Sférická everze

Everze koule je proces změny míst vnějšího a vnitřního povrchu koule v trojrozměrném prostoru za podmínek diferenciální topologie . Vlastní průnik povrchů je povolen, ale v každém časovém okamžiku nemá žádné nespojitosti a zachovává si hladkost . Jinými slovy, obraz koule v každém okamžiku deformace musí zůstat diferencovatelný .

Možnost převrácení koule jako první objevil americký matematik Stephen Smale . Uvést konkrétní příklad takové transformace je poměrně obtížné, proto se tento výsledek nazývá Smaleův paradox [1] . Pro názornost vysvětlení bylo vytvořeno mnoho vizualizací.

Formulace

Nechť existuje standardní zapuštění koule do trojrozměrného prostoru. Pak existuje spojitá jednoparametrová rodina hladkých ponorů , jako je a . ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3))$ $f_{t}\colon \mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3},\ \ t\in [0,1]$ $f_0=f$ $f_{1}=-f$

Historie

Možnost převrácení koule poprvé objevil americký matematik Stephen Smale v roce 1957 . Raul Bott , konzultant Smaleové práce, původně uvedl, že výsledek byl zřejmě nesprávný. Vysvětlil to tím, že taková transformace by měla zachovat stupeň Gaussova zobrazení . Například pro kruh v rovině taková transformace neexistuje. Pro trojrozměrný prostor jsou však stupně Gaussova zobrazení y a y až oba rovné 1 a nemají opačná znaménka, což je v rozporu s chybným předpokladem. Stupeň Gaussova mapování pro všechna ponoření do je roven 1, takže neexistují žádné překážky. $F$ $-f$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {S} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{3}$

Variace a zobecnění

Everze koule může být také provedena ve třídě -hladkých izometrických ponorů. [2] $C^1$
Šestirozměrná koule , zasazená do sedmirozměrného euklidovského prostoru , také umožňuje vnitřek ven. Spolu s nulovou dimenzionální koulí (dva body) na přímce a dvourozměrnou koulí c jsou to jediné možné případy, kdy lze vnořenou kouli obrátit naruby. $S^{6}$ $\mathbb {R} ^{7}$ $S^{0}$ $\mathbb {R}$ $S^{2}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $S^{n}$ $\mathbb {R} ^{n+1}$
- Navíc platí Smale-Kaiserova věta : jakákoli dvě ponoření koulí do jsou pravidelně homotopická tehdy a jen tehdy, když . U všech ostatních nejsou vnořené koule s různými orientacemi pravidelně homotopické. [3] $S^{n}$ $\mathbb {R} ^{n+1}$ $n=0,2,6$ $n$
H-princip je obecný způsob řešení takových problémů.

Poznámky

↑ E. A. Kudryavtseva,. „Implementace hladkých funkcí na plochách jako výškových funkcí“ . Rohož. Sat., 190:3 (1999), 32 . www.mathnet.ru Získáno 23. února 2017. Archivováno z originálu 24. února 2017. (neurčitý)
↑ Gromov, M. Diferenciální vztahy v parciálních derivacích.
↑ J. Malesic, P.E. Pushkar, D. Repovsh. "Inside-Out Spheres" . Získáno 3. prosince 2020. Archivováno z originálu dne 25. listopadu 2020. (neurčitý)

Literatura

Smale, Stephen Klasifikace ponoření dvousfér. Trans. amer. Matematika. soc. 90 1958 281-290.
Francis, J. Topologie obrázková kniha jak kreslit matematické obrázky. Moskva: Mir, 1991. Kapitola 6. Obracení koule naruby.
Skopenkov A.B. Algebraická topologie z geometrického hlediska. - 2. vyd., dodat. - M: MTsNMO, 2020. - 304 s.

Odkazy

Vizualizace obrace koule metodou Williama Thurstona (s titulky v ruštině).
Ricky Reusser, Rendering a sphere everze , založené na rodině pravících ploch