Aritmetická kombinatorika

Aritmetická kombinatorika je interdisciplinární oblast matematiky, která studuje vztah mezi strukturami vytvořenými v poli (vzácněji v kruhu ) operací sčítání a operace násobení.

Přístup ke konceptu struktury je zde podobný aditivní kombinatorice a je založen především na velikosti množiny součtů (nebo součinů), aditivní (nebo multiplikativní) energie a jejich různých kombinacích. Jako těleso se obvykle uvažují reálná nebo racionální čísla ( , ) a zbytky modulo prvočíslo ( ). ${\mathbb {R} }$ ${{\mathbb Q}}$ ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p))$

Nejednoznačnost terminologie a předmětu článku

Aditivní a aritmetická kombinatorika jsou mladé, aktivně se rozvíjející vědy. Jejich metody a způsoby zadávání problémů jsou velmi podobné, proto je aditivní kombinatorika zpravidla považována za součást aritmetiky. [1] Tento článek popisuje pouze témata, která obsahují obě operace s polem v té či oné podobě nebo jejich inverze, to znamená, která nepatří do čistě aditivní kombinatoriky (i když ta tvoří poměrně významnou část aritmetiky).

Kromě toho se zde neřeší otázky aditivně-kombinatorických vlastností multiplikativních podskupin a příbuzných množin, protože ačkoli jejich definice souvisí s násobením, jejich multiplikativní struktura je pevně fixována a kombinatorická složka této vědy implikuje jedno nebo druhé obecnost ohledně stupně struktury (alespoň s parametrem působícím jako konstanta). ${\mathbb {F} }_{p}^{*}$

Motivace

Vývoj aritmetické kombinatoriky byl do značné míry motivován objevením se věty o součtu , která hovoří o nezbytném růstu množin od aplikace buď kombinatorického sčítání nebo násobení, tedy jedné ze dvou operací:

A+A=\left\lbrace {a_{1}+a_{2}:a_{1},a_{2}\in A}\right\rbrace

A\times A=\left\lbrace {a_{1}\cdot a_{2}:a_{1},a_{2}\in A}\right\rbrace

Z toho vyplývá, že kombinace těchto operací s sebou nese i růst: if , then $\{0,1\}\subset A$

|A(A+A)|\gg \max\{|A(A+0)|,|1(A+A)|\}=\max\{|AA|,|A+A| \}

a přidání konečného počtu prvků ovlivňuje růst jen okrajově. Vzhledem k tomu, že teorém o součtu byl dokázán pouze ve slabé formě (daleko od hypotézy), někteří vědci se začali zajímat o získávání tvrzení tohoto druhu, která by vyplývala ze silnějších forem hypotézy, než jsou ty dokázané, a následně o obecné studium vztah mezi výsledky různých kombinací dvou operačních polí. $A$

Například Erdős-Szemeredyův součinový dohad uvádí, že [2]

{\displaystyle \max\{|A+A|,|AA|\}\geq |A|^{2-o(1)}\ \forall A\subset {\mathbb {R} ))

Z této hypotézy by vyplývalo, že , ale pro množiny lze takový výsledek snadno získat i bez ní jednoduchým kombinatorickým uvažováním. [3] ${\displaystyle |AA+A|\geq |A|^{2-o(1)))$ $A\subset {\mathbb {N} }$

Úkoly a výsledky

Tato část používá k popisu výsledků konvenční notaci (vysvětleno v O-notaci ):

$X\ll Y$ znamená, že $X=O(Y)$

$X\lesssim Y$ znamená, že $X\leq (\log |A|)^{O(1)}Y$

Racionální výrazy

Vyjádření otázky

Nechť racionální výraz nad množinami je jakákoli kombinace aritmetických operací ( ) mezi nimi. Operací se zde rozumí aplikace podle principu více součtů: ${\displaystyle A_{1},\tečky ,A_{k))$ $+,-,\times ,/$

{\displaystyle A\circ B=\{a\circ b\ :\ a\v A,\ b\v B\))

Například následující množiny jsou racionálními výrazy nad : $A, B, C$

samotné sady ; $A,\ B,\ C$

${\displaystyle A(AA)=\{a(bc)\ :\ a,b,c\in A\))$ je racionální výraz nad ; $A$

${\displaystyle A+BC=\{a+bc\ :\ a\v A,\ b\v B,\ c\v C\))$ .

Analogicky s aditivní energií, která se často používá k odhadu množiny součtů, je vhodné uvažovat počet řešení symetrické rovnice s racionálním výrazem. Například,

E_{AB+C}=\#\{(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c_{1},c_{2})\in A^{ 2}\krát B^{2}\krát C^{2}|:\ a_{1}+b_{1}c_{1}=a_{2}+b_{2}c_{2}\}

[čtyři]

Podstatnou část problémů aritmetické kombinatoriky lze vyjádřit následující formulací otázky.

Nechť — nějaké pole (buď nekonečné nebo dostatečně velké z dané rodiny konečných), — racionální výrazy a alespoň jeden z nich používá nebo a alespoň jeden nebo . ${\mathbb {F} }$ ${\displaystyle R_{1},\tečky ,R_{n))$ $+$ $-$ $\cdot$ $/$

Nechte také pro některé a nastavuje vztahy $N$ ${\displaystyle A_{1},\tečky ,A_{k}\subset {\mathbb {F} ))$

|A_{j}|=N^{\alpha _{j)),\ j=1,\tečky ,k

|R_{i}(A_{1},\tečky ,A_{k})|=N^{\beta _{i)),\ i=1,\tečky ,n

E_{R_{i}(A_{1},\tečky ,A_{k})}=N^{\gamma _{i)),\ i=1,\tečky ,n

Otázka

Jak závisí množina možných hodnot na ? $N\to \infty$ $(\alpha _{1},\tečky ,\alpha _{k},\beta _{1},\tečky ,\beta _{k},\gamma _{1},\tečky ,\gamma _{n})$ ${\displaystyle {\mathbb {F} },R_{1},\dots ,R_{n))$

Poznámka

Pokud je pole konečné, pak je vhodné množinu doplnit o parametr , kde . [5] $(\alpha _{1},\tečky ,\gamma _{n})$ $\varepsilon$ ${\displaystyle N=|{\mathbb {F} }|^{\varepsilon ))$

Například hypotéza součtu-součinu říká, že když , , , pak (zde ). ${\mathbb {F} }={\mathbb {R} }$ $R_{1}(A)=A+A$ $R_{2}(A)=A\cdot A$ $\max\{\gamma _{1},\gamma _{2}\}=2$ $k=1,\ n=2$

Zpravidla se ukazuje, že se odvozují lineární vztahy mezi veličinami , tedy nerovnosti mezi součiny a mocniny různých veličin . ${\displaystyle \alpha _{1},\tečky ,\gamma _{n))$ $|A_{j}|,\ |R_{i}(A_{1},\tečky ,A_{k})|,\ E_{R_{i}(A_{1},\tečky ,A_{ k})}$

Některé výsledky

O zobecnění součtů a součinů:

\forall A\subset {\mathbb {R} }:\ |AA+AA+AA+AA|\geq {\frac {1}{2}}|A|^{2}

[6]

\forall A\subset {\mathbb {F} }_{p}:|A|<p^{1/4}\Rightarrow |A(A-A+AA)+A(AA)|\geq |A|^{2}

[7]

\exists c>0:\ \forall B,C\subset {\mathbb {R} }:\ |(B+C)(B+C)|\geq |B+C|^{1+c }

[8] ;

\exists c>0:\ \forall A\subset {\mathbb {R} }:\ |AA+A|\geq |A|^{{\frac {3}{2}}+c}

[9] ;

\exists c_{1},c_{2}>0:\ \forall A\subset {\mathbb {R} }:\ |A+A|\leq |A|^{1+c_{1} }\Rightarrow |AAA|\geq |A|^{2+c_{2}}

[deset]

{\displaystyle \forall A\subset {\mathbb {R} }:\ |(AA)(AA)(AA)|\gtrsim |A|^{2+{\frac {1}{8))))

[jedenáct]

O zobecnění energií:

${\displaystyle E_{A+B}^{2}\leq |A/B|E_{(A+B)/B))$ [12]

pro any if , then , and for [13] $k\in {\mathbb {N} }$ ${\displaystyle A\subset {\mathbb {F} }_{p},\ |A|\geq p^{c(k)))$ $E_{(AA)^{k}}\sim {\frac {|A|^{4k}}{p}}$ $c(k)\to {\frac {1}{2))$ $k\to\infty$

Směny

Vyjádření otázky

Myšlenka vyhodnocování racionálních výrazů, které kombinují různé operace, vychází ze skutečnosti, že použití aditivní operace na množinu ji zbavuje její multiplikativní struktury. Stejný princip lze rozšířit i na případ, kdy se množina nemění složitou kombinatorickou operací sčítání prvek po prvku, ale obyčejným aditivním posunem - přidáním jednoho čísla ke všem prvkům množiny. Očekává se, že se tím ve většině případů změní multiplikativní struktura množiny (například když , tak u některých pro všechny nebo téměř všechny ). [čtrnáct] $|AA|\ll |A|$ ${\displaystyle |(A+d)(A+d)|\gg |A|^{1+c))$ $c>0$ $d$

Otázka

Pokud jde o fixní (ale libovolné) multiplikativní vlastnosti (velikost množiny produktů a multiplikační energie) množin na sobě závisí . A také jaké jsou společné multiplikativní vlastnosti množin pro různé (například existují netriviální odhady na )? $A\subset {\mathbb {F} }$ $A+u,\ u\in {\mathbb {F} }$ ${\displaystyle A+u_{1},\dots ,A+u_{k))$ ${\displaystyle u_{1},\tečky ,u_{k))$ $|A(A+1)|$

Některé výsledky

pokud pro jednoduché , pak: ${\displaystyle A\subset {\mathbb {F} }_{p))$ $p$

- ${\displaystyle |A|<p^{5/8}\Rightarrow |A(A+1)|\gg |A|^{6/5))$ [patnáct]

- ${\displaystyle |A|<p^{1/4}\Rightarrow |A(A+1)|\gtrsim |A|^{11/9-o(1)))$ [16]

$\forall A\subset {\mathbb {R} }_{+}:\ \forall a\in {\mathbb {R} }\setminus \{0\}:\ |A(A+1)| \ll |A|\Rightarrow E_{\times }(A,A+a)\lesssim |A|^{32/13}$ [17]

$\forall A\subset {\mathbb {Q} }_{+}:\ |AA|\ll |A|\Rightarrow |(A+1)^{k}|\gg _{k}|A |^{k}$ [osmnáct]

${\displaystyle \forall A\subset {\mathbb {R} }_{+}:\ |AA|^{4}|(A+1)(A+1)|\gtrsim |A|^{6))$ [19]

$\forall A\subset {\mathbb {R} }_{+}:\ |(A+1)(A+1)(A+1)|^{16}|AA|^{78}\ gtrsim|A|^{111}$ [dvacet]

$\forall A\subset {\mathbb {Q} }_{+}\forall u\subset {\mathbb {Q} }\setminus \{0\}:\ \max \left\lbrace {|A^ {k}|,|(A+u)^{k}|}\right\rbrace \gg |A|^{b(k)}$ , kde na [21] $b(k)\to \infty$ $k\in \infty$

Polynomy

Vyjádření otázky

Myšlenka kombinace sčítání a násobení přirozeně vede k úvahám o polynomech , tedy stejných racionálních výrazech, ve kterých se však jedna proměnná může objevit vícekrát (a tedy mít složitější vliv na strukturu výsledné množiny) . Ukazuje se, že v tomto případě pro zajištění nepodmíněného růstu není nutné použít tři kopie množiny (jako ve výrazu ), ale stačí zvolit požadovaný polynom ve dvou proměnných. [22] Bourgain si poprvé všiml takové vlastnosti u polynomu . [23] $A+AA$ $x^{2}+xy$

Analogicky s teorémem součtu o součinu jsou také studovány dolní meze pro libovolné polynomy . ${\displaystyle \max\{|A+A|,|f(A,A)|\))$ $F$

Některé výsledky

Bourgainův první výsledek: pokud . Pak pro některé je to pravda $A,B\subset {\mathbb {F} }_{p},\ |A|\sim |B|\sim p^{\alpha },\ \alpha \in (0;1)$ $\varepsilon =\varepsilon (\alpha )>0$

\#\{a^{2}+ab\ :\ a\in A,\ b\in B\}\geq N^{1+\varepsilon }

[24]

Při porovnávání a má velký význam degenerace polynomu . Pokud je degenerovaná, to znamená, že ji reprezentujeme jako , kde jsou polynomy a , pak se oba součty mohou ukázat jako malé, pokud je aritmetická progrese, protože . Proto jsou výsledky formulovány pouze pro nedegenerované polynomy: $|A+A|$ $|f(A,A)|$ $F$ $f=g(l(x,y))$ $l,g$ $\deg l=1$ $A$ $|f(A,A)|\leq |l(A,A)|$

pokud , tak [25] $\deg f=2$ $\forall A\subset {\mathbb {F} }_{p}\ :\ |A|\leq p^{5/8}\Rightarrow \max\{|A+A|,|f(A ,A)|\}\gg |A|^{6/5}$

pokud , tak [26] $\deg f=d$ $\forall A\subset {\mathbb {F} }_{p}\ :\ \max\{|A+A|,|f(A,A)|\}\gg \min \left\lbrace {{\frac {|A|^{3/2}}{dp^{1/4}}},{\frac {p^{1/3}|A|^{2/3}}{d^ {1/3}}}}\vpravo\rbrace$

Maticové násobení

Vlastnosti

Existují výsledky o součinových množinách množiny matic z jedné nebo druhé maticové podskupiny (například nebo Heisenbergova grupa ). Přísně vzato se tyto výsledky týkají jediné grupové operace ( násobení matic ), takže je lze označit jako aditivní kombinatoriku . Ale slučování v rámci definice této operace jak sčítání a násobení prvků [27] , tak i nekomutativnost z toho vyplývající, činí její vlastnosti velmi atypickými ve srovnání s běžnými grupovými operacemi, jako je sčítání reálných čísel. ${\mbox{SL}}_{2}({\mathbb {R} })$

Například množina matic může často růst tak, že se sama násobí za velmi jednoduchých podmínek (velká velikost, omezení na jednotlivé prvky nebo odlišnost od podskupin).

Některé výsledky

Většina výsledků o skupinách matic, když se jedná o libovolné sady matic, analyzuje hodnotu , nikoli . Nejedná se o náhodu, ale o technickou nutnost spojenou s nekomutativností. [28] $|AAA|$ $|AA|$

if , pak pro množinu matic (leží v Heisenbergově grupe) platí, že , kde [29] $A\subset {\mathbb {R} }$ ${\mathcal {A}}=\left\lbrace {{\begin{pmatrix}1&a&0\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}}\ :\ a,b\in A}\right\rbrace$ $|{\mathcal {A}}{\mathcal {A}}|\gg |{\mathcal {A}}|^{7/4+c}$ $c>0$

let vygeneruje celou skupinu a . Pak [30] $A\subset {\mbox{SL}}_{2}({\mathbb {F} }_{p})$ ${\mbox{SL}}_{2}({\mathbb {F} }_{p})$ $\forall a\in A\ :\ a^{-1}\in A$ $|AAA|\gg \min\{|A|^{21/20},\ |{\mbox{SL}}_{2}({\mathbb {F} }_{p})|\ }$

$\forall A\subset {\mbox{SL}}_{n}({\mathbb {F} }_{p})\ :\ |A|>2|G|^{1-{\frac {1}{3(n+1)}}}\Rightarrow AAA={\mbox{SL}}_{n}({\mathbb {F} }_{p})$ (u ostatních skupin je možný podobný odhad v závislosti na rozměru jeho reprezentací ) [31]

if a , pak struktura silně souvisí s podskupinami (toto spojení lze vyjádřit pomocí ) [32] $A\subset {\mbox{SL}}_{3}({\mathbb {F} }_{p})$ $|AAA|\ll |A|^{1+\delta },\ \delta >0$ $A$ $A\subset {\mbox{SL}}_{3}({\mathbb {F} }_{p})$ $\delta$

Aplikace

K odvození speciální formy Zarembovy domněnky lze použít analytické metody pro studium růstu ve skupině a Chevalleyových skupinách . [33] [34] ${\mbox{SL}}_{2}({\mathbb {F} }_{p})$

Viz také

Reference

P. Erdös, E. Szemeredi. O součtech a součinech celých čísel (anglicky) // Birkhäuser Verlag. - 1983. - S. 213-218 .

Oliver Roche-Newton, Imre Z. Ruzsa, Chun-Yen Shen, Ilja D. Shkredov. Na velikosti sady . - 2018. - arXiv : 1801.10431v1 . $AA+A$

Oliver Roche-Newton, Ilja D. Shkredov. Jestliže je malý, pak je superkvadratický . - 2019. - arXiv : 1810.10842v2 . $A+A$ $AAA$

Antal Balog. Poznámka k odhadům součtových součinů (anglicky) // Publicationes mathematicae. - 2011. - Sv. 79 , iss. 3 . - doi : 10.5486/PMD.2011.5104 .

M. Z. Garajev. Součty a součiny množin a odhady racionálních goniometrických součtů v polích prvořadého řádu // Uspekhi matematicheskikh nauk . - Ruská akademie věd , 2010. - T. 65 , no. 4 (394) . - S. 5-66 . doi : 10,4213 / rm9367 . (Ruština)

Ilja D. Škredov, Dmitrij Železov. Na aditivní bázi sad se sadou malých produktů . - 2016. - arXiv : math/1606.02320 .

A. A. Glibichuk. Kombinatorické vlastnosti zbytku nastaví modulo prvočíslo a Erdős-Grahamův problém // Matematické poznámky . - 2006. - T. 79 , č. 3 . — S. 384–395 . (Ruština)

Brandon Hanson, Oliver Roche-Newton, Dmitrii Zhelezov. U iterovaných sad produktů se směnami . - 2018. - arXiv : 1801.07982v1 .

Brandon Hanson, Oliver Roche-Newton, Dmitrii Zhelezov. Na iterovaných produktových sestavách se směnami II . - 2018. - arXiv : math/1806.01697v1 .

Sophie Stevens, Frank de Zeeuw. Zlepšený bodový výskyt vázaný na libovolné pole // Bulletin of the London Mathematical Society. - 2017. - Sv. 49 , iss. 5 . - doi : 10.1112/blms.12077 . - arXiv : 1609.06284 .

Audie Warren. O součinech směn v libovolných oborech . - 2019. - arXiv : 1812.01981v2 .

Antal Balog, Oliver Roche-Newton, Dmitrij Zhelezov. Expanders with Superquadratic Growth // Elektronický žurnál kombinatoriky. - 2016. - Sv. 24 , iss. 3 . - doi : 10.37236/7050 . - arXiv : 1611.05251v1 .

I. D. Shkredov. Několik poznámek k množinám s malým kvocientem // Matematická sbírka. - 2017. - T. 208 , č.p. 12 . doi : 10,4213 / sm8733 . - arXiv : 1603.04948v2 . (Ruština)

Bryce Kerr, Simon Macourt. Multilineární exponenciální součty s obecnou třídou vah . - 2019. - arXiv : 1901.00975v2 .

Konstantin I. Olmezov, Aliaksei S. Semchankau, Ilja D. Shkredov. Na oblíbené součty a rozdíly sad s drobnými výrobky . - 2019. - arXiv : 1911.12005v1 .

Brandon Hanson, Oliver Roche-Newton, Misha Rudnev. Vyšší konvexnost a množiny iterovaných součtů . - 2020. - arXiv : 2005.00125v1 .

I. D. Shkredov. Několik nových výsledků o vyšších energiích // Proceedings of the Moscow Mathematical Society. - 2013. - T. 74 , č. 1 . (Ruština)

J. Bourgain. Více o fenoménu součinu v prvotřídních polích a jeho aplikacích // International Journal of Number Theory. - 2005. - Sv. 1 , iss. 1 . - doi : 10.1142/S1793042105000108 .

Doowon Koh, Hossein Nassajian Mojarrad, Thang Pham, Claudiu Valculescu. Čtyřproměnné expandéry nad primárními poli // Proceedings of the American Mathematical Society. - 2018. - Sv. 146 , iss. 12 . - doi : 10.1090/proc/14177 . - arXiv : 1705.04255 .

Van Vu. Odhady součtových produktů prostřednictvím řízených expandérů // Mathematical Research Letters. - 2007. - Sv. 15 , iss. 2 . - doi : 10.4310/MRL.2008.v15.n2.a14 . - arXiv : 0705.0715 .

Ilja D. Shkredov. Několik poznámek k produktům sad v Heisenbergově skupině a v afinní skupině . - 2019. - arXiv : 1907.03357 .

Míša Rudněv, Ilja D. Shkredov. Na rychlost růstu v , afinní skupina a implikace typu součtu produktu . - 2019. - arXiv : 1812.01671v3 . ${\mbox{SL}}_{2}({\mathbb {F} }_{p})$

H.A. Helfgott. Růst v (anglicky) . - 2009. - arXiv : 0807.2027 . ${\mbox{SL}}_{3}({\mathbb {Z} }/p{\mathbb {Z} })$

Nikolay Nikolov, Lászlo Pyber. Produktové rozklady kvazináhodných grup a teorém Jordanova typu // Journal of the European Mathematical Society. - 2007. - Sv. 13 , iss. 4 . - doi : 10.4171/JEMS/275 . — arXiv : 0703343 .

Nikolay G. Moshchevitin, Ilja D. Shkredov. Na modulární formě Zarembova dohadu . - 2019. - arXiv : 1911.07487 .

Ilja D. Shkredov. Růst ve skupinách Chevalley relativně k parabolickým podskupinám a některým aplikacím . - 2020. - arXiv : 2003.12785 .

Poznámky

↑ Opačně to neplatí – protože slovo „additiva“ je tvořeno z angličtiny. sčítání (sčítání), jeho použití rozhodně není vhodné k předmětu tohoto článku. Například Green v recenzi na Taovu monografii , když začíná hovořit o větě o součtu součinu, zmiňuje, že se odchyluje od definice aditivní kombinatoriky („I když se vyhýbám definici aditivní kombinatoriky ... ").
↑ Erdös, Szemerédi, 1983 .
↑ Roche-Newton, Ruzsa, Shen, Shkredov, 2018 , poznámka po větě 1.5
↑ Označení , používané dále, není obecně přijímáno. $E_{AB+C}$
↑ Viz vysvětlení na příkladu věty o součinu v Garaev, 2010 (věta 1.1 a komentář bezprostředně za ní)
↑ Balog, 2011 .
↑ Výňatek ze zprávy S. V. Konyagina
↑ Shkredov, Zhelezov, 2016 , následek 2
↑ , podrobnosti viz Roche-Newton, Ruzsa, Shen, Shkredov, 2018 $c>2^{-222}$
↑ , podrobnosti viz Roche-Newton, Shkredov, 2019 $c_{2}={\frac {1}{392}}-c_{1}{\frac {125}{56}}-o(1)$
↑ Balog, Roche-Newton, Zhelezov, 2016 .
↑ Olmezov, Semchankau, Shkredov, 2019 , věta 12
↑ Kerr, Macourt, 2019 , důsledek 2.11
↑ Opak, obecně řečeno, není pravda: multiplikativní posun nesmí žádným způsobem změnit aditivní vlastnosti množiny. Jestliže je aritmetická progrese a , pak pro libovolné . Někdy se ale ukáže, že se používají podobné myšlenky - viz například Lemma 2 v Glibichuk, 2006 , kde při dokazování analogie Waringova problému v konečném poli je podobné tvrzení formulováno ve smyslu společné aditivní energie o existenci potřebného posunu. ${\displaystyle A\subset {\mathbb {R} }_{+))$ $k\cdot A=\{ka\ :\ a\in A\}$ $|k\cdot A+k\cdot A|=|A+A|$ $k$
↑ Stevens, de Zeeuw, 2017 , vyšetřování 10
↑ Warren, 2019 .
↑ Shkredov, 2013 , důsledek 5.8
↑ Hanson, Roche-Newton, Zhelezov (I), 2018 .
↑ Shkredov, 2017 , věta 12
↑ Hanson, Roche-Newton, Rudnev, 2020 , věta 4.1
↑ Hanson, Roche-Newton, Zhelezov (II), 2018 .
↑ Polynomy, tak či onak spojené s růstem množiny, se v literatuře často nazývají expandéry.
↑ Viz část 5.2 v Garaev, 2010
↑ Bourgain, 2005 , věta 2.1 (viz také ruská verze v Garaev, 2010 , věta 5.2)
↑ Koh, Mojarrad, Pham, Valculescu, 2018 , věta 1.10
↑ Vu, 2007 , Věta 1.2
↑ Libovolný prvek součinu matic je vlastně polynom v prvcích násobených matic
↑ Viz poznámka v Helfgott, 2009 , poznámka pod čarou na str. 3, stejně jako skutečnost, že Plünnecke-Rougeova nerovnost v nekomutativních skupinách má zvláštní podobu.
↑ Shkredov, 2019 , věta 2
↑ Rudnev, Shkredov, 2019 , věta 2
↑ Viz Nikolov, Pyber, 2007 , věta 2 a poznámka v Helfgott, 2009 na začátku oddílu 1.3.1
↑ Helfgott, 2009 , Věta 1.1
↑ Moshchevitin, Shkredov, 2019 .
↑ Shkredov, 2020 .