Yang-Baxterova rovnice

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 19. července 2020; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Yang-Baxterova rovnice (faktorizační rovnice, trojúhelníková rovnice) je rovnice patřící do třídy přesně řešitelných problémů . Má formu transformací lokální ekvivalence, které se objevují v široké škále případů, jako jsou elektrické obvody , teorie uzlů a teorie opletení , spinové systémy . Své jméno má podle nezávislé práce C. N. Younga v roce 1968 a R. D. Baxtera v roce 1971 ve statistické mechanice .

Parametrově závislá Yang-Baxterova rovnice

Označme asociativní algebrou s jednotkou . Parametrově závislá Yang-Baxterova rovnice je rovnicí pro parametricky závislý invertibilní prvek tenzorového součinu algeber (zde parametr , který se obvykle mění se všemi reálnými čísly v případě aditivního parametru nebo přes všechny kladné reálné hodnoty čísla v případě multiplikativního parametru). V případě aditivního parametru je Yang-Baxterova rovnice funkční rovnicí $A$ $R(u)$ $A\otimes A$ $u$

R_{12}(u)\ R_{13}(u+v)\ R_{23}(v)=R_{23}(v)\ R_{13}(u+v)\ R_{12 }(u),

na funkci, do které se zadaným způsobem dosadí dvě proměnné a . U některých se může proměnit v jednorozměrný projektor , což vede ke kvantovému determinantu. Pro multiplikativní parametr má Yang-Baxterova rovnice tvar $R$ $u$ $proti$ $u$ $R(u)$

R_{12}(u)\ R_{13}(uv)\ R_{23}(v)=R_{23}(v)\ R_{13}(uv)\ R_{12}(u) ,

k funkci , kde , , a , pro všechny hodnoty parametru , a , , a , jsou morfismy algebry definované jako $R$ $R_{12}(š)=\phi _{12}(R(š))$ $R_{13}(š)=\phi _{13}(R(š))$ $R_{23}(š)=\phi _{23}(R(š))$ $w$ $\phi _{12}:A\otimes A\to A\otimes A\otimes A$ $\phi _{13}:A\otimes A\to A\otimes A\otimes A$ $\phi _{23}:A\otimes A\to A\otimes A\otimes A$

\phi _{12}(a\otimes b)=a\otimes b\otimes 1,

\phi _{13}(a\otimes b)=a\otimes 1\otimes b,

\phi _{23}(a\otimes b)=1\otimes a\otimes b.

V některých případech determinant[ nejednoznačný ] může anulovat při určitých hodnotách spektrálního parametru a někdy se dokonce změní v jednorozměrný projektor. V tomto případě lze určit kvantový determinant. $R(u)$ $u=u_{0}$ $R(u)$

Yang-Baxterova rovnice nezávislá na parametrech

Označme asociativní algebrou s jednotkou . Yang-Baxterova rovnice nezávislá na parametrech je rovnicí pro , invertibilní prvek tenzorového součinu algeber . Yang-Baxterova rovnice má tvar $A$ $R$ $A\otimes A$

R_{12}\ R_{13}\ R_{23}=R_{23}\ R_{13}\ R_{12},

kde , , a . $R_{12}=\phi _{12}(R)$ $R_{13}=\phi _{13}(R)$ $R_{23}=\phi _{23}(R)$

Nechť je modul přes . Nechť lineární mapa vyhovuje všem . Potom lze sestavit reprezentaci copánkové skupiny , , na pro , kde na . Tato reprezentace může být použita k určení kvazi-invariantů copánků , uzlů . $PROTI$ $A$ $T:V\otimes V\to V\otimes V$ $T(x\otimes y)=y\otimes x$ $x,y\in V$ $B_n$ ${\displaystyle V^{\otimes n))$ ${\displaystyle \sigma _{i}=1^{\otimes i-1}\otimes {\check {R))\otimes 1^{\otimes ni-1))$ $i=1,\tečky ,n-1$ ${\check {R}}=T\circ R$ $V\otimes V$

Literatura

H.D. Doebner, J.-D. Hennig, eds., Quantum groups, Proceedings of the 8th International Workshop on Mathematical Physics, Arnold Sommerfeld Institute, Clausthal, SRN, 1989 , Springer-Verlag Berlin, ISBN 3-540-53503-9 .
Vyjayanthi Chari a Andrew Pressley, A Guide to Quantum Groups , (1994), Cambridge University Press, Cambridge ISBN 0-521-55884-0 .
Jacques HH Perk a Helen Au-Yang, "Yang–Baxter Equations", (2006), arXiv : math-ph/0606053 .
Manin Yu. I. Úvod do teorie schémat a kvantových grup. - M. : MTSNMO, 2012. - 256 s. - ISBN 978-5-94057-635-8 .