0,2 {p,q} = rr{p,q} a operace má Coxeterův diagram
.
Například kosočtverec může být nazýván dilatovanou krychlí , dilatovaným oktaedrem , stejně jako šikmou krychlí nebo šikmým oktaedrem .
- Pro mnohostěny se tato operace nazývá "kantelace" , e{p,q} = e 2 {p,q} = t 0,2 {p,q} = rr{p,q} a operace má Coxeterův diagram
- Běžný {p,q,r} 4D polytop (4-polytop) se roztáhne do nového 4D polytopu se stejnými {p,q} buňkami, nové buňky {r,q} se vytvoří místo starých vrcholů, p -gonální hranoly se tvoří na místě starých (2-rozměrných) ploch a r-gonální hranoly na místě starých hran.
- Pro 4rozměrné mnohostěny se tato operace nazývá "runcination" (hoblování), e{p,q,r} = e 3 {p,q,r} = t 0,3 {p,q,r} a operace má Coxeterův diagram
.
- Pro 4rozměrné mnohostěny se tato operace nazývá "runcination" (hoblování), e{p,q,r} = e 3 {p,q,r} = t 0,3 {p,q,r} a operace má Coxeterův diagram
- Podobně je běžný {p,q,r,s} 5D polytop rozšířen na nový 5D polytop s fazetami {p,q,r}, {s,r,q}, hranoly {p,q}× { }, hranoly {s,r}×{ } a duoprismata {p} × {s}.
- Operace se nazývá "sterikace" (sekání), e{p,q,r,s} = e 4 {p,q,r,s} = t 0,4 {p,q,r,s} = 2r2r {p,q,r,s} a operace má Coxeterův diagram
.
- Operace se nazývá "sterikace" (sekání), e{p,q,r,s} = e 4 {p,q,r,s} = t 0,4 {p,q,r,s} = 2r2r {p,q,r,s} a operace má Coxeterův diagram
Obecná operace protahování pravidelného n-rozměrného mnohostěnu je t 0,n-1 {p,q,r,...}. Na místo každého vrcholu jsou přidány nové pravidelné plošky a pro každou rozdělenou hranu, (2D) plochu atd. jsou přidány nové hranolové polytopy.
Viz také
Poznámky
- ↑ V ruskojazyčné literatuře se jako konvexní tělesa obvykle chápou pravidelné mnohostěny (polytopy dimenze > 3) a mnohostěny, v anglicky psané literatuře se za pravidelné mnohostěny (polytopy) považují také hvězdicovité pravidelné mnohostěny.
- ↑ Coxeter, 1973 , str. 123,210.
Literatura
- HSM Coxeter . Pravidelné polytopy. - třetí edice. - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 ..První vydání: Methuen & Co. Ltd., Londýn, 1948
- Weisstein, Eric W. Expansion (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
- Norman Johnson. Jednotné polytopy. - 1991. - (rukopis).
- NW Johnson. Teorie jednotných polytopů a voštin. — Ph.D. University of Toronto, 1966. - (Ph.D. disertační práce).
| Nadace | zkrácení | úplné zkrácení | Hluboké zkrácení | Dualita _ |
protahování | Zkrácení | Alternace | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
    
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| t 0 {p, q} {p, q} |
t 01 {p,q} t{p, q} |
t 1 {p, q} r{p, q} |
t 12 {p,q} 2t{p, q} |
t 2 {p, q} 2r{p, q} |
t 02 {p,q} rr{p, q} |
t 012 {p,q} tr{p, q} |
ht 0 {p,q} h{q, p} |
ht 12 {p,q} s{q, p} |
ht 012 {p,q} sr{p, q} |