Rychlý-pomalý systém

Rychlý-pomalý systém v matematice je dynamický systém, ve kterém existují procesy probíhající v různých časových měřítcích. Fázové proměnné takového systému jsou rozděleny do dvou tříd: "rychlé" a "pomalé" proměnné. Rychlost změny "rychlých" proměnných téměř ve všech bodech fázového prostoru je mnohem větší než rychlost změny "pomalých" proměnných. Trajektorie takových systémů se skládají ze střídajících se úseků pomalého „driftu“ a rychlých „přestávek“. Rychle-pomalé systémy popisují různé fyzikální a jiné jevy, při kterých se postupně vyvíjíkumulace malých změn v čase vede k prudkému přechodu systému do nového dynamického režimu. [jeden]

Související pojmy: singulárně narušený systém , relaxační oscilace , dynamické bifurkace .

Formální definice a základní pojmy

Uvažujme rodinu soustav obyčejných diferenciálních rovnic

${\begin{cases}{\tečka {x}}=f(x,y,\varepsilon )\\{\tečka {y}}=\varepsilon g(x,y,\varepsilon),\end {cases}}\quad x\in \mathbb {R} ^{n},\ y\in \mathbb {R} ^{m},\ \varepsilon \in (\mathbb {R} ,0)$

Jestliže f a g plynule závisí na jejich argumentech a je to malý parametr , pak takto zapsaná rodina definuje rychle-pomalý systém. Proměnná x se nazývá rychlá proměnná, y se nazývá pomalá proměnná. Teorie rychle-pomalých systémů studuje asymptotické chování systémů tohoto typu pro . $\varepsilon$ $\varepsilon\na 0$

Pomalá křivka je množina nul funkce f: . Když se systém nazývá "rychlý": proměnná y je pevný parametr. Pomalá křivka se skládá z pevných bodů rychlého systému a je tedy jeho invariantní varietou . Pro malý , rychle-pomalý systém je malá porucha rychlého: mimo jakékoli pevné sousedství rychlost změny proměnné libovolně převyšuje rychlost změny proměnné . Z geometrického hlediska to znamená, že mimo okolí pomalé křivky jsou trajektorie soustavy prakticky rovnoběžné s osou rychlého pohybu . (Na obrázcích je tradičně vyobrazen svisle, viz obrázek.) ${\displaystyle M:=\{(x,y)\mid f(x,y,0)=0\))$ $\varepsilon=0$ $\varepsilon \neq 0$ $M$ $X$ $y$ $X$

Pro úsek pomalé křivky, který je malý v malém sousedství a je jedinečně promítán ve směru rychlého pohybu (to znamená, že nemá záhyby nebo jiné konstrukční prvky), si systém zachovává invariantní rozdělovač , který se blíží pomalá křivka . Tato invariantní varieta se nazývá opravdová pomalá křivka . Jeho existenci lze odvodit z Fenichelova teorému nebo z teorie centrálních variet . Je specifikován nejedinečným způsobem, ale všechny takové invariantní variety jsou exponenciálně blízko (tj. vzdálenost mezi nimi je odhadnuta jako ). $\varepsilon$ $O(\varepsilon )$ $M$ $O(\exp -C/|\varepsilon |)$

Průmět vektorového pole rychlého systému ve směru rychlého pohybu na pomalou křivku se nazývá pomalé pole a rovnice daná tímto polem a definovaná na pomalé křivce se nazývá pomalá rovnice . Dynamika narušeného systému (at ) na skutečné pomalé křivce je aproximována pomalou rovnicí s přesností . $\varepsilon \neq 0$ $O(\varepsilon )$

Smíšený systém

Pro analýzu rychle-pomalých systémů je často užitečné uvažovat o tzv. smíšeném systému . Předpokládáme, že na pomalé křivce je dynamika dána pomalou rovnicí a mimo pomalou křivku rychlým systémem. "Trajektorie" takového systému (tzv. "singulární trajektorie") je po částech hladká křivka sestávající ze střídajících se oblouků stabilní části pomalé křivky a rychlých zlomů.

V rychlých a pomalých systémech v rovině (to znamená, když jsou rychlé a pomalé proměnné jednorozměrné), za určitých podmínek nedegenerace umožňují singulární trajektorie smíšeného systému „simulovat“ chování rychlého pomalý systém pro malé : „skutečná“ trajektorie prochází v sousedství jednotného čísla. Jeho dynamika spočívá ve střídání fází pomalého „driftu“ v blízkosti stabilních úseků pomalé křivky a rychlých „zlomů“ po trajektoriích rychlého pohybu. $\varepsilon \neq 0$ $O(\varepsilon )$

V průběhu „pomalého“ pohybu trajektorie urazí pevnou vzdálenost v čase řádu , přičemž je exponenciálně přitahována odpovídající skutečnou pomalou křivkou (a dalšími trajektoriemi). $O(1/\varepsilon )$

Relaxační cykly

Zvažte následující rychle-pomalý systém spojený s Van der Polovým oscilátorem :

${\begin{cases}{\dot {x}}&=-y+xx^{3};\\{\dot {y}}&=\varepsilon x.\end{cases}}$

Jeho pomalá křivka je kubická parabola . (Viz obr.) U smíšeného systému je snadné sestrojit tzv. "singulární cyklus" procházející body , , , . Všimněte si, že cyklus je způsoben tím, že pomalé pole je nasměrováno vpravo nahoře v grafu a vlevo dole; navíc na nestabilní části pomalé křivky má pomalý systém pevný bod. $y=xx^{3}$ $G_{1}$ $F_{2}$ $G_{2}$ $F_{1}$

V blízkosti tohoto singulárního cyklu má rychlý-pomalý systém „skutečný“ stabilní limitní cyklus. Skutečně pomalá křivka v blízkosti segmentu pokračuje v přímém čase za bodem zastavení , rozpadne se, dosáhne blízkosti spodní části pomalé křivky, poté se přesune doleva poblíž skutečné pomalé křivky odpovídající segmentu , podstoupí zastaví se vzhůru a opět spadne do blízkosti oblouku . Vlivem efektu exponenciální konvergence trajektorií při pohybu v blízkosti stabilních úseků pomalé křivky (viz konec předchozí části) je Poincarého mapa z transverzál k sobě (viz obr.) mapa kontrakcí , a proto má pevný bod . To znamená, že systém má limitní cyklus. O takovém systému se také říká, že prožívá relaxační oscilace . $\varepsilon >0$ $F_{1}G_{1}$ $G_{1}$ $F_{2}G_{2}$ $F_{1}G_{1}$ $J$

Historický přehled

Relaxační vibrace

Relaxační oscilace byly poprvé objeveny v radiotechnice . K popisu oscilací v obvodu , který obsahuje dva odpory , kapacitu , indukčnost a tetrodu , navrhl B. Van der Pol na konci 20. let 20. století [2] obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu ( Van der Pol rovnice ), v závislosti na parametru, který budeme označovat . Zadaný parametr byl vyjádřen prostřednictvím parametrů obrysových prvků. Při malých oscilacích v obvodu se blížily harmonickým, ale s nárůstem se jejich charakter měnil a při velkých hodnotách parametru se v dynamice oscilačního procesu začaly rozlišovat úseky dvou typů: „pomalé “ se mění a rychle „skáče“ z jednoho stavu do druhého. Van der Pol navrhl, aby se takové oscilace nazývaly relaxační oscilace , a předložil hypotézu, že pro , odpovídající řešení se stávají nespojitými. (V tomto ohledu se relaxační oscilace také často nazývají nespojité .) $\mu$ $\mu$ $\mu$ $\mu \to +\infty$

Podobné účinky byly také pozorovány v jiných fyzikálních systémech. Zejména při analýze různých multivibračních obvodů A. A. Andronov a A. A. Witt zjistili [1] , že některé „parazitní“ parametry (jako je odpor nebo vlastní indukčnost vodiče), tradičně vyřazené z důvodu jejich relativní malé velikosti při sestavování modelu , může výrazně ovlivnit chování systému: například se podílet na vytváření pozitivní zpětné vazby a hrát tak klíčovou roli při výskytu samooscilací . Jejich odmítnutí tedy vedlo k neadekvátnímu modelu. Zpočátku byl vliv malých parametrů zohledněn zavedením „postulátu skoku“ navrženého L. I. Mandelstamem , podle kterého bylo z fyzikálních úvah deklarováno, že po dosažení určitého stavu systém „okamžitě“ přechází do jiného. Stát. Matematické zdůvodnění „postulátu skoku“ získali N. A. Zheleztsov a L. V. Rodygin [3] [4] , a vyžadovalo zvážení rovnic, ve kterých byl „parazitním“ malým parametrem koeficient na nejvyšší derivaci a jeho zahrnutí se zvýšilo řád rovnice — nebo jinými slovy rozměr fázového prostoru odpovídajícího systému. Od 40. let 20. století tak začali různí badatelé uvažovat o systémech formy

\left\{{\begin{matice}\varepsilon x'&=&f(x,y,\varepsilon ),\\y'&=&g(x,y,\varepsilon ).\end{matice} }\že jo.

((*))

nebo po změně na jiné časové měřítko : $t=\tau /\varepsilon$

{\begin{cases}{\tečka {x}}=f(x,y,\varepsilon),\\{\tečka {y}}=\varepsilon g(x,y,\varepsilon),\ end{cases}}

((**))

kde a mohou být, obecně řečeno, vícerozměrné souřadnice, a je to malý parametr. Klasická van der Polova rovnice je redukována na systém podobného tvaru pomocí Liénardovy transformace (v tomto případě ). Takové systémy se v moderní terminologii nazývají "fast-slow": souřadnicový - rychlý, - pomalý. Zajímavostí je asymptotické chování řešení pro . $X$ $y$ $\varepsilon$ $\varepsilon \sim 1/\mu$ $X$ $y$ $\varepsilon\na 0$

Rychlé a pomalé systémy

Fázové portréty systémů (*) a (**) při pevném se shodují, ale omezující chování při je odlišné: limit (*) se nazývá pomalý systém (určuje pohyb v „pomalém čase“ ) a limit ( **) se nazývá rychlý . Traktorias rychlého systému leží v rovinách a množina nul funkce , nazývaná pomalý povrch , se skládá výhradně ze singulárních (pevných) bodů rychlého systému (které tedy nejsou izolované). Naopak trajektorie pomalého systému leží zcela na pomalém povrchu. $\varepsilon \neq 0$ $\varepsilon \to 0$ $\tau$ $y={\mathrm {c} onst}$ ${\displaystyle M:=\{(x,y)\mid f(x,y,0)=0\))$ $F$

Zohlednění těchto omezujících systémů umožnilo vysvětlit výskyt „okamžitých skoků“. Pomalý systém odpovídá modelu, při jehož konstrukci byly zavrženy „parazitní“ malé parametry. Přiměřeně popisuje chování reálného systému pro malý , ale pouze tak dlouho, dokud k pohybu dochází v blízkosti pomalých povrchových segmentů, které se skládají ze stabilních singulárních bodů rychlého systému. Trajektorie pomalého systému však může v určitém bodě dosáhnout hranice přitahující oblasti. V tuto chvíli může trajektorie skutečného systému u trpět zastavením : opustit blízkost pomalého povrchu a přejít z pomalého pohybu do rychlého pohybu, který je nastaven rychlým systémem. Jedná se o pozorovaný "skok" (na pomalém časovém měřítku k němu dochází "okamžitě", to znamená, že trajektorie má nespojitost; na rychlém časovém měřítku v čase řádu ), který nelze vysvětlit zanedbáním malých parametry. V tomto případě může trajektorie, sledující rychlou dynamiku, opět dopadat na stabilní úsek pomalého povrchu, po kterém bude rychlý pohyb opět nahrazen pomalým pohybem atd. $\varepsilon$ $\varepsilon \neq 0$ $\tau$ $O(1)$

Tak bylo možné popsat chování řešení rychle-pomalých systémů, uvažujících v nich střídající se fáze pomalého pohybu podél stabilních úseků pomalého povrchu, určených pomalým systémem, a zastavení podél trajektorií rychlého systému. Pokud jsou rychlé a pomalé souřadnice jednorozměrné (to znamená, že jsou uvažovány rychlé a pomalé systémy v rovině), je tento popis splněn s typickou trajektorií typického systému. Uzavřená trajektorie procházející úseky rychlých a pomalých pohybů je relaxačním cyklem odpovědným za vznik relaxačních oscilací.

Další výzkum v této oblasti směřoval především k hledání asymptotik s ohledem na různé parametry skutečných trajektorií systému v (např. perioda relaxačních kmitů). Značné potíže způsobila analýza dynamiky v okolí bodů zhroucení, kde dochází k přechodu z rychlého do pomalého pohybu. Tento problém vyřešili koncem 50. let L. S. Pontrjagin a E. F. Miščenko [5] [6] . Důležité výsledky získali A. N. Tichonov, A. B. Vasil'eva, L. Flatto, N. Levinson a další [7] [8] . První členy asymptotické řady pro periodu relaxačních oscilací ve Van der Polově rovnici poprvé vypočítal A. A. Dorodnitsyn [9] . Řadu asymptotik pro obecný případ rychle-pomalého systému na rovině získal J. Haag ve 40. letech [10] [11] . Metody vyvinuté Pontrjaginem a Miščenkem umožnily získat úplnou asymptotiku pro řešení typických rychle-pomalých systémů na rovině, které byly popsány v monografii E. F. Mishchenka a N. Kh. Rozova [12] , která se stala klasikou . $\varepsilon$ $\varepsilon\na 0$

Utahovací vzpěry a kachny

Ukázalo se však, že tento jednoduchý kvalitativní popis nevyčerpává všechny možné typy trajektorií rychle-pomalých systémů. V 70. letech tedy Pontryagin objevil fenomén oddalování ztráty stability : ukázalo se, že v analytických rychle-pomalých systémech s dvourozměrnou rychlou souřadnicí může po překročení hranice stability trajektorie zůstat po dlouhou dobu blízko již nestabilní část pomalého povrchu (projíždění po něm oddělené od nulové vzdálenosti), a teprve poté podstoupit poruchu a přejít na rychlý pohyb. Na konkrétním příkladu byl tento efekt studován v práci M. A. Shishkové [13] v roce 1973, provedené pod vedením Pontrjagina; obecný případ analyzoval A. I. Neishtadt [14] v roce 1985.

Podobný efekt objevili studenti J. Riby (E. Benois, J. Callot, F. Diene, M. Diene) [15] [16] počátkem 80. let v rychle-pomalých systémech s jedním rychlým a jedním pomalým variabilní. Studovali zrod relaxačního limitního cyklu v systému Van der Pol s dalším parametrem. Ukázalo se, že když v pevném bodě tento parametr prochází exponenciálně úzkým (in ) intervalem (tj. intervalem délky řádu ), limitní cyklus zrozený z singulárního bodu v důsledku Andronov-Hopfovy bifurkace prochází několika etapy evoluce, než nabyly podoby klasického relaxačního cyklu. V tomto případě, jak se ukázalo, pro mezilehlé hodnoty parametru procházejí odpovídající limitní cykly poblíž některých oblouků nestabilní části pomalé křivky. Takové trajektorie se nazývaly „kachny“ ( francouzsky kachna , nyní se používá i anglická kachna ) – částečně kvůli kontraintuitivnímu efektu, který byl zprvu vnímán jako „kachna z novin“, částečně kvůli svému tvaru, nejasně připomínajícímu létající kachnu. [7] [17] . Útková řešení byla nalezena v různých chemických, biologických a jiných modelech. [osmnáct] $\varepsilon$ $\varepsilon$ $\exp(-C/\varepsilon )$

Zpočátku byly kachní roztoky studovány metodami nestandardní analýzy , ale brzy na ně byly schopny aplikovat již klasické metody asymptotických řad (W. Ekkauz [19] , E. F. Mishchenko, A. Yu. Kolesov, Yu. S Kolesov, N. Kh Rozov [20] [21] ), a později - geometrická teorie singulárně perturbovaných systémů (rozvinutá N. Fenichelem [22] ) s využitím metody zvětšování (F. Dumortier a R. Roussari [ 23] , M. Krupa a P. Smolyan [24] ). Ukázalo se, že kachní roztoky jsou v rovinných systémech „vzácným“ jevem. Zejména cykly přitahování útku, které lze detekovat v průběhu numerického experimentu , se objevují pouze v přítomnosti dodatečného parametru a soubor „útkových“ hodnot tohoto parametru pro pevnou hodnotu je exponenciálně úzký. . $\varepsilon$ $\varepsilon$

V roce 2001 Yu. S. Ilyashenko a J. Guckenheimer objevili [25] zásadně nové chování pro rychle-pomalé systémy na dvourozměrném torusu. Bylo ukázáno, že pro určitou skupinu systémů, při absenci dalších parametrů , pro libovolně malou hodnotu , může mít systém stabilní kachní cyklus. Následně I. V. Shchurov ukázal [26] , že podobný jev je také pozorován typickým způsobem – v nějaké otevřené sadě rychle-pomalých systémů. $\varepsilon$

Literatura

V. I. Arnold, V. S. Afraimovič, Yu. S. Iljašenko, L. P. Shilnikov. Teorie bifurkací // Dynamické systémy-5. Výsledky vědy a techniky. Moderní problémy matematiky. základní směry. - M .: VINITI , 1986. - T. 5 . - S. 5-218 . — ISSN 0233-6723 .
DV Anosov K vývoji teorie dynamických systémů za poslední čtvrtstoletí , kapitola Teorie singulárních poruch .

Poznámky

↑ 1 2 Andronov A.A., Witt A.A., Khaikin S.E. Teorie vibrací. — 2. vydání. - 1959. - S. 727-855. — 914 s.
↑ van der Pol, B. , O relaxačních oscilacích, Londýn, Edinburgh a Dublin Phil. Mag. a J. of Sci., 2 :7 (1927), 978-992
↑ Zheleztsov N. A., Rodygin L. V. K teorii symetrického multivibrátoru. — Dokl. AN SSSR, 81 :3 (1951), 391-392.
↑ N. A. Zheleztsov , K teorii nespojitých vibrací v systémech druhého řádu. Izv. instituce vyššího vzdělávání. Radiophysics 1 :1 (1958), 67-78.
↑ L. S. Pontryagin , Asymptotické chování řešení soustav diferenciálních rovnic s malým parametrem na vyšších derivacích, Izv. Akademie věd SSSR. Ser. Mat.21 : 5 (1957), 605-626
↑ E. F. Mishchenko, L. S. Pontryagin , Odvození některých asymptotických odhadů pro řešení diferenciálních rovnic s malým parametrem na derivacích, Izv. Akademie věd SSSR. Ser. Mat.23 : 5 (1959), 643-660
↑ 1 2 V. I. Arnold, V. S. Afraimovič, Yu. S. Iljašenko, L. P. Shilnikov. Dynamické systémy - 5. VINITI, Moderní problémy matematiky. základní směry. 5 , 1986.
↑ viz práce citované v V. I. Arnold, V. S. Afraimovich, Yu. S. Iljašenko, L. P. Shilnikov. Dynamické systémy - 5. VINITI, Moderní problémy matematiky. základní směry. 5 , 1986 a E. F. Mishchenko, N. Kh. Rozov , Diferenciální rovnice s malým parametrem a relaxačními oscilacemi, Moskva, Nauka, 1975.
↑ A. A. Dorodnitsyn , Asymptotické řešení rovnice Van der Pol, Prikl. matematika. i Mekhan., 11 :3 (1947), 313-328
↑ Haag J. Etude asymptotique des oscilations de relaxace. Ann. sci. Ecole Standard. Sup. 60 (1943).
↑ Haag J. Příklady concrets d'etude asymptotique d'oscillations de relaxace. Ann. sci. Ecole Standard. Sup. 61 (1944).
↑ E. F. Mishchenko, N. Kh. Rozov , Diferenciální rovnice s malým parametrem a relaxačními oscilacemi, Moskva, Nauka, 1975.
↑ M. A. Shishkova, Úvaha o soustavě diferenciálních rovnic s malým parametrem při vyšších derivacích, Dokl. AN SSSR, 1973, 209 :3, 576-579.
↑ Neishtadt A. I. Asymptotická studie ztráty stability rovnováhy s dvojicí vlastních hodnot pomalu procházejících pomyslnou osou. Hodně štěstí mat. Nauk, 1985, 40 :5, 190-191
↑ E. Benoit, J. F. Callot, F. Diener, M. Diener . Chasse au canard. Collectanea Mathematica, 31-32 (1981), 37-119.
↑ M. Diener , The canard unchained or how fast/slow dynamical systems bifurcate, The Mathematical Intelligencer 6 (1984), 38-48.
↑ Martin Wechselberger , Canards Archived 9. února 2019 na Wayback Machine , Scholarpedia, 2(4):1356 (2007),
↑ (Viz např. J. Moehlis , Canards in a Surface Oxidation Reaction. J. of Nonlinear Sci. 12 :4, 319-345 a práce tam citované.
↑ W. Eckhaus , Relaxační oscilace včetně standardní honičky na francouzské kachny, v Asymptotické analýze II, Springer Lecture Notes Math. 985 (1983), 449-494.
↑ A. Ju. Kolesov, E. F. Miščenko. Pontrjaginův jev tažení a stabilní kachní cykly vícerozměrných relaxačních systémů s jednou pomalou proměnnou. Mathematical Collection, 181 :5 (1990), 579-588.
↑ Mishchenko E. F., Kolesov Yu. S., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Periodické pohyby a bifurkační procesy v singulárně perturbovaných systémech. Moskva, "Fyzikálně-matematická literatura", 1995
↑ N. Fenichel , Geometrická singulární perturbační teorie pro obyčejné diferenciální rovnice, J. of Diff. Eq., 31 (1979), str. 53-98.
↑ F. Dumortier a R. Roussarie , Canardovy cykly a centrální rozdělovače, Mem. amer. Matematika. Soc. , 121 :577 (1996).
↑ M. Krupa, P. Szmolyan , Rozšíření teorie geometrických singulárních poruch na nehyperbolické body — záhybové a kachní body ve dvou rozměrech, SIAM J. Math. Anal., 33 :2, 286-314.
↑ J. Guckenheimer, Yu. S. Iljašenko , Kachna a čert: Kachny na schodech, Moskevská matematika. J. , 1 :1, (2001), 27-47.
↑ IV Schurov, Kachny na toru: existence a jedinečnost (nedostupný odkaz) , Journal of dynamical and control systems , 16 :2 (2010), 267-300.