Variační principy

Principy mechaniky jsou výchozí polohy, které odrážejí takové obecné zákony mechanických jevů, že z nich v důsledku lze získat všechny rovnice, které určují pohyb mechanické soustavy (nebo podmínky pro její rovnováhu). V průběhu vývoje mechaniky byla stanovena řada takových principů, z nichž každý může být považován za základ mechaniky, což se vysvětluje rozmanitostí vlastností a vzorů mechanických jevů. Tyto principy se dělí na nevariační a variační .

Nevariační principy

Nevariační principy mechaniky přímo stanoví zákony pohybu vykonávaného systémem při působení sil, které na něj působí. Mezi tyto principy patří například 2. Newtonův zákon , podle kterého se při pohybu kteréhokoli bodu soustavy součin jeho hmotnosti a zrychlení rovná součtu všech sil působících na bod , stejně jako d'Alembertův princip .

Nevariační principy jsou platné pro jakýkoli mechanický systém a mají relativně jednoduché matematické vyjádření. Jejich použití je však omezeno pouze rámcem mechaniky, protože takový čistě mechanický koncept, jako je síla , přímo vstupuje do vyjádření principů . Důležité je také následující. Ve většině problémů mechaniky je uvažován pohyb nesvobodných systémů, tedy systémů, jejichž pohyby jsou omezeny omezeními . Příkladem takových systémů jsou všechny druhy strojů a mechanismů, kde jsou spojemi ložiska, závěsy, kabely atd., a pro pozemní dopravu vozovka nebo kolejnice. Abychom mohli studovat pohyb nesvobodného systému, založeného na nevariačních principech, je nutné nahradit účinek působení vazeb některými silami, které se nazývají reakce vazeb . Velikosti těchto reakcí však nejsou předem známy, protože závisí na tom, čemu se rovnají a kde působí dané ( aktivní ) síly působící na systém, jako je například gravitace , pružnost pružiny , tah atd. a také na tom, jak se systém pohybuje. Proto sestavené pohybové rovnice budou obsahovat další neznámé veličiny v podobě omezujících reakcí, což obvykle výrazně zkomplikuje celý proces řešení.

Výhodou variačních principů je, že okamžitě poskytují pohybové rovnice odpovídajícího mechanického systému, které neobsahují neznámé omezující reakce. Toho je dosaženo tím, že účinek působení spojů je zohledněn nikoli jejich nahrazením neznámými silami (reakcemi), ale uvažováním těch posunů nebo pohybů (nebo přírůstků rychlostí a zrychlení), které body tohoto systému může mít za přítomnosti těchto spojení. Pokud se například bod M pohybuje po dané hladké (ideální) ploše, která je pro něj spojnicí, pak lze vliv této spojnice zohlednit

Variační principy

Obsahem variačních principů je, že zakládají vlastnosti (znaky), které umožňují odlišit skutečný, tedy skutečně nastávající při působení daných sil, pohyb mechanické soustavy od určitých kinematicky možných pohybů jejího (resp. rovnovážný stav systému z jeho dalších možných stavů). ). Obvykle tyto vlastnosti (znaky) spočívají v tom, že pro skutečný pohyb má nějaká fyzikální veličina, která závisí na vlastnostech systému, nejmenší hodnotu ve srovnání s jejími hodnotami ve všech uvažovaných kinematicky možných pohybech. Variační principy se v tomto případě mohou od sebe lišit v podobě indikované fyzikální veličiny a znaků uvažovaných kinematicky možných pohybů, jakož i znaků samotných mechanických systémů, pro které tyto principy platí. Použití variačních principů vyžaduje použití metod variačního počtu .

Formálně se variační principy dělí na takzvané diferenciální, ve kterých je stanoveno, jak se skutečný pohyb systému liší od pohybů, které jsou kinematicky možné v jakémkoli daném časovém okamžiku, a integrální, ve kterých je tento rozdíl stanoven. pro pohyby prováděné systémem v určitém konečném časovém období.

Diferenciální variační principy v rámci mechaniky jsou obecnější a prakticky platné pro jakékoli mechanické systémy. Integrální variační principy ve své nejběžnější podobě platí pouze pro tzv. konzervativní systémy, tedy systémy, ve kterých platí zákon zachování mechanické energie. Na rozdíl od diferenciálních variačních principů a nevariačních principů však namísto sil obsahují takovou fyzikální veličinu, jako je energie , což umožňuje rozšířit tyto principy i na nemechanické jevy, což je činí důležitými pro celou teoretickou fyziku .

Diferenciální principy

Mezi hlavní diferenciální variační principy patří:

  1. princip možných posuvů , který ustavuje rovnovážné podmínky pro mechanický systém s ideálními spoji; podle tohoto principu se rovnovážné polohy mechanického systému liší od všech ostatních pro něj možných poloh tím, že pouze pro rovnovážné polohy je součet elementárních prací všech (aktivních i reaktivních) sil působících na systém při jakémkoli možném posunutí systému. se rovná nule.
  2. d'Alembert-Lagrangeův princip , podle kterého se skutečný pohyb mechanické soustavy s ideálními vazbami liší od všech kinematicky možných pohybů tím, že pouze pro skutečný pohyb v každém časovém okamžiku je součet elementárních prací všech aktivních, reaktivních a setrvačné síly aplikované na systém při jakémkoli možném systému posunutí jsou nulové. V těchto variačních principech je uvažovanou fyzikální veličinou práce sil.

Mezi diferenciálně variační principy patří také Gaussův princip ( princip nejmenšího omezení ), ve kterém je uvažovanou fyzikální veličinou tzv. „donucení“, vyjádřené pomocí daných sil a zrychlení bodů soustavy, jakož i těsně navazující Hertzův princip ( princip nejmenšího zakřivení ).

Integrální principy

Integrální variační principy zahrnují principy nejmenšího (stacionárního) působení , podle kterého mezi uvažovanými kinematicky možnými pohyby soustavy mezi jejími dvěma polohami je skutečný ten, pro který má fyzikální veličina, nazývaná akce, minimální hodnotu. . Různé formy těchto principů se od sebe liší volbou velikosti působení a vlastnostmi kinematicky možných pohybů systému ve vzájemném srovnání.

Jak nevariační, tak variační principy byly stanoveny v procesu studia vlastností mechanických systémů a zákonů jejich pohybu. Protože mechanické jevy, stejně jako jiné fyzikální jevy, podléhají mnoha zákonitostem, ukazuje se, že pro odpovídající mechanické systémy platí řada principů, včetně variačních. Pokud se některá z nich vezme jako výchozí, pak se z ní v důsledku získají nejen pohybové rovnice daného systému, ale i všechny další principy, které jsou pro tento systém platné.

Aplikace

Variační principy se používají jak pro sestavování pohybových rovnic mechanických soustav v nejjednodušší podobě, tak pro studium obecných vlastností těchto pohybů. Při vhodném zobecnění pojmů nacházejí uplatnění také v mechanice kontinua , termodynamice , elektrodynamice , kvantové mechanice , teorii relativity atd. Z hlediska realizace variačních principů, zejména Lagrangeova principu, se rozlišují různé metody. V obecném případě dává požadavek na stacionaritu Lagrangeova systému systém parciálních diferenciálních rovnic a odpovídající spektrum počátečních okrajových úloh ( Eulerovy rovnice ). Je-li obecná formulace trojrozměrná, Vlasovova metoda umožňuje zmenšit rozměr problému tím, že jej redukuje na dvourozměrný (příklad - teorie skořepin ), na systém obyčejných diferenciálních rovnic (příklad - teorie tyčí ) nebo na konečný/nekonečný algebraický systém rovnic ( Rayleigh-Ritzova metoda , metoda konečných prvků ).

Historie

Dokonce i starověcí přírodní filozofové (například Aristoteles ) předpokládali, že „příroda nedělá nic nadarmo a ve všech svých projevech si vybírá tu nejkratší nebo nejsnazší cestu“ [1] . Konkrétní význam pojmů „nejkratší“ nebo „nejlehčí“ však nebyl specifikován [2] . Claudius Ptolemaios ukázal, že při odrazu paprsku světla je jeho celková dráha nejkratší, když se úhel dopadu rovná úhlu odrazu, což je v praxi pozorováno. Upozornil však, že v případě lomu světla už cesta (lomená čára) nebude nejkratší [3] .

První variační princip v dějinách vědy formuloval Pierre de Fermat v roce 1662 a konkrétně odkazoval na lom světla. Fermat ukázal, že kritériem v tomto případě není dráha, ale čas - paprsek se láme pod takovým úhlem, že celková doba cesty je minimální [4] . V moderní notaci lze Fermatův princip zapsat takto:

Zde  je index lomu prostředí [3] .

Matematický výzkum a vývoj Fermatova principu provedl Christian Huygens [5] , načež o tématu aktivně diskutovali největší vědci 17. století. Leibniz zavedl základní koncept akce do fyziky v roce 1669 : „Formální akce pohybu jsou úměrné ... součinu množství hmoty, vzdáleností, které urazí, a rychlosti.

Souběžně s analýzou základů mechaniky byly vyvíjeny metody řešení variačních problémů. Isaac Newton ve svých „ Mathematical Principles of Natural Philosophy “ (1687) nastavil a vyřešil první variační problém: najít takovou formu rotačního tělesa pohybujícího se v odporovém médiu podél své osy, pro kterou by byl odpor, který zažíval, nejmenší. . Téměř současně se objevily další variační problémy: problém brachistochrony (1696), tvar trolejového vedení atd.

Rozhodující události se odehrály v roce 1744. Leonhard Euler publikoval první obecnou práci o variačním počtu („Metoda pro nalezení křivek s vlastnostmi maxima nebo minima“) a Pierre-Louis de Maupertuis ve svém pojednání „Shoda různých přírodních zákonů, které dosud zdálo se neslučitelné“ dal první formulaci principu nejmenší akce : „Cesta, po které jde světlo, je cesta, pro kterou bude množství akce nejmenší.“ Prokázal naplnění tohoto zákona jak pro odraz, tak pro lom světla. V reakci na článek Maupertuise publikoval Euler (ve stejném roce 1744) práci „O určení pohybu vržených těles v neodporovém prostředí metodou maxim a minim“ a v této práci uvedl princip Maupertuis obecný mechanický charakter: „Protože všechny přírodní jevy se řídí nějakým zákonem maxima nebo minima, pak není pochyb o tom, že pro zakřivené čáry, které popisují vržená tělesa, když na ně působí nějaké síly, nějaká vlastnost maxima nebo minima Euler dále formuloval tento zákon: trajektorii tělesa provádí, pak ji aplikoval, odvodil zákony pohybu v rovnoměrném gravitačním poli a v několika dalších případech.

V roce 1746 Maupertuis v novém díle souhlasil s Eulerovým názorem a hlásal nejobecnější verzi jeho principu: „Když v přírodě nastane určitá změna, množství akce nutné pro tuto změnu je nejmenší možné. Velikost akce je součinem hmotnosti těles, jejich rychlosti a vzdálenosti, kterou urazí. V následné široké diskusi Euler podpořil Maupertuisovu prioritu a zastával se univerzálního charakteru nového zákona: „celou dynamiku a hydrodynamiku lze s překvapivou lehkostí odhalit pouze pomocí metody maxim a minim“ [3] .

Nová etapa začala v letech 1760-1761, kdy Joseph Louis Lagrange zavedl striktní koncept variace funkce, dal variačnímu kalkulu moderní vzhled a rozšířil princip nejmenší akce na libovolný mechanický systém (tedy nejen na volné hmotné body). To znamenalo začátek analytické mechaniky. Další zobecnění principu provedl Carl Gustav Jacobi Jacobi v roce 1837 – problém považoval za geometrický, jako hledání extrémů variačního problému v konfiguračním prostoru s neeuklidovskou metrikou. Jacobi zejména poukázal na to, že při absenci vnějších sil je trajektorie systému geodetická čára v konfiguračním prostoru [3] .

V letech 1834-1835 publikoval William Rowan Hamilton ještě obecnější variační princip, z něhož všechny dřívější vycházely jako speciální případy:

Zde  je Lagrangian dynamického systému a  jsou to zobecněné souřadnice . Hamilton dal tento princip na základ své " hamiltonovské mechaniky " a dal řešení variačního problému ve formě " kanonických rovnic ".

Hamiltonův přístup se ukázal jako všestranný a vysoce účinný v matematických modelech fyziky, zejména pro kvantovou mechaniku . Jeho heuristická síla byla potvrzena při vytvoření Obecné teorie relativity , kdy David Hilbert použil Hamiltonův princip k odvození konečných rovnic gravitačního pole (1915).

Viz také

Literatura

Poznámky

  1. ↑ Euler L. Disertační práce o principu nejmenší akce s rozborem námitek nejznámějšího prof. Koenig, postavil se proti tomuto principu // Variační principy mechaniky. M.: Fizmatgiz, 1959. S. 96 - 108.
  2. ↑ Rumjancev V.V., 1935 , s. 181..
  3. ↑ 1 2 3 4 Spassky B. I. Dějiny fyziky, ve dvou dílech . - Ed. 2. - M . : Higher School, 1977. - T. I. - S. 198-205.
  4. ↑ Fermat P. Syntéza pro refrakci // Variační principy mechaniky. M.: Fizmatgiz, 1959. S. 96 - 108.
  5. ↑ Huygens X. Pojednání o světle. M.-L.: Gostekhnzdat, 1935. 172 s.