G2-rozdělovač

$G_{2}$ -varieta je sedmirozměrná Riemannovská varieta s holonomickou grupou nebo její podgrupou. Jsou důležité v teorii strun , zejména v M-teorii . $G_{2}$

$G_{2}$ - rozvody mají nulové Ricciho zakřivení , jsou orientovatelné a mají spinorovou strukturu.

Geometrie

Geometrie -variet úzce souvisí se sedmirozměrným vektorovým součinem : jedná se totiž o sedmirozměrné Riemannovy variety, na každém tečném prostoru, ke kterému existuje vektorový součin, a jako tenzorové pole je zachováno pomocí Levi- Civita spojení (sedmirozměrný euklidovský prostor s vektorovým součinem je tedy nejjednodušším příkladem - variety). Tato podmínka znamená, že holonomie takové metriky leží ve skupině : paralelní překlady zachovávají vektorový součin a skupina automorfismu takového součinu je přesně . Na druhou stranu, pokud existuje metrika s takovou holonomií, pak teorie reprezentace grup pomáhá vidět, že v prostoru tenzorů šikmo symetrického typu existuje výrazný paralelní jednorozměrný podsvazek. Jeho úsek konstantní délky je polem sedmirozměrných vektorových produktů. $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$ $(2.1)$

Vynecháním indexů s ohledem na metriku z vektorového součinu lze získat 3-formu, obvykle označovanou nebo . Vzhledem k tomu, že je rovnoběžná pod torzním spojením (jmenovitě spojením Levi-Civita), je uzavřená. Jeho Hodge dual 4-forma je také paralelní a uzavřená, takže je také harmonická. Obecná 3-forma v sedmirozměrném prostoru má stabilizátor , takže -manifoldy mohou být definovány v podmínkách nikde degenerované uzavřené 3-formy. To je přibližuje symplektickým varietám (manifoldům s nikde degenerovanou uzavřenou 2-formou), ale je důležité pochopit, že 3-forma v sedmirozměrném prostoru definuje metriku a 2-forma nikdy nedefinuje metriku. $\phi$ $\rho$ $G_{2}$ $G_{2}$

Nicméně důležitý pojem symplektické geometrie – koncept Lagrangeovy podvariety , tedy podvariety poloviční dimenze tak, že 2-forma je na ni omezena identickou nulou – je částečně přenesen na -variet. Třídimenzionální podvarieta se totiž nazývá asociativní , pokud 4-forma zmizí, když jsou do ní dosazena jakákoli tři tečná pole k této podvarietě (nebo, což je totéž, 3-forma je na ni omezena jako forma tří -rozměrný Riemannův objem). Čtyřrozměrná podvarieta se nazývá koasociativní , pokud je na ni 3-forma omezena identickou nulou (ekvivalentně je na ni omezena 4-forma jako forma čtyřrozměrného Riemannova objemu). Tato jména jsou vysvětlena jejich alternativními definicemi prostřednictvím vektorového součinu: asociativní podprostor v je trojrozměrný podprostor uzavřený pod vektorovým součinem (nebo, vezmeme-li v úvahu, že sedmirozměrný vektorový součin je získán z násobení imaginárního součinu oktávy , jako pomyslné čtveřice v pomyslných oktávách pro nějaké vkládání algeber ). Koasociativní podprostory jsou přesně ortogonální doplňky asociativních nebo podprostory, ve kterých je vektorový součin jakýchkoli dvou vektorů kolmý k tomuto podprostoru. $G_{2}$ $\star \rho$ $\rho$ $\rho$ $\rho$ $\mathbb{R} ^{7}$ $\mathbb {H} \hookrightarrow \mathbb {O}$

Další analogie, běžnější mezi fyziky, přirovnává asociativní variety ke komplexním křivkám v Calabiho-Yauových 3-manifoldech a koasociativní variety ke speciálním Lagrangovým podvarilám. Kartézský součin Calabiho-Yauova 3-manifoldu s Ricciho plochou metrikou na kružnici je vskutku sedmirozměrná varieta s holonomií . Navíc součiny komplexních křivek ležících v této varietě a kružnici jsou asociativní a produkty speciálních Lagrangových podvariet jsou koasociativní. ${\displaystyle \mathrm {SU} (3)\subset G_{2))$

Pozoruhodnou vlastností sedmirozměrného vektorového součinu, která jej přibližuje trojrozměrnému, je, že pokud je jednotkový vektor, pak pro jakýkoli kolmý vektor máme . Jinými slovy, vektorové násobení jednotkovou normálou je nadrovinný endomorfismus kvadratura jako násobení , tedy jednoduše složitá struktura. V -manifoldu má tedy každá orientovatelná hyperplocha přirozenou téměř komplexní strukturu , která je analogická struktuře Riemannovy plochy na orientovatelné ploše v . Tento jev, jak je aplikován na sedmirozměrný euklidovský prostor, objevil Calabi (ještě před zavedením obecných -variet). Zároveň, na rozdíl od trojrozměrného případu, je taková struktura extrémně zřídka integrovatelná (to znamená, že umožňuje analytický atlas z domén komplexního prostoru ): například v případě euklidovského prostoru Calabiho kritérium uvádí že tato téměř složitá struktura je integrovatelná právě tehdy, když operátor Weingartenova hyperplocha má vlastní čísla . Zejména tato hyperplocha musí být minimální . Například standardní téměř komplexní struktura na kouli je získána jako Calabiho téměř komplexní struktura pro jednotkovou kouli . Přítomnost integrovatelné téměř složité struktury na šestirozměrné sféře je extrémně obtížný problém (známý jako Chernův dohad ), na jehož status nejsou názory nejvýznamnějších geometrů zdaleka jednotné. Současně jsou tak téměř složité variety, jako je jednotková koule, také zajímavé pro diferenciální geometrii: tvoří třídu tzv. „přibližně Kähler manifolds“ ( anglicky skoro Kähler manifold — přesný překlad do ruštiny ještě není upřesněn), tedy téměř hermitovské manifoldy, kovariantní derivace standardního 2-formy s ohledem na Levi-Civita spojení, na kterém je zcela šikmo symetrický. Metrický kužel nad reálnou šestirozměrnou přibližně kählerovskou varietou je -varieta, a naopak kvocient kónicky symetrické -variety (tedy takové, která připouští působení multiplikativní grupy pomocí homoteií) je přirozeně přibližně kählerovsky. $u$ $X$ $(x\krát u)\krát u=-x$ $-jeden$ $G_{2}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $G_{2}$ $\mathbb {C} ^{3}$ $\lambda ,\mu ,\nu ,-\lambda ,-\mu ,-\nu$ ${\displaystyle S^{6}\subset \mathbb {R} ^{7))$ $G_{2}$ $G_{2}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geqslant 0))$

Historie

Berger-Simonsův teorém, dokázaný v roce 1955, říká, že holonomická grupa kompaktní Riemannovy variety, která není lokálně symetrická , působí tranzitivně na jednotkové tečné vektory. Bergerem uvedený seznam takových grup zahrnoval jak grupy, které byly v té době známé jako holonomické grupy klasických geometrií (například holonomická grupa obecné Riemannovy variety nebo holonomická grupa Kählerovských variet ), tak ty, které , jak se později ukázalo, mohou být pouze holonomické skupiny na lokálně symetrických varietách (jako je spinorová skupina , kterou ze seznamu vyloučil Berger Alekseevsky ). Dlouho se věřilo, že grupa působící na sedmirozměrný prostor imaginárních oktáv nemůže být zároveň holonomickou grupou nelokálně symetrické variety, k tomu směřovaly snahy geometrů v 60. a 80. letech 20. století. ${\mathrm {SO}} (n)$ $\mathrm {U} (n)$ $\mathrm {Spin} (16)$ $G_{2}$

Bonan v roce 1966 dokázal, že -variéra připouští paralelní 3-formu a 4-formu duál k sobě pomocí Hodgeovy hvězdy . V jeho době však neexistují žádné příklady variet, jejichž skupina holonomie se rovná . První příklad takové metriky na doméně v zkonstruoval Bryant v roce 1987. V roce 1989 Bryant a Salamon zkonstruovali metriky na kompletních, ale nekompaktních rozdělovačích: spinorovém svazku přes trojrozměrné rozdělovači konstantního zakřivení průřezu a na svazku anti-sebe-duálních forem na čtyřrozměrném Einsteinově rozdělovači s samoduální Weylův tenzor (například čtyřrozměrná koule s kulatou metrikou nebo komplexní projektivní rovina s metrikou Fubini-Study). Jsou částečně analogické symplektické struktuře na celkovém prostoru kotangentního svazku (přesněji kanonickou hyperkählerovu metriku holomorfního tečného svazku ke Kählerovu varietu, která v té době ještě nebyla známa a bude objevena v 90. Faix a Kaledin ). Tyto dílčí výsledky byly brány jako důkaz, že takové metriky jsou na kompaktním manifoldu nemožné. $G_{2}$ $G_{2}$ $\mathbb{R} ^{7}$ $G_{2}$

V roce 1994 byl však tento názor vyvrácen: Joyce zkonstruoval několik příkladů kompaktních variet s holonomickou grupou , našel způsob, jak analyticky vyřešit singularity faktoru sedmirozměrného torusu nad konečnou grupou. V roce 1998 MacLean studoval deformace koasociativních a asociativních subvariet v uzavřených varietách, zejména zjistil, že deformace koasociativních variet jsou popsány z hlediska jejich vnitřní geometrie, zatímco asociativní variety mají teorii deformací popsanou některým Diracovým operátorem v závislosti na zapuštěné do uzavřeného prostoru a jsou obvykle tuhé. V roce 2000 byla vynalezena krouceně spojená Kovalevova součtová konstrukce , která umožňuje konstruovat -rozvody z dvojice Fano 3 -násobků s určitými podmínkami kompatibility. Svazky na rozdělovačích, jejichž vlákna jsou koasociativní (zejména mají, jak předpověděl MacLean, poměrně velké množství deformací), byly poprvé zkonstruovány pomocí této konstrukce a někdy se jim říká „Kovalev-Lefschetzovy kladky“ (například Donaldson ) . analogicky se svazky k eliptickým křivkám na plochách K3, historicky nazývané "Lefschetzovy snopy". Zobecnění Kovalevovy konstrukce umožnilo získat struktury na desítkách tisíc párových nedifeomorfních kompaktních variet. Kromě toho byly v těchto zobecněních získány odrůdy s asociativními pododrůdami. $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$

Zajímavé nové spojení mezi geometrií -variet a komplexní geometrií bylo založeno v roce 2011 Verbitskym : prostor uzlů v -variet je (nekonečně-dimenzionální) formálně Kählerova varieta (jinými slovy, ačkoli nepřipouští místní mapy s hodnotami v komplexním Fréchetově prostoru s komplexními analytickými přelepovacími funkcemi, ale lineárně-algebraická překážka přítomnosti takových map, Nijenhuisův tenzor, na nich mizí; v konečném případě, poznamenáváme, to stačí pro přítomnost komplexního analytického atlasu). $G_{2}$ $G_{2}$

Viz také

Prostor Calabi-Yau