Hamiltonovská mechanika

Hamiltonovská mechanika je jednou z formulací klasické mechaniky . Navrhl v roce 1833 William Hamilton . Vznikl z Lagrangeovy mechaniky , další formulace klasické mechaniky představené Lagrangeem v roce 1788 . Hamiltonovskou mechaniku lze formulovat bez použití Lagrangovy mechaniky pomocí symplektických variet a Poissonových variet [1] .

Navzdory formální ekvivalenci lagrangeovské a hamiltonovské mechaniky sehrála tato, kromě užitečných technických doplňků, které zavedla, zásadní roli pro hlubší pochopení jak matematické struktury klasické mechaniky, tak jejího fyzikálního významu, včetně spojení s kvantovou mechanikou. (Hamilton původně chtěl formulovat klasickou mechaniku jako krátkovlnnou limitu nějaké vlnové teorie, která téměř zcela odpovídá modernímu pohledu).

Existuje názor, že Hamiltonův formalismus je obecně zásadnější a organický, včetně a zejména pro kvantovou mechaniku ( Dirac ), i když tento úhel pohledu se nestal obecně akceptovaným, a to především, zřejmě kvůli skutečnosti, že významná část takové interpretace ztrácejí explicitní (pouze explicitní) Lorentzovu kovarianci a také proto, že tento úhel pohledu nedával tak praktické východisko, které by každého přesvědčilo o jeho důležitosti. Je však třeba poznamenat, že heuristicky to pravděpodobně nebyl poslední motiv, který vedl k objevu Diracovy rovnice , jedné z nejzákladnějších rovnic kvantové teorie.

Reformulace Lagrangeovy mechaniky

V Lagrangeově mechanice je mechanický systém charakterizován Lagrangiánem : - funkcí zobecněných souřadnic a odpovídajících rychlostí a případně času . V hamiltonovské mechanice je zaveden koncept zobecněných hybností , které jsou konjugovány se zobecněnými souřadnicemi a jsou definovány z hlediska Lagrangianu takto: $L(q,\;{\tečka {q)],\;t)$ $q$ ${\tečka {q}}$ $t$

p={\frac {\částečné L}{\částečné {\tečka {q))))

V kartézských souřadnicích jsou zobecněné hybnosti fyzické lineární hybnosti . V polárních souřadnicích je zobecněný moment hybnosti odpovídající úhlové rychlosti fyzický moment hybnosti . Pro libovolný výběr zobecněných souřadnic je obtížné získat intuitivní interpretaci impulsů konjugovaných s těmito souřadnicemi nebo uhodnout jejich vyjádření bez přímého použití výše uvedeného vzorce.

Euler-Lagrangeova vektorová rovnice pak nabývá tvaru

{\dot {p}}={\frac {\částečné L}{\částečné q}}

Z toho zejména vyplývá, že pokud by se některá souřadnice ukázala jako cyklická , tedy pokud na ní Lagrangeova funkce nezávisí, ale závisí pouze na její časové derivaci, pak pro hybnost s ní konjugovanou , tj. je to integrál pohybu (zachovaný v čase), který poněkud objasňuje význam zobecněných impulsů. ${\tečka {p}}=0$

V této formulaci, která závisí na volbě souřadnicového systému, není příliš zřejmé, že různé zobecněné souřadnice nejsou ve skutečnosti ničím jiným než různými koordinacemi téže symplektické variety .

Pomocí Legendreovy transformace Lagrangianu je určena Hamiltonova funkce, Hamiltonián:

H\left(q,\;p,\;t\right)=\součet _{i}{\tečka {q}}_{i}p_{i}-L(q,\;{\tečka {q }},\;t)

Pokud transformační rovnice, které definují zobecněné souřadnice, nezávisí na , lze ukázat, že se rovná celkové energii: $t$ $H$

E=T+V

Celkový diferenciál Hamiltoniána lze zapsat jako:

dH =\sum_i\left[\tečka{q}_i\,dp_i+p_i\,d\tečka{q}_i-\frac{\částečná L}{\částečná q_i}dq_i-\frac{\částečná L}{ \partial\tečka{q}_i}\,d\tečka{q}_i\right]-\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)\,dt=\sum_i\left[\ tečka{q}_i\,dp_i+p_i\,d\tečka{q}_i-\tečka{p}_i\,dq_i-p_i\,d\tečka{q}_i\right]-\frac{\částečné L }{\částečné t}\,dt =

=\sum_i\left[\tečka{q}_i\,dp_i-\tečka{p}_i\,dq_i\right]-\frac{\partial L}{\partial t}\,dt

Vezmeme-li v úvahu skutečnost, že celkový diferenciál Hamiltoniána je také roven

dH=\součet _{i}\left[{\frac {\částečné H}{\částečné q_{i))}\,dq_{i}+{\frac {\částečné H}{\částečné p_{i} }}\,dp_{i}\right]+\left({\frac {\partial H}{\partial t}}\right)\,dt

získáme pohybové rovnice Hamiltonovy mechaniky, známé jako Hamiltonovy kanonické rovnice :

{\frac {\částečné H}{\částečné q_{j))}=-{\tečka {p))_{j},\qquad {\frac {\částečné H}{\částečné p_{j))} ={\dot {q))_{j},\qquad {\frac {\částečné H}{\částečné t))=-{\frac {\částečné L}{\částečné t))

Hamiltonovy rovnice jsou diferenciální rovnice prvního řádu, a proto se snáze řeší než Lagrangeovy rovnice , které jsou diferenciálními rovnicemi druhého řádu. Kroky vedoucí k pohybovým rovnicím jsou však pracnější než v Lagrangeově mechanice – počínaje zobecněnými souřadnicemi a Lagrangeovou funkcí musíme vypočítat Hamiltonián, vyjádřit každou zobecněnou rychlost pomocí konjugovaných momentů a nahradit zobecněné rychlosti v Hamiltonián s konjugovanou hybností. Obecně platí, že řešení problému v hamiltonovském než lagrangeovském formalismu přináší jen malý výkon, ačkoli to nakonec vede ke stejným řešením jako lagrangeovská mechanika a Newtonovy zákony pohybu .

Hlavním účelem hamiltonovského přístupu je to, že poskytuje základ pro zásadnější výsledky v klasické mechanice.

Pro libovolnou funkci kanonických proměnných máme $f(q,\;p,\;t)$

{\frac {df}{dt}}={\frac {\částečné f}{\částečné t}}+\součet _{i}\left({\frac {\částečné f}{\částečné q_{i} }}{\tečka {q_{i}}}+{\frac {\částečné f}{\částečné p_{i}}}{\tečka {p_{i}}}\right)={\frac {\částečné f}{\částečné t))\,+\,\součet _{i}\left({\frac {\částečné f}{\částečné q_{i))}{\frac {\částečné H}{\částečné p_{i))}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i))}{\frac {\partial H}{\partial q_{i))}\right)={\frac {\ částečné f}{\částečné t}}\,+\,\{H,\;f\},

kde je Poissonova závorka . Tato rovnice je základní rovnicí hamiltonovské mechaniky. Je možné přímo zkontrolovat, zda je platný také pro samotné kanonické proměnné nebo . $\{H,\;f\}$ $f=q$ $f=p$

Z této rovnice vyplývá, že pokud nějaká dynamická proměnná není přímou funkcí času, pak je integrálem pohybu právě tehdy, když je její Poissonova závorka rovna nule.

Odvození Hamiltonových rovnic přímo z principu stacionárního děje

Jednoduché přímé odvození hamiltonovské formy mechaniky pochází z hamiltonovského zápisu děje:

S=\int \left(\sum _{j}p_{j}\,dq_{j}-H(p,\;q)\,dt\right)=\int \left(\sum _{j} p_{j}{\tečka {q}}_{j}-H(p,\;q)\vpravo)\,dt,

což lze v této formulaci považovat za zásadní postulát mechaniky [2] . ( Indexy a bez nich zde máme na mysli celý soubor zobecněných momentů a souřadnic). $p$ $q$

Stacionární podmínka pro akci

\deltaS=0

umožňuje získat kanonické rovnice Hamiltona a variace se zde provádí nezávisle v a . Takže dostáváme (opět, ale nyní bez použití Lagrangianovy metody) Hamiltonovy kanonické rovnice: $\delta p_{j}$ $\delta q_{j}$

{\dot {p}}_{j}=-{\frac {\částečné H}{\částečné q_{j}}},

{\dot {q}}_{j}={\frac {\částečné H}{\částečné p_{j}}}.

Pomocí druhého lze vše vyjádřit pomocí množiny a , poté se výraz pod integrálem zjevně stane pouze Lagrangeovou funkcí. Z hamiltoniánu tak získáme lagrangeovskou formulaci principu stacionárního (nejmenšího) působení. $p_{j}$ $Qi}$ $\dot{q_i}$

Matematický formalismus

K definici hamiltonovského systému lze použít jakoukoli hladkou funkci na symplektické varietě . Funkce je známá jako hamiltonovská nebo energetická funkce . Symplectic manifold se nazývá fázový prostor . Hamiltonián generuje speciální vektorové pole na symplektickém manifoldu známém jako symplektické vektorové pole . $H\dvojtečka M\to \mathbb{R}$ $M$ $H$

Symplektické vektorové pole (také nazývané hamiltonovské vektorové pole) generuje hamiltonovský tok na manifoldu. Integrální křivky vektorového pole jsou jednoparametrová rodina rozmanitých transformací s parametrem nazývaným čas . Vývoj v čase je dán symplektomorfismy . Z Liouvilleovy věty vyplývá, že každý symplektomorfismus zachovává objemovou formu ve fázovém prostoru. Soubor symplektomorfismů generovaných hamiltonovským tokem se obvykle nazývá hamiltonovská mechanika hamiltonovského systému.

Hamiltonovské vektorové pole také generuje speciální operaci, Poissonovu závorku . Poissonova závorka působí na funkce na symplektické varietě, čímž dává prostoru funkcí na varietě strukturu Lieovy algebry .

Pokud máme rozdělení pravděpodobnosti , pak můžeme ukázat, že jeho konvektivní derivace je rovna nule, protože rychlost ve fázovém prostoru ( ) má nulovou divergenci a pravděpodobnost je zachována. Dostat $\rho$ ${{\tečka p}_{i)),\;{{\tečka q}_{i))$

{\frac {\partial }{\partial t}}\rho =-\{\rho ,\;H\}.

Tento výraz se nazývá Liouvilleova rovnice . Každá hladká funkce nad symplektickou varietou definuje rodinu jednoparametrových symplektomorfismů, a jestliže , pak je zachována fázovým tokem. $G$ $\{G,\;H\}=0$ $G$

Integrovatelnost hamiltonovských vektorových polí je nevyřešený problém. Obecně řečeno, hamiltonovské systémy jsou chaotické ; pojmy míry , úplnosti , integrovatelnosti a stability jsou pro ně špatně definovány. V současné době se studium dynamických systémů věnuje především studiu kvalitativních vlastností systémů a jejich změn.

Poznámky

↑ A.V. Borisov, I.S. Mamajev. Poissonovy struktury a Lieovy algebry v hamiltonovské mechanice. M.: RHD, 1999. - 464 s.
↑ Toto je (až do konstantního faktoru, který lze vhodnou volbou jednotek vynechat) snad nejpřímější písemný výraz pro fázi $\scriptstyle {\varphi =\int \left(\sum \limits _{j}k_{j}\,dx_{j}-\omega (k_{j},\;x_{j})\,dt\right )}$ v kvantové mechanice (z pohledu Feynmanova dráhového integrálu nebo v prosté semiklasické úvaze o pohybu vlnového balíku), kde hybnost a energie jsou až do stejného konstantního faktoru (Planckovy konstanty) vlnový vektor resp. frekvence $\scriptstyle {p_{j}=\hbar k_{j},\quad E=\hbar \omega }$ (zde jsou pro jednoduchost použity kartézské souřadnice). Metoda stacionární fáze naproti tomu poskytuje klasickou aproximaci, která je zcela analogická popsané hamiltonovské metodě, jinými slovy, jednoduše ji opakuje. Všimli jsme si také, že obecně jde o jeden z nejpřímějších způsobů, jak vytvořit analogii mezi šířením „bodových“ vlnových paketů poruch v široké třídě médií a pohybem hmotného bodu v mechanice. Zejména tato analogie umožňuje získat další užitečný pohled na povahu a vlastnosti zobecněných impulsů. $\scriptstyle {\delta \varphi =0}$

Viz také

Odkazy

Arnold VI . Matematické metody klasické mechaniky. - 5. vyd., stereotypní. - M. : Editorial URSS, 2003. - 416 s. - 1500 výtisků. — ISBN 5-354-00341-5 .
Vilazi G. Hamiltonovská dynamika. — Překlad z angličtiny. - M. : IKI a RHD, 2006. - 432 s. - ISBN 5-93972-444-2 .
ter Haar, D. Základy hamiltonovské mechaniky . — M .: Nauka, 1974.
Vinogradov A. M., Dyer I. S. Co je hamiltonovský formalismus? // Pokroky v matematických vědách. - 1975. - V. 30, číslo 1 (181), - s. 173–198.
Vinogradov A. M., Kupershmidt B. A. Struktura hamiltonovské mechaniky // Pokroky v matematických vědách. - 1977. - T. 32. - s. 175-236.
Abraham R., Marsden JE Základy mechaniky. - London: Benjamin-Cummings, 1978. - ISBN 0-8053-0102-X .
Rychlík M. Lagrangiánská a Hamiltonovská mechanika — Krátký úvod. (odkaz nedostupný od 18-05-2013 [3449 dní] - historie )
Binney J. Klasická mechanika . — Přednášky ve formátu PDF .
Tong D. Klasická dynamika . — Přednášky na univerzitě v Cambridge.

Slovníky a encyklopedie	velká čínština
V bibliografických katalozích	GND : 4376155-0