Hyperexponenciální rozdělení

V teorii pravděpodobnosti , hyperexponenciální distribuce je absolutně spojitá distribuce kde hustota pravděpodobnosti náhodné proměnné je vyjádřena jako $X$

f_{X}(x)=\sum _{i=1}^{n}f_{Y_{i}}(y)p_{i},

kde je exponenciálně distribuovaná náhodná proměnná s parametrem a je pravděpodobnost, že X bude mít exponenciální distribuci s parametrem . Nazývá se hyperexponenciální distribuce, protože její variační koeficient je větší než variační koeficient exponenciálního rozložení (1) a hypoexponenciální distribuce , ve které je variační koeficient menší než variační koeficient exponenciálního rozložení. Ačkoli je exponenciální rozdělení spojitou analogií geometrického rozdělení , hyperexponenciální rozdělení není analogem hypergeometrického rozdělení. $Y_{i}$ ${\displaystyle \lambda \,_{i))$ $p_{i}$ ${\displaystyle \lambda \,_{i))$ . Hyperexponenciální distribuce je příkladem smíšené distribuce hustoty.

Příklad náhodné veličiny distribuované podle hyperexponenciálního zákona lze nalézt v telefonii : vzhledem k modemu a telefonu lze použití telefonní linky modelovat pomocí hyperexponenciálního rozdělení s danou pravděpodobností hovoru po telefonu p s bitrate a pravděpodobnost připojení přes modem q s bitrate ${\displaystyle \lambda \,_{1))$ $\lambda \,_{2}.$

Vlastnosti hyperexponenciálního rozdělení

Protože matematické očekávání součtu je součtem matematických očekávání, matematické očekávání hyperexponenciálně rozdělené náhodné veličiny

E(X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx=p_{1}\int _{0}^{\infty }x\lambda \,_{1 }e^{-\lambda \,_{1}x}dx+p_{2}\int _{0}^{\infty }x\lambda \,_{2}e^{-\lambda \,_ {2}x}dx+\cdots +p_{n}\int _{0}^{\infty }x\lambda \,_{n}e^{-\lambda \,_{n}x}dx

=\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{\lambda \,_{i}}}

E(X^{2})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}f(x)\,dx=p_{1}\int _{0}^{ \infty }x^{2}\lambda \,_{1}e^{-\lambda \,_{1}x}\,dx+p_{2}\int _{0}^{\infty }x ^{2}\lambda \,_{2}e^{-\lambda \,_{2}x}\,dx+\cdots +p_{n}\int _{0}^{\infty }x^{ 2}\lambda \,_{n}e^{-\lambda \,_{n}x}\,dx,

=\sum _{i=1}^{n}{\frac {2}{\lambda \,_{i}^{2))}p_{i},

Generující funkce momentů

E(e^{tx})=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)dx=p_{1}\int _{0}^{\infty }e^{tx}\lambda \,_{1}e^{-\lambda \,_{1}x}dx+p_{2}\int _{0}^{\infty }e^{tx} \lambda \,_{2}e^{-\lambda \,_{2}x}dx+\cdots +p_{n}\int _{0}^{\infty }e^{tx}\lambda \, _{n}e^{-\lambda \,_{n}x}dx

=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\lambda \,_{i)){\lambda _{i}-t))p_{i}.

Rozdělení pravděpodobnosti
Oddělený	Bernoulli Binomický Geometrický hypergeometrické Logaritmické Negativní binom jed Diskrétní uniforma Multinomický
Absolutně kontinuální	Beta Weibulla gama- hyperexponenciální Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormální normální (gaussovský) Logistické Nakagami Pareto Pearson polokruhový kontinuální uniforma Rýže Rayleigh Student Tracey - Vidoma Rybář Chí-kvadrát Exponenciální Rozptyl-gama Vícerozměrný normální spona