Diferenciální operátory v různých souřadnicových systémech

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 3. října 2020; kontroly vyžadují 5 úprav .

Zde je seznam vektorových diferenciálních operátorů v různých souřadnicových systémech .

Obecný výraz

Obecný výraz pro operátor ∇ působící na vektorové pole A v libovolném systému ortogonálních souřadnic lze zapsat takto:

$\nabla \circ \mathbf {A} =\sum _{m}i_{m}\circ {\partial \mathbf {A} \over \partial r_{m}}=i_{1}\circ { \částečné \mathbf {A} \přes \částečné r_{1}}+i_{2}\circ {\částečné \mathbf {A} \přes \částečné r_{2}}+i_{3}\circ {\částečné \mathbf {A} \over \partial r_{3}}$ ,

kde " " je kterákoli ze tří ikon odpovídajících akci operátoru ∇: $\circ$

" " - spád;
"·" - divergence;
"×" - rotor.

Prvky v tomto záznamu odpovídají prvkům poloměrového vektoru v odpovídajícím souřadnicovém systému: ${\displaystyle \partial r_{m))$

$d\mathbf {r} =\sum _{m}i_{m}\částečné r_{m}=i_{1}\částečné r_{1}+i_{2}\částečné r_{2}+i_ {3}\částečné r_{3}$

Jinými slovy, první akcí je vzít parciální derivaci vzhledem k průmětu vektoru poloměru celého vektoru (s přihlédnutím k derivacím jednotkových vektorů v daném souřadnicovém systému) a teprve potom násobit (jednoduché pro gradient, skalární pro divergenci a vektor pro rotor) jednotkového vektoru směru podle . ${\partial \mathbf {A} \over \partial r_{m))$ $\mathbf {A}$ ${\partial \mathbf {A} \over \partial r_{m))$

Stačí znát výrazy:

ve cylindrických souřadnicích: a ; ${\displaystyle {\partial i_{\rho } \over \partial \varphi }=i_{\varphi ))$ ${\displaystyle {\partial i_{\varphi } \over \partial \varphi }=-i_{\rho ))$
ve sférických souřadnicích : , , a . ${\displaystyle {\partial i_{r} \over \partial \theta }=i_{\theta ))$ ${\displaystyle {\partial i_{\theta } \over \partial \theta }=-i_{r))$ ${\partial i_{r} \over \partial \varphi }=i_{\varphi }\sin \theta$ ${\partial i_{\theta } \over \partial \varphi }=i_{\varphi }\cos \theta$ ${\partial i_{\varphi } \over \partial \varphi }=-i_{r}\sin \theta -i_{\theta }\cos \theta$

Například: v tabulce níže je záznam divergence ve válcových souřadnicích získán následovně:

$\nabla \cdot \mathbf {A} =i_{\rho }\cdot {\partial \over \partial \rho }(i_{\rho }A_{\rho }+i_{\varphi }A_{\ varphi }+i_{z}A_{z})+{1 \over \rho }i_{\varphi }\cdot {\partial \over \partial \varphi }(i_{\rho }A_{\rho }+i_ {\varphi }A_{\varphi }+i_{z}A_{z})+i_{z}\cdot {\částečné \over \částečné z}(i_{\rho }A_{\rho }+i_{\ varphi }A_{\varphi }+i_{z}A_{z})=$

$={\partial A_{\rho } \over \partial \rho }+{\biggl (}{1 \over \rho }i_{\varphi }\cdot {\partial i_{\rho } \over \ částečný \varphi }A_{\rho }{\biggr )}+{1 \over \rho }{\částečný A_{\varphi } \over \partial \varphi }+{\částečný A_{z} \over \partial z }={\biggl (}{\částečné A_{\rho } \přes \částečné \rho }+{A_{\rho } \přes \rho }{\biggr )}+{1 \přes \rho }{\částečné A_{\varphi } \over \partial \varphi }+{\partial A_{z} \over \partial z}=$

$={1 \over \rho }{\partial (\rho A_{\rho }) \over \partial \rho }+{1 \over \rho }{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi }+{\partial A_{z} \over \partial z}$

Tabulka operátorů

Zde se používá standardní fyzická notace. Pro sférické souřadnice θ označuje úhel mezi osou z a vektorem poloměru bodu, φ je úhel mezi projekcí vektoru poloměru na rovinu xy a osou x .

Záznam Hamiltonova operátoru v různých souřadnicových systémech

Operátor	Obdélníkové souřadnice ( x, y, z )	Válcové souřadnice ( ρ, φ, z )	Sférické souřadnice ( r , θ, φ )	Parabolické souřadnice ( σ, τ, z )
Vzorce transformace souřadnic	${\begin{matrix}\rho &=&{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\varphi &=&\operatorname {arctg}(y/x)\\z&=&z \end{matrix}}$	${\begin{matrix}x&=&\rho \cos \varphi \\y&=&\rho \sin \varphi \\z&=&z\end{matrix))$	${\begin{matrix}x&=&r\sin \theta \cos \varphi \\y&=&r\sin \theta \sin \varphi \\z&=&r\cos \theta \end{matrix))$	${\begin{matrix}x&=&\sigma \tau \\y&=&{\frac {1}{2}}\left(\tau ^{{2}}-\sigma ^{{2}}\right )\\z&=&z\end{matrix}}$
Vzorce transformace souřadnic	${\begin{matrix}r&=&{\sqrt {{{x}^{{2}}}+{{y}^{{2}}}+{{z}^{{2}}}}} \\\theta &=&\arccos \left(z/r\right)\\\varphi &=&\operatorname {arctg}(y/x)\\\end{matrix}}$	${\begin{matrix}r&=&{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}\\\theta &=&\operatorname {arctg}{(\rho /z)}\\\ varphi &=&\varphi \end{matrix}}$	${\begin{matrix}\rho &=&r\sin {\theta }\\\varphi &=&\varphi \\z&=&r\cos {\theta }\end{matrix))$	${\begin{matrix}\rho \cos \varphi &=&\sigma \tau \\\rho \sin \varphi &=&{\frac {1}{2}}\left(\tau ^{{2} }-\sigma ^{{2}}\right)\\z&=&z\end{matrix}}$
Vektor poloměru libovolného bodu	$x{\mathbf {{\hat x}}}+y{\mathbf {{\hat y}}}+z{\mathbf {{\hat z}}}$	$\rho {\boldsymbol {{\hat \rho }}}+z{\boldsymbol {{\hat z}}}$	$r{\boldsymbol {{\klobouk r))}$	${\frac {1}{2}}{\sqrt {\sigma ^{{2}}+\tau ^{{2}}}}\sigma {\boldsymbol {{\hat \sigma }}}+{\ frac {1}{2}}{\sqrt {\sigma ^{{2}}+\tau ^{{2}}}}\tau {\boldsymbol {{\hat \tau }}}+z{\mathbf {{\klobouk z))}$
Spojení jednotkových vektorů	${\begin{matrix}{\boldsymbol {{\hat \rho }}}&=&{\frac {x}{\rho }}{\mathbf {{\hat x}}}+{\frac {y} {\rho }}{\mathbf {{\hat y}}}\\{\boldsymbol {{\hat \varphi }}}&=&-{\frac {y}{\rho }}{\mathbf {{ \hat x}}}+{\frac {x}{\rho }}{\mathbf {{\hat y}}}\\{\mathbf {{\hat z}}}&=&{\mathbf {{ \hat z}}}\end{matrix}}$	${\begin{matrix}{\mathbf {{\hat x}}}&=&\cos \varphi {\boldsymbol {{\hat \rho }}}-\sin \varphi {\boldsymbol {{\hat \varphi ))}\\{\mathbf {{\hat y}}}&=&\sin \varphi {\boldsymbol {{\hat \rho }}}+\cos \varphi {\boldsymbol {{\hat \varphi } ))\\{\mathbf {{\hat z}}}&=&{\mathbf {{\hat z}}}\end{matrix}}$	${\begin{matrix}{\mathbf {{\hat x))}&=&\sin \theta \cos \varphi {\boldsymbol {{\hat r))}+\cos \theta \cos \varphi {\ tučný symbol {{\hat \theta }}}-\sin \varphi {\boldsymbol {{\hat \varphi }}}\\{\mathbf {{\hat y}}}&=&\sin \theta \sin \ varphi {\boldsymbol {{\hat r}}}+\cos \theta \sin \varphi {\boldsymbol {{\hat \theta }}}+\cos \varphi {\boldsymbol {{\hat \varphi }}} \\{\mathbf {{\hat z}}}&=&\cos \theta {\boldsymbol {{\hat r}}}-\sin \theta {\boldsymbol {{\hat \theta }}}\\ \end{matrix}}$	${\begin{matrix}{\boldsymbol {{\hat \sigma }}}&=&{\frac {\tau }{{\sqrt {\tau ^{2}+\sigma ^{2))))} {\mathbf {{\hat x}}}-{\frac {\sigma }{{\sqrt {\tau ^{2}+\sigma ^{2}}}}}{\mathbf {{\hat y} ))\\{\boldsymbol {{\hat \tau }}}&=&{\frac {\sigma }({\sqrt {\tau ^{2}+\sigma ^{2))))}{\ mathbf {{\hat x}}}+{\frac {\tau }{{\sqrt {\tau ^{2}+\sigma ^{2}}}}}{\mathbf {{\hat y}}} \\{\mathbf {{\hat z}}}&=&{\mathbf {{\hat z}}}\end{matrix}}$
Spojení jednotkových vektorů	${\begin{matrix}{\mathbf {{\hat r}}}&=&{\frac {x{\mathbf {{\hat x}}}+y{\mathbf {{\hat y}}}+ z{\mathbf {{\hat z}}}}{r}}\\{\boldsymbol {{\hat \theta }}}&=&{\frac {xz{\mathbf {{\hat x}}} +yz{\mathbf {{\hat y}}}-\rho ^{2}{\mathbf {{\hat z}}}}{r\rho }}\\{\boldsymbol {{\hat \varphi } }}&=&{\frac {-y{\mathbf {{\hat x}}}+x{\mathbf {{\hat y}}}}{\rho }}\end{matrix}}$	${\begin{matrix}{\mathbf {{\hat r}}}&=&{\frac {\rho }{r}}{\boldsymbol {{\hat \rho }}}+{\frac {z} {r}}{\mathbf {{\hat z}}}\\{\boldsymbol {{\hat \theta }}}&=&{\frac {z}{r}}{\boldsymbol {{\hat \ rho ))}-{\frac {\rho }{r)){\mathbf ({\hat z))}\\{\boldsymbol ({\hat \varphi ))}&=&{\boldsymbol {{\ klobouk\varphi}}}\end{matrix}}$	${\begin{matrix}{\boldsymbol {{\hat \rho }}}&=&\sin \theta {\mathbf {{\hat r}}}+\cos \theta {\boldsymbol {{\hat \theta ))}\\{\boldsymbol {{\hat \varphi }}}&=&{\boldsymbol {{\hat \varphi }}}\\{\mathbf {{\hat z}}}&=&\cos \theta {\mathbf {{\hat r}}}-\sin \theta {\boldsymbol {{\hat \theta }}}\\\end{matrix}}$	.
vektorové pole $\mathbf {A}$	$A_{x}{\mathbf {{\hat x}}}+A_{y}{\mathbf {{\hat y}}}}+A_{z}{\mathbf {{\hat z}}}$	$A_{\rho }{\boldsymbol {{\hat \rho }}}+A_{\varphi }{\boldsymbol {{\hat \varphi }}}+A_{z}{\boldsymbol {{\hat z}} }$	$A_{r}{\boldsymbol {{\hat r}}}+A_{\theta }{\boldsymbol {{\hat \theta }}}+A_{\varphi }{\boldsymbol {{\hat \varphi }} }$	$A_{\sigma }{\boldsymbol {{\hat \sigma }}}+A_{\tau }{\boldsymbol {{\hat \tau }}}}+A_{\varphi }{\boldsymbol {{\hat z} }}$
Spád $\nabla f$	${\partial f \over \partial x}{\mathbf {{\hat x}}}+{\partial f \over \partial y}{\mathbf {{\hat y}}}}+{\partial f \over \partial z}{\mathbf {{\hat z))}$	${\partial f \over \partial \rho }{\boldsymbol {{\hat \rho }}}+{1 \over \rho }{\partial f \over \partial \varphi }{\boldsymbol {{\hat \ varphi ))}+{\partial f \over \partial z}{\boldsymbol {{\hat z))}$	${\částečné f \přes \částečné r}{\boldsymbol {{\hat r}}}+{1 \přes r}{\částečné f \přes \částečné \theta }{\boldsymbol {{\hat \theta }} }+{1 \over r\sin \theta }{\částečné f \over \partial \varphi }{\boldsymbol {{\hat \varphi }}}$	${\frac {1}{{\sqrt {\sigma ^{{2}}+\tau ^{{2)))))){\partial f \over \partial \sigma }{\boldsymbol {{\hat \sigma }}}+{\frac {1}{{\sqrt {\sigma ^{{2}}+\tau ^{{2}}}}}}{\partial f \over \partial \tau }{ \boldsymbol {{\hat \tau }}}+{\partial f \over \partial z}{\boldsymbol {{\hat z}}}$
Divergence $\nabla \cdot {\mathbf {A}}$	${\částečné A_{x} \přes \částečné x}+{\částečné A_{y} \přes \částečné y}+{\částečné A_{z} \přes \částečné z}$	${1 \přes \rho }{\částečný \left(\rho A_{\rho }\vpravo) \přes \částečný \rho }+{1 \přes \rho }{\částečný A_{\varphi } \přes \částečný \varphi }+{\partial A_{z} \over \partial z}$	${1 \přes r^{2}}{\částečný \left(r^{2}A_{r}\vpravo) \přes \částečný r}+{1 \přes r\sin \theta }{\částečný \over \částečný \theta }\levý(A_{\theta }\sin \theta \vpravo)+{1 \přes r\sin \theta }{\částečný A_{\varphi } \přes \částečný \varphi }$	${\frac {1}{\sigma ^{{2}}+\tau ^{{2}}}}{\částečné A_{\sigma } \over \částečné \sigma }+{\frac {1}{\ sigma ^{{2}}+\tau ^{{2}}}}{\částečné A_{\tau } \přes \částečné \tau }+{\částečné A_{z} \přes \částečné z}$
Rotor $\nabla \times {\mathbf {A}}$	${\begin{matice}\left({\částečné A_{z} \přes \částečné y}-{\částečné A_{y} \přes \částečné z}\vpravo){\mathbf {{\hat x))} &+\\\left({\částečné A_{x} \přes \částečné z}-{\částečné A_{z} \přes \částečné x}\vpravo){\mathbf {{\hat y))}&+ \\\left({\partial A_{y} \over \partial x}-{\partial A_{x} \over \partial y}\right){\mathbf ({\hat z))}&\ \end {matice}}$	${\begin{matrix}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\částečné A_{z}}{\částečné \varphi }}-{\frac {\částečné A_{\varphi } }{\partial z}}\right){\boldsymbol {{\hat \rho }}}&+\\\left({\frac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}-{\ frac {\částečné A_{z}}{\částečné \rho }}\right){\boldsymbol {{\hat \varphi }}}&+\\{\frac {1}{\rho }}\left({ \frac {\částečné (\rho A_{\varphi })}{\částečné \rho }}-{\frac {\částečné A_{\rho }}{\částečné \varphi }}\right){\boldsymbol {{ \hat z}}}&\ \end{matrix}}$	${\begin{matrix}{1 \over r\sin \theta }\left({\partial \over \partial \theta }\left(A_{\varphi }\sin \theta \right)-{\partial A_{ \theta } \přes \částečný \varphi }\vpravo){\boldsymbol {{\klobouček r))}&+\\{1 \přes r}\left({1 \přes \sin \theta }{\částečný A_ {r} \přes \částečný \varphi }-{\částečný \přes \částečný r}\left(rA_{\varphi }\vpravo)\vpravo){\boldsymbol {{\hat \theta }}}&+\\ {1 \přes r}\levý({\částečný \přes \částečný r}\doleva(rA_{\theta }\pravý)-{\částečný A_{r} \přes \částečný \theta }\vpravo){\boldsymbol {{\hat \varphi }}}&\ \end{matrix}}$	${\begin{matrix}\left({\frac {1}{{\sqrt {\sigma ^{{2}}+\tau ^{{2}}}}}}{\částečné A_{z} \over \partial \tau }-{\partial A_{\tau } \over \partial z}\right){\boldsymbol {{\hat \sigma }}}&-\\\left({\frac {1}{{ \sqrt {\sigma ^{{2}}+\tau ^{{2}}}}}}{\částečné A_{z} \přes \částečné \sigma }-{\částečné A_{\sigma } \přes \ částečný z}\right){\boldsymbol {{\hat \tau }}}&+\\{\frac {1}({\sqrt {\sigma ^{{2}}+\tau ^{{2}} }}}}\left({\částečné \left(sA_{\varphi }\right) \přes \částečné s}-{\částečné A_{s} \přes \částečné \varphi }\vpravo){\boldsymbol {{ \hat z}}}&\ \end{matrix}}$
Laplaceův operátor $\Delta f=\nabla ^{2}f$	${\částečné ^{2}f \přes \částečné x^{2}}+{\částečné ^{2}f \přes \částečné y^{2}}+{\částečné ^{2}f \přes \částečné z^{2}}$	${1 \přes \rho }{\částečný \přes \částečný \rho } \left(\rho {\částečný f \přes \částečný \rho }\vpravo)+{1 \přes \rho ^{2)){\ částečný ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}$	${1 \přes r^{2}}{\částečný \přes \částečný r}\!\left(r^{2}{\částečný f \přes \částečný r}\vpravo)\!+\!{1 \ přes r^{2}\!\sin \theta }{\částečný \přes \částečný \theta }\!\left(\sin \theta {\částečný f \přes \částečný \theta }\vpravo)\!+\ !{1 \over r^{2}\!\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2))$	${\frac {1}{\sigma ^{{2}}+\tau ^{{2}}}}\left({\frac {\partial ^{{2}}f}{\partial \sigma ^{ {2))))+{\frac {\partial ^{{2}}f}{\partial \tau ^{{2}}}}\right)+{\frac {\partial ^{{2}} f}{\částečné z^{{2))))$
Laplaceův vektorový operátor $\Delta \mathbf {A}$	${\begin{matrix}\Delta A_{x}\mathbf {\hat {x)) +\Delta A_{y}\mathbf {\hat {y)) +\Delta A_{z}\mathbf { \hat {z}} =\\{\biggl (}{\částečné ^{2}A_{x} \přes \částečné x^{2}}+{\částečné ^{2}A_{x} \přes \ částečné y^{2}}+{\částečné ^{2}A_{x} \over \částečné z^{2}}{\biggr )}\mathbf {\hat {x}} +\\{\biggl ( }{\částečné ^{2}A_{y} \přes \částečné x^{2}}+{\částečné ^{2}A_{y} \přes \částečné y^{2}}+{\částečné ^{ 2}A_{y} \over \partial z^{2}}{\biggr )}\mathbf {\hat {y}} +\\{\biggl (}{\partial ^{2}A_{z} \ přes \částečné x^{2}}+{\částečné ^{2}A_{z} \přes \částečné y^{2}}+{\částečné ^{2}A_{z} \přes \částečné z^{ 2}}{\biggr )}\mathbf {\hat {z}} \ \end{matrix}}$	${\begin{matrix}\left(\Delta A_{\rho }-{A_{\rho } \over \rho ^{2}}-{2 \over \rho ^{2}}{\částečné A_{\ varphi } \over \partial \varphi }\right){\boldsymbol {{\hat \rho }}}&+\\\left(\Delta A_{\varphi }-{A_{\varphi } \over \rho ^ {2))+{2 \přes \rho ^{2}}{\částečné A_{\rho } \přes \částečné \varphi }\right){\boldsymbol {{\hat \varphi }}}&+\\ \left(\Delta A_{z}\right){\boldsymbol {{\hat z}}}&\ \end{matrix}}$	${\begin{matrix}\left(\Delta A_{r}-{2A_{r} \over r^{2}}-{2 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \left( A_{\theta }\sin \theta \right) \přes \částečný \theta }-{2 \přes r^{2}\sin \theta }{\částečný A_{\varphi } \přes \částečný \varphi }\ vpravo){\boldsymbol {{\hat r}}}&+\\\left(\Delta A_{\theta }-{A_{\theta } \over r^{2}\sin ^{2}\theta } +{2 \přes r^{2}}{\částečné A_{r} \přes \částečné \theta }-{2\cos \theta \přes r^{2}\sin ^{2}\theta }{\ částečné A_{\varphi } \over \partial \varphi }\right){\boldsymbol {{\hat \theta ))}&+\\\left(\Delta A_{\varphi }-{A_{\varphi } \ přes r^{2}\sin ^{2}\theta }+{2 \přes r^{2}\sin \theta }{\částečný A_{r} \přes \částečný \varphi }+{2\cos \ theta \přes r^{2}\sin ^{2}\theta }{\částečné A_{\theta } \přes \částečné \varphi }\right){\boldsymbol {{\hat \varphi }}}&\end {matice}}$	?
Délkový prvek	$d{\mathbf {l}}=dx{\mathbf {{\hat x}}}+dy{\mathbf {{\hat y}}}+dz{\mathbf {{\hat z}}}$	$d{\mathbf {l}}=d\rho {\boldsymbol {{\hat \rho }}}+\rho d\varphi {\boldsymbol {{\hat \varphi }}}+dz{\boldsymbol {{\ klobouk z}}}$	$d{\mathbf {l}}=dr{\mathbf {{\hat r}}}+rd\theta {\boldsymbol {{\hat \theta }}}+r\sin \theta d\varphi {\boldsymbol { {\hat \varphi ))}$	$d{\mathbf {l}}={\sqrt {\sigma ^{{2}}+\tau ^{{2}}}}d\sigma {\boldsymbol {{\hat \sigma }}}+{\ sqrt {\sigma ^{{2}}+\tau ^{{2}}}}d\tau {\boldsymbol {{\hat \tau }}}+dz{\boldsymbol {{\hat z}}}$
Orientovaný plošný prvek	${\begin{matrix}d{\mathbf {S}}=&dy\,dz\,{\mathbf {{\hat x}}}+\\&dx\,dz\,{\mathbf {{\hat y} ))+\\&dx\,dy\,{\mathbf {{\hat z))}\end{matrix))$	${\begin{matrix}d{\mathbf {S}}=&\rho \,d\varphi \,dz\,{\boldsymbol {{\hat \rho }}}+\\&d\rho \,dz\ ,{\boldsymbol {{\hat \varphi }}}+\\&\rho \,d\rho d\varphi \,{\mathbf {{\hat z}}}\end{matrix}}$	${\begin{matrix}d{\mathbf {S}}=&r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi \,{\mathbf {{\hat r}}}+\\ &r\sin \theta \,dr\,d\varphi \,{\boldsymbol {{\hat \theta }}}+\\&r\,dr\,d\theta \,{\boldsymbol {{\hat \varphi }}}\end{matrix}}$	${\begin{matrix}d\mathbf {S} =&{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\tau \,dz\,{\boldsymbol { \hat {\sigma }}}+\\&{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}d\sigma \,dz\,{\boldsymbol {\hat {\tau }} }+\\&\sigma ^{2}+\tau ^{2}d\sigma \,d\tau \,\mathbf {\hat {z)) \end{matrix))$
Prvek objemu	$dV=dx\,dy\,dz$	$dV=\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz$	$dV=r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi$	$dV=\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau dz$

Některé vlastnosti

Výrazy pro operátory druhého řádu:

${\mathrm {div\ grad}}\;f=\nabla \cdot (\nabla f)=\nabla ^{2}f=\Delta f$ ( operátor Laplace )
${\mathrm {rot\ grad}}\;f=\nabla \times (\nabla f)=0$
$\mathrm {grad\ div} \;\mathbf {A} =\nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {A} )$
${\mathrm {div\ rot}}\;{\mathbf {A}}=\nabla \cdot (\nabla \times {\mathbf {A}})=0$
$\mathrm {rot\ rot} \;\mathbf {A} =\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\Delta \mathbf {A}$ (pomocí Lagrangeova vzorce pro dvojitý křížový produkt )
$\Delta (fg)=\mathrm {div\ grad} \ (fg)=\mathrm {div} \ (f\mathrm {grad} \ g+g\mathrm {grad} \ f)=f\Delta g+2\mathrm {grad} \ f\cdot \mathrm {grad} \ g+g\Delta f$

Viz také

Operátor D'Alembert
Ortogonální souřadnice
Křivočaré souřadnice
Souřadnicová metoda
Vektorová pole ve cylindrických a sférických souřadných systémech

Diferenciální počet

Hlavní

soukromé pohledy

Diferenční operátory
( v různých souřadnicích )

První objednávka	Operátor Nabla Spád Divergence Rotor Helmholtzian
druhá objednávka	Eliptický operátor Laplaceův operátor Laplaceův vektorový operátor Operátor D'Alembert Operátor Laplace-Beltrami
vyšší řády	Hypoeliptický operátor

související témata