Skupinový automorfismus

Skupinový automorfismus je bijektivní homomorfismus skupiny na sebe.

Automorfismus grupy se nazývá vnitřní , pokud existuje takový prvek , který (v tomto případě se někdy označuje jako ); jinak se automorfismus nazývá vnější. $F$ $G$ $v G$ $f(x)=axa^{{-1}}$ $F$ $\alpha_{a}$

Skupina automorfismů skupiny je označena množinou vnitřních automorfismů označených Protože je podgrupou , lze také dokázat, že jde o normální podgrupu . Kvocientová grupa se nazývá grupa vnějších automorfismů grupy. Mapování definuje homomorfismus, jehož jádro je středem skupiny , takže . Všechny normální podskupiny jsou při působení vnitřních automorfismů invariantní. Podgrupy, které jsou invariantní při působení všech automorfismů grupy, se nazývají charakteristické . $G$ $\operatorname {Aut}G,$ $\operatorname {Int}G.$ $\alpha _{g}\alpha _{h}=\alpha _{{hg}},\;\název operátora {Int}G$ $\operatorname {Aut}G,$ $\operatorname {Out}G=\operatorname {Aut}G/\operatorname {Int}G$ $g\to \alpha _{g}$ $G\to \operatorname {Int}G$ $Z(G)$ $\operatorname {Int}G\cong G/Z(G)$

Jakákoli grupa, která se shoduje s její skupinou automorfismu, se nazývá dokonalá . Všechny symetrické skupiny pro jsou dokonalé . Rozšíření skupiny o skupinu automorfismu se nazývá holomorf . $S_{n}$ $n\neq 2;6$

Příklady

$\operatorname {Aut}{\mathbb {Z}}^{+}={\mathbb {Z}}_{2}$
$\operatorname {Aut}{\mathbb {Q}}^{+}={\mathbb {Q}}^{{\times }}$
${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbb {Z} _{n}^{+})=\mathbb {Z} _{n}^{\times ))$ (skupina je izomorfní k multiplikativní skupině zbytku kruhu ) $\operatorname {Aut} (\mathbb {Z} _{n})$ $\mathbb {Z} _{n}$
- Zejména, je-li p jednoduché, (skupina automorfismu grupy je cyklická s p − 1 prvky) $\operatorname {Aut} \mathbb {Z} _{p}^{+}=\mathbb {Z} _{p}^{\times }=\mathbb {Z} _{p-1}^{ +}$ $\mathbb {Z} _{p}$
$\operatorname {Aut} S_{n}=\operatorname {Int} S_{n}=S_{n},n\neq 2,6;\;\operatorname {Out} S_{6}=\mathbb { Z} _{2},\;\jméno operátora {Aut} S_{6}=S_{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
Jestliže je pole, jehož charakteristika je větší než dva, pak $K$ $\operatorname {Aut}\operatorname {GL}_{n}(K)=\operatorname {SL}_{n}(K).$
Grupa automorfismu množiny všech komplexních kořenů mocnin jednoty je grupa p -adických čísel sčítáním. $p^{n}$
Skupina vnějších automorfismů volné grupy konečné úrovně je generována Nielsenovými transformacemi prvků základu
Množina automorfismů Lieovy grupy také tvoří Lieovu grupu. [jeden]

Poznámky

↑ L. S. Pontryagin Spojité skupiny str. 121